Η ιστορία της εμφάνισης πρώτων και σύνθετων αριθμών. Είναι πραγματικά τόσο απλή η ιστορία τους; Ένας άπειρος αριθμός πρώτων

Δημοτικό δημοσιονομικό εκπαιδευτικό ίδρυμα

την πόλη Abakan

"Μέση τιμή ολοκληρωμένο σχολείοΝο. 19"

Μαθηματικά

Οι πρώτοι αριθμοί είναι εύκολοι

Λύσοβα

Ελμίρα,

6 Β τάξη

Επόπτης:

Μπικόφσκαγια

Irina Sergeevna,

καθηγητής μαθηματικών

Ο ΚΩΔΙΚΑΣ _____________________________

Μαθηματικά

ΟΙ ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΝΑΙ ΑΠΛΟΙ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ:

Εισαγωγή

Κεφάλαιο 1 . πρώτοι αριθμοί

1.1. Ορισμός πρώτου αριθμού.

1.2. Το άπειρο μιας σειράς πρώτων αριθμών.

1.3. Ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός.

1.4. Μέθοδοι προσδιορισμού (αναζήτησης) πρώτων αριθμών.

Κεφάλαιο 2 Εφαρμογή της θεωρίας πρώτων αριθμών

2.1. Παραδείγματα ορισμένων δηλώσεων της θεωρίας των πρώτων αριθμών από διάσημους Σοβιετικούς επιστήμονες.

2.2 Παραδείγματα μιας σειράς προβλημάτων στη θεωρία των πρώτων αριθμών.

2.3. Εργασίες εφαρμογής (Αρ. 1, Νο. 2)

2.4 Εργασίες για την εφαρμογή των νόμων των πρώτων αριθμών (Αρ. 3 Νο. 4)

2.5. Μαγικά τετράγωνα.

2.6.Εφαρμογή του νόμου των πρώτων αριθμών σε διάφορα πεδία

συμπέρασμα

Εφαρμογή

«Η αρμονία βασιλεύει στον κόσμο,

και αυτή η αρμονία εκφράζεται με αριθμούς».

Πυθαγόρας.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Τα μαθηματικά είναι καταπληκτικά. Πράγματι, έχει δει κανείς ποτέ έναν αριθμό με τα μάτια του (όχι τρία δέντρα και όχι τρία μήλα, αλλά ο ίδιος ο αριθμός 3). Από τη μια πλευρά, ο αριθμός είναι μια εντελώς αφηρημένη έννοια. Αλλά, από την άλλη, ό,τι συμβαίνει στον κόσμο μπορεί να μετρηθεί στον ένα ή τον άλλο βαθμό, και επομένως να αναπαρασταθεί σε αριθμούς.

Στα μαθήματα των μαθηματικών, όταν μελετούσα το θέμα "Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί", με ενδιέφεραν οι πρώτοι αριθμοί, η ιστορία της εμφάνισής τους και οι μέθοδοι απόκτησης. Γύρισα στη βιβλιοθήκη, στο Διαδίκτυο, όπου απέκτησα την απαραίτητη βιβλιογραφία. Έχοντας το μελετήσει προσεκτικά, συνειδητοποίησα ότι υπάρχουν πολλές ενδιαφέρουσες πληροφορίες σχετικά με τους πρώτους αριθμούς. Οι πρώτοι αριθμοί, που εισήχθησαν πριν από περίπου δυόμισι χιλιάδες χρόνια, και βρήκαν απροσδόκητες πρακτικές εφαρμογές πολύ πρόσφατα. ανακάλυψε ότι υπάρχουνΟι νόμοι των πρώτων αριθμών εκφράζονται μέσω ενός τύπου, αλλά υπάρχει μια σειρά προβλημάτων στη θεωρία αριθμών.Παρά το γεγονός ότι τώρα ζούμε στην εποχή των υπολογιστών και των πιο σύγχρονων προγραμμάτων πληροφοριών, πολλά μυστήρια πρώτων αριθμών δεν έχουν ακόμη λυθεί, υπάρχουν ακόμη και εκείνα που οι επιστήμονες δεν ξέρουν πώς να προσεγγίσουν.Η γνώση των ανοιχτών νόμων καθιστά δυνατή τη δημιουργία ποιοτικά νέων λύσεων σε πολλούς τομείς που ενδιαφέρουν τόσο τους επιστήμονες όσο και τους απλούς πολίτες. Το θέμα με ενδιέφερε επίσης.αντικείμενο Οι σπουδές είναι μια αποκλειστικά αφηρημένη έννοια –πρώτος αριθμός . Θέμα Οι μελέτες του πρώτου αριθμού ήταν: η θεωρία των πρώτων αριθμών, οι τρόποι ορισμού τους, ενδιαφέρουσες ανακαλύψεις σε αυτόν τον τομέα και η εφαρμογή τους για πρακτικούς σκοπούς.

σκοπόςΗ δουλειά μου είναι να επεκτείνω την έννοια των πρώτων αριθμών. Ορίζεται τις ακόλουθες εργασίες:

να εξοικειωθούν με την ιστορία της ανάπτυξης της θεωρίας των πρώτων αριθμών,

για να σχηματίσετε μια γενική ιδέα για το πώς να βρείτε τους πρώτους αριθμούς,

να ξερω ενδιαφέροντα επιτεύγματαΣοβιετικοί επιστήμονες στον τομέα της θεωρίας πρώτων αριθμών,

εξετάστε ορισμένα προβλήματα στη θεωρία των πρώτων αριθμών,

να εξοικειωθούν με την εφαρμογή της θεωρίας των πρώτων αριθμών σε διάφορους τομείς,

κατανοήσουν την αρχή της επιλογής πρώτων αριθμών από φυσική σειράχρησιμοποιώντας τη μέθοδο "Κόσκινο του Ερατοσθένη", έως 100; 1000

μελέτη της χρήσης πρώτων αριθμών σε προβλήματα.

ΕΓΩ. ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

1. Η έννοια του πρώτου αριθμού

Οι πρώτοι αριθμοί είναι ένα από τα θαύματα των μαθηματικών.Ένα, δύο, τρία... Με αυτά τα λόγια μπαίνουμε στη χώρα των αριθμών, δεν έχει όρια. Φαινομενικά επίπεδοι, κοντινοί αριθμοί, με μια πιο στενή γνωριμία μαζί τους, μας καυτηριάζουν με την εσωτερική τους θερμότητα, αποκτούν βάθος.

Με την αποσύνθεση των αριθμών σε παράγοντες, είμαστε εξοικειωμένοι με δημοτικό σχολείο. Όταν βρίσκουμε έναν κοινό παρονομαστή, πρέπει να παραγοντοποιήσουμε τους παρονομαστές των όρων. Είναι απαραίτητο να γίνεται παραγοντοποίηση κατά τη μείωση των κλασμάτων. Μία από τις βασικές δηλώσεις της αριθμητικής είναι ότι κάθε φυσικός αριθμόςαποσυντίθεται με μοναδικό τρόπο πρωταρχικούς παράγοντες.

72 = 2x2x2x3x3

1001 = 7 x 11 x 13

Η αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες δείχνει ότι κάθε αριθμός είναι είτε πρώτος είτε γινόμενο δύο ή περισσότερων πρώτων. Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι τα συστατικά στοιχεία των φυσικών αριθμών, όπως τα τούβλα, από τα οποία, με τη βοήθεια του πολλαπλασιασμού, συντίθενται όλοι οι ακέραιοι αριθμοί.

Πρώτος αριθμός είναι ένας φυσικός αριθμός που έχει μόνο δύο διαφορετικούς διαιρέτες (τον ίδιο τον αριθμό και το 1).

Μερικά ενδιαφέροντα γεγονότα.

Νούμερο 1δεν είναι πρώτος αριθμός και δεν είναι σύνθετος.

Ο μόνος ζυγός αριθμός που έπεσε στην ομάδα των «πρώτων αριθμών» είναι δυάρι.Τιποτα αλλο Ζυγός αριθμόςαπλά δεν μπορεί να φτάσει εδώ, αφού εξ ορισμού, εκτός από τον εαυτό του και την ενότητα, χωρίζεται και στα δύο.

Οι πρώτοι αριθμοί δεν εμφανίζονται τυχαία στη φυσική σειρά, όπως μπορεί να φαίνεται με την πρώτη ματιά. Αφού τα αναλύσετε προσεκτικά, μπορείτε να παρατηρήσετε αμέσως πολλά χαρακτηριστικά, τα πιο περίεργααριθμοί - "δίδυμα" - Πρώτοι αριθμοί των οποίων η διαφορά είναι 2.Ονομάζονται έτσι γιατί ήταν το ένα δίπλα στο άλλο, χωρισμένοι μόνο με έναν ζυγό αριθμό (πέντε και επτά, δεκαεπτά και δεκαεννέα). Αν τους κοιτάξετε προσεκτικά, θα παρατηρήσετε ότι το άθροισμα αυτών των αριθμών είναι πάντα πολλαπλάσιο του τρία.Ζεύγη διδύμων με κοινό στοιχείο σχηματίζουν ζεύγη πρώτων αριθμών - «διπλά» (τρία και πέντε, πέντεκαι επτά).

1. Το άπειρο μιας σειράς πρώτων αριθμών.

Η ανωμαλία της κατανομής των πρώτων αριθμών μεταξύ όλων των φυσικών αριθμών είναι από καιρό εντυπωσιακή. Παρατηρήθηκε ότι καθώς μετακινείστε από έναν μικρό αριθμό σε έναν μεγάλο αριθμό στη φυσική σειρά, οι πρώτοι αριθμοί είναι όλο και λιγότερο συνηθισμένοι. Μια από τις πρώτες ερωτήσεις λοιπόν ήταν: υπάρχει ο τελευταίος πρώτος, δηλαδή έχει τέλος η σειρά των πρώτων;Περίπου το 300 π.Χ., ο διάσημος αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης έδωσε αρνητική απάντηση σε αυτό το ερώτημα. Απέδειξε ότι πίσω από κάθε πρώτο αριθμό υπάρχει ένας ακόμη μεγαλύτερος πρώτος αριθμός, δηλαδή υπάρχει άπειρος αριθμός πρώτων αριθμών.

Η παλαιότερη γνωστή απόδειξη αυτού του γεγονότος δόθηκε στο "" (βιβλίο ΙΧ, δήλωση 20).

Φανταστείτε ότι ο αριθμός των πρώτων είναι πεπερασμένος. Ας τα πολλαπλασιάσουμε και ας προσθέσουμε ένα. Ο αριθμός που προκύπτει δεν διαιρείται με κανένα από το πεπερασμένο σύνολο των πρώτων αριθμών, γιατί το υπόλοιπο της διαίρεσης με οποιονδήποτε από αυτούς δίνει ένα. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός πρέπει να διαιρείται με κάποιον πρώτο αριθμό που δεν περιλαμβάνεται σε αυτό το σύνολο.

Έτσι, δεν μπορεί κανείς να υποθέσει ότι η σειρά των πρώτων είναι πεπερασμένη: αυτή η υπόθεση οδηγεί σε μια αντίφαση. Έτσι, όποιο κι αν είναι μακροπρόθεσμαακολουθίες σύνθετους αριθμούςδεν έχουμε συναντηθεί στη σειρά των φυσικών αριθμών, μπορούμε να πειστούμε ότι πίσω από αυτήν υπάρχει ακόμα ένας άπειρος μεγαλύτερος αριθμός.

Οι μαθηματικοί πρόσφεραν άλλες αποδείξεις.

1.3 Ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός.

Άλλο είναι να είσαι σίγουρος ότι υπάρχουν μεγάλοι πρώτοι αριθμοί και άλλο πράγμα να γνωρίζεις ποιοι αριθμοί είναι πρώτοι. Όσο μεγαλύτερος είναι ο φυσικός αριθμός, τόσο περισσότεροι υπολογισμοί πρέπει να γίνουν για να διαπιστωθεί αν είναι πρώτος ή όχι.

Τα αρχεία τηρούνται για μεγάλο χρονικό διάστημα, σημειώνοντας τους μεγαλύτερους πρώτους αριθμούς που ήταν γνωστοί εκείνη την εποχή. Ένα από τα ρεκόρ σημειώθηκε κάποτε από τον Euler τον 18ο αιώνα, βρήκε έναν πρώτο αριθμό 2147483647.

Το μεγαλύτερο γνωστό απλό κάτοχος αριθμού-ρεκόραπό τον Ιούνιο του 2009 είναι 2 στην ισχύ 43112609 - 1(άνοιξε Cooper του Πανεπιστημίου του Central Missouri στις ΗΠΑ).Περιέχει 12.978.189 και είναι απλό. Χάρη σε αυτόν τον επιστήμονα, οι πρώτοι πρώτοι του Mersenne κατέχουν από καιρό το ρεκόρ ως οι μεγαλύτεροι γνωστοί πρώτοι. Χρειάστηκαν 75 ισχυροί υπολογιστές για τον προσδιορισμό τους.

Πληκτρολογήστε αριθμούς: 2 στη δύναμη του n μείον 1 , όπου το n είναι επίσης πρώτος αριθμός, είναι αριθμοί Mersenne. Ο Κούπερ έκανε μια νέα μαθηματική ανακάλυψη το 2013. Κατάφερε να βρει τον μακρύτερο πρώτο αριθμό στον κόσμο. Είναι γραμμένο ως εξής -2 στην ισχύ 57885161 - 1. Ο αριθμός περιέχει πάνω από 17 εκατομμύρια ψηφία. Για να το εκτυπώσετε σε χαρτί, θα χρειαστείτε περισσότερες από 13 χιλιάδες σελίδες Α4.
Τώρα το νέο ρεκόρ στην κατηγορία των primes Mersenne γράφεται ως2 στην ισχύ 57885161 - 1 , σε αυτό 17425170 ψηφία. Η ανακάλυψη ενός νέου κατόχου ρεκόρ έφερε στον Κούπερ ένα χρηματικό έπαθλο 3.000 δολαρίων

Το Electronic Frontier Foundation υπόσχεται επίσης να βραβεύσει $150.000 και $250.000 σε άτομα που εισάγουν πρώτους αριθμούς στον κόσμο, που αποτελούνται από 100 εκατομμύρια και ένα δισεκατομμύριο χαρακτήρες.

1. Μέθοδοι προσδιορισμού (αναζήτησης) πρώτων αριθμών.

α) Το κόσκινο του Ερατοσθένη.

Υπάρχει διάφορους τρόπουςαναζήτηση πρώτων αριθμών. Ο πρώτος που ασχολήθηκε με το έργο «να γράψει τους πρώτους από το σύνολο των φυσικών αριθμών» ήταν ο μεγάλος Έλληνας μαθηματικός της αρχαιότητας Ερατοσθένης, που έζησε σχεδόν 2.300 χρόνια πριν. Κατέληξε σε αυτήν τη μέθοδο: έγραψε όλους τους αριθμούς από το ένα σε κάποιο αριθμό, και μετά διέγραψε έναν, που δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος αριθμός, μετά διέγραψε όλους τους αριθμούς μετά το 2 έως το ένα (αριθμοί που είναι πολλαπλάσια του δύο, δηλαδή .4,6,8 κ.λπ.). Ο πρώτος αριθμός που απομένει μετά το 2 ήταν 3. Στη συνέχεια, μετά από δύο, όλοι οι αριθμοί μετά το τρία (αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 3, δηλ. 6, 9, 12 κ.λπ.) διαγράφονται, στο τέλος μόνο οι πρώτοι αριθμοί παρέμειναν μη διαγραμμένοι έξω : 2, 3, 5, 7, 11, 13,….

Έτσι, ο Ερατοσθένης επινόησε μια μέθοδο με την οποία είναι δυνατό να εξαφανιστούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί από το 1 έως κάποιο συγκεκριμένο αριθμό απομονώνοντας όλα τα πολλαπλάσια κάθε πρώτου αριθμού. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται «Κόσκινο του Ερατοσθένη». είναι ο ευκολότερος τρόπος για να βρείτε μια αρχική λίστα πρώτων μέχρι κάποια τιμή.

Οι Έλληνες έκαναν σημειώσεις σε επικαλυμμένες με κερί ταμπλέτες ή σε πάπυρο, και οι αριθμοί δεν ήταν διαγραμμένοι, αλλά τρυπημένοι με βελόνα, τότε ο πίνακας στο τέλος των υπολογισμών έμοιαζε με κόσκινο.

Είναι δυνατόν να αναγνωρίσουμε έναν πρώτο αριθμό, όπως λένε, με μια ματιά; Αν μπουν πολλοί αριθμοί σε ένα κόσκινο ταυτόχρονα, ένας απλός θα αστράφτει ανάμεσά τους, σαν ένα χρυσό ψήγμα; Κάποιοι το πιστεύουν. Για παράδειγμα, οι αριθμοί που τελειώνουν σε 1 συχνά αποδεικνύεται ότι είναι αυτοί που αναζητάτε, όπως 11, 31, 41. Ωστόσο, θα πρέπει να προσέχετε να μην μπερδεύετε τον πλαστό χρυσό με καθαρό χρυσό, όπως, ας πούμε, το 21 ή το 81 Καθώς οι αριθμοί αυξάνονται σε μέγεθος, η μονάδα στο τέλος μας παραπλανεί όλο και περισσότερο. Δίνει μάλιστα την εντύπωση ότι οι πρώτοι αριθμοί τελικά απλώς εξαφανίζονται, όπως πίστευαν ορισμένοι αρχαίοι Έλληνες.

β) Σύνταξη πινάκων με τη μέθοδο «Κόσκινο του Ερατοσθένη».

α) Το κόσκινο του Ερατοσθένη, ως μέθοδος θεωρητικής έρευνας, εισήχθη στη θεωρία αριθμών το 1920 από τον Νορβηγό μαθηματικό V. Brun. Χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο, οι επιστήμονες έχουν συντάξει πίνακες με πρώτους αριθμούς μεταξύ 1 και 12.000.000.

Ο αληθινός ήρωας στη σύνταξη του πίνακα των πρώτων αριθμών είναι ο Jakub Filip Kulik (1793-1863), καθηγητής στο Τσεχικό Πανεπιστήμιο της Πράγας.

Εκείνος, μη έχοντας σκοπό να τυπώσει το έργο του, συνέταξε έναν πίνακα διαιρετών αριθμών πρώτα εκατό εκατομμύρια, ακριβέστερα αριθμοί έως 100 320 201, και το τοποθέτησε στη βιβλιοθήκη της Ακαδημίας Επιστημών της Βιέννης για χρήση από όσους εργάζονται στον τομέα αυτό.

Στα μαθήματα των μαθηματικών χρησιμοποιούμε τον πίνακα που δίνεται στο φύλλο του σχολικού βιβλίου εντός 1000.

γ) Σύνταξη πινάκων με χρήση τεχνολογίας Η/Υ

Η εισαγωγή της τεχνολογίας των υπολογιστών στα θεωρητικά και εφαρμοσμένα μαθηματικά έχει διευκολύνει σημαντικά την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με χρονοβόρους υπολογισμούς.

Τα δεδομένα πινάκων οποιουδήποτε μεγέθους μπορούν να αποθηκευτούν στη μνήμη αρκετά περίπλοκων υπολογιστών, αλλά οι προσωπικές αριθμομηχανές δεν έχουν ακόμη τέτοιες δυνατότητες. Ως εκ τούτου, οι μαθηματικοί συνεχίζουν να εργάζονται για τα προβλήματα της σύνταξης συμπαγών και βολικών πινάκων, που προορίζονται, ειδικότερα, για την ανάλυση αριθμών.

Η χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών για το σκοπό αυτό επέτρεψε να γίνει ένα πολύ σημαντικό βήμα προς τα εμπρός. Για παράδειγμα, ένας σύγχρονος πίνακας αριθμών, για τη σύνταξη του οποίου συμμετείχε η τεχνολογία των υπολογιστών, καλύπτει τους αριθμούς έως 10.000.000. Αυτό είναι ένα αρκετά ογκώδες βιβλίο.

Στην πράξη, αντί να λαμβάνεται μια λίστα πρώτων αριθμών, είναι συχνά απαραίτητο να ελεγχθεί εάν ένας δεδομένος αριθμός είναι πρώτος. Οι αλγόριθμοι που λύνουν αυτό το πρόβλημα ονομάζονται .

Η χρήση εξειδικευμένων αλγορίθμων για τον προσδιορισμό της απλότητας ενός αριθμού (είναι πρώτος ο αριθμός;) σας επιτρέπει να αναζητήσετε έναν πρώτο αριθμό εντός των δεδομένων ορίων της φυσικής σειράς αριθμών.

ε) Η Ανακάλυψη της Εποχής - Ο Νόμος των Πρώτων Αριθμών

Ακόμη και στην αρχαιότητα, οι επιστήμονες ενδιαφέρθηκαν για το ερώτημα ποιος νόμος είναι διατεταγμένοι οι πρώτοι αριθμοί στη φυσική σειρά. Ο Ρώσος Πυθαγόρας - Vladimir Khrenov - συγκλόνισε τον επιστημονικό κόσμο με την ανακάλυψη του νόμου των πρώτων αριθμών. Αυτός ο νόμος όχι μόνο επιστρέφει τα μαθηματικά στο σωστό δρόμο, αλλά επίσης εξηγεί πολλούς νόμους της φύσης από τη σκοπιά της αληθινής γνώσης του κόσμου.Ρωσική ιδιοφυΐαΒλαντιμίρ Κρένοφέκανε μια επιστημονική ανακάλυψη , που ανατρέπει την υπάρχουσα έννοια του χρόνου και του χώρου , τιΟι πρώτοι αριθμοί δεν είναι χάος.

Οι πρώτοι αριθμοί λαμβάνονται με τον τύπο: "6X συν ή πλην 1"όπου Χ είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.

13=6 *2-1; 13=6 *2-1; 19=6 *3+1; 31=6 *5+1;

Η ανακάλυψη έγινε στις 30 Απριλίου 2000. Ήταν το ιωβηλαίο Πάσχα της Ανάστασης του Χριστού. Σημαντική ημερομηνία. Την ημέρα αυτή αποκαλύφθηκε το πραγματικό μοντέλο του πραγματικού χώρου και χρόνου. Στις 7 Ιανουαρίου 2001, περιγράφηκε ο νόμος των πρώτων αριθμών, και μαζί του, τα μοτίβα σχηματισμού όλων των αριθμών της φυσικής σειράς. Έτσι, μετά την ανακάλυψη του νόμου των πρώτων αριθμών, έγινε σαφές ότι το eμονάδα - το πρότυπο του χώρου,έξι - το πρότυπο του χρόνου και μαζί τα δύο πρότυπα του χώρου και του χρόνου δημιουργούν όλη την ποικιλομορφία της φύσης και είναι η αιώνια βασική αιτία των πάντων. Τώρα, μετά την ανακάλυψη του Νόμου των Πρώτων Αριθμών, έγινε σαφές ότι αποτελούν την επιστημονική βάση για τη μαγεία του αριθμού 7.Αυτός ο νόμος δεν έχει μόνο μια κολοσσιαία κοσμοθεωρία, αλλά σας επιτρέπει να δημιουργήσετε μια νέα γενιά τεχνολογιών προστασίας πληροφοριών με βάση αυτή τη θεωρία.Για να δημιουργήσετε έναν νέο, χρειάζεστε έναν νέο πρώτο αριθμό. Γι' αυτό οι μαθηματικοί που το ανακάλυψαν αμείβονται με τόσο τεράστια ποσά.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

1. Παραδείγματα ορισμένων δηλώσεων της θεωρίας των πρώτων αριθμών από γνωστούς Σοβιετικούς επιστήμονες σχετικά με τη θεωρία των πρώτων αριθμών.

Αν και έχουν περάσει περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια από την εποχή του Ευκλείδη, τίποτα νέο δεν προστέθηκε στη θεωρία του. Οι πρώτοι αριθμοί στη φυσική σειρά είναι εξαιρετικά ιδιότροποι. Ωστόσο, υπάρχει ένας τεράστιος αριθμός γρίφων που σχετίζονται με πρώτους αριθμούς.

Τα μεγάλα πλεονεκτήματα στον τομέα της μελέτης των πρώτων αριθμών ανήκουν σε Ρώσους και Σοβιετικούς μαθηματικούς. Με ενδιέφεραν απλές και συνάμα εκπληκτικές δηλώσεις που αποδείχθηκαν σε αυτόν τον τομέα από γνωστούς Σοβιετικούς επιστήμονες. Τα εξέτασα και έδωσα ορισμένα παραδείγματα που επιβεβαιώνουν την αλήθεια των δηλώσεων.

P.L. Chebyshev (1821-1894)αποδείχθηκαν ότι μεταξύ οποιουδήποτε φυσικού αριθμού μεγαλύτερου από 1 και διπλάσιο του δεδομένου αριθμού, υπάρχει πάντα τουλάχιστον ένας πρώτος αριθμός.

Θεωρήστε τα ακόλουθα ζεύγη πρώτων που ικανοποιούν αυτήν την συνθήκη.

Παραδείγματα:

και το 4 είναι ο πρώτος αριθμός 3.

και το 6 είναι ο πρώτος αριθμός 5.

Το 10 και το 20 είναι πρώτοι αριθμοί 11. 13; 17; 19.
Το 5 και το 10 είναι ο πρώτος αριθμός 7.

Το 7 και το 14 είναι πρώτοι αριθμοί 11. 13.

Το 11 και το 22 είναι πρώτοι αριθμοί 13. 17; 19.

συμπέρασμα: πράγματι, μεταξύ οποιουδήποτε φυσικού αριθμού μεγαλύτερου από 1 και διπλάσιο του δεδομένου αριθμού, υπάρχει τουλάχιστον ένας πρώτος αριθμός.

Christian Goldback,μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης, σχεδόν πριν από 250 χρόνια το πρότεινε αυτό όποιος περιττός αριθμόςμεγαλύτερο από 5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα τριών πρώτων αριθμών.

Παραδείγματα:

21 = 3 + 7 + 11,

37 = 17 + 13 + 7,

23= 5 + 7 + 11,

29= 11 + 13 + 5,

Vinogradov IM. (1891-1983),Σοβιετικός μαθηματικός, απέδειξε αυτή την πρόταση μόλις 200 χρόνια αργότερα.

7 = 2 + 2 + 3, 15 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5,

9 = 3+3 + 3, 20 = 7 + 11 + 2.

Αλλά η δήλωση « Κάθε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος του 2 μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών » ακόμα δεν έχει αποδειχθεί .

Παραδείγματα:

28= 11 + 17, 924 = 311 + 613,

56= 19 + 37, 102 = 59 + 43.

2.2 Παραδείγματα μιας σειράς προβλημάτων στη θεωρία των πρώτων αριθμών.

Το πρόβλημα της έλλειψης κανονικοτήτων στην κατανομή των πρώτων αριθμών έχει απασχολήσει το μυαλό της ανθρωπότητας από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών. Χάρη στον Ευκλείδη, γνωρίζουμε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Ο Erastofen, Sundaram πρότεινε τους πρώτους αλγόριθμους για τη δοκιμή αριθμών για λόγους απλότητας. Ο Euler, ο Fermat, ο Legendre και πολλοί άλλοι διάσημοι μαθηματικοί προσπάθησαν και προσπαθούν ακόμα να λύσουν το αίνιγμα των πρώτων αριθμών. Μέχρι σήμερα, έχουν βρεθεί και προταθεί πολλοί κομψοί αλγόριθμοι και κανονικότητες, αλλά όλοι τους ισχύουν μόνο για μια πεπερασμένη σειρά πρώτων αριθμών ή πρώτων αριθμών ειδικού τύπου. Η αιχμή της επιστήμης στη μελέτη των πρώτων αριθμών στο άπειρο θεωρείται η απόδειξη. Μπαίνει μέσα , για την απόδειξη ή τη διάψευση της οποίας το Μαθηματικό Ινστιτούτο Clay προσέφερε έπαθλο 1.000.000 $.

Τα πιο διάσημα προβλήματα πρώτων αριθμών έχουν καταγραφεί στο πέμπτο. Σήμερα, οι επιστήμονες μιλούν για 23 προβλήματα.

Κατάφερα να εξετάσω 4 από αυτά, να δώσω ορισμένα παραδείγματα για κάθε πρόβλημα.

Το πρώτο πρόβλημα του Landau (το πρόβλημα του Goldbach):

να αποδείξει ή να διαψεύσει:

Κάθε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος από δύο μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα δύο πρώτων και κάθε περιττός αριθμός μεγαλύτερος από 5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα τριών πρώτων.

Παραδείγματα :

8 = 3+5,

12 = 5+7,

16=13 +3, 17= 11+3+3,

24=19+5, 21=11+7+3

50 = 13+37

Το δεύτερο πρόβλημα του Landau (το πρόβλημα του Goldbach):

Υπάρχει ένα άπειρο σύνολο «απλών διδύμων» - πρώτων αριθμών, η διαφορά μεταξύ των οποίων είναι ίση με 2;

α) Προσδιόρισε τους παρακάτω αριθμούς «δίδυμα»:

3 και 5; 5 και 7; 7 και 9; 11 και 13, 17 και 19. 41 και 43;

σι). Τα ζευγάρια των διδύμων αποτελούνται από δίδυμα με ένα κοινό στοιχείο. Κατάφερα να βρω τα παρακάτω ζευγάρια διδύμων - "δίδυμα"

Λύση:

(3, 5) και (5, 7);

Είναι γνωστό ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Αλλά κανείς δεν ξέρει, φυσικά, ή άπειρο αριθμό ζευγαριών διδύμων.

Το τρίτο πρόβλημα του Landau (υπόθεση)

είναι αλήθεια ότι μεταξύ αριθμών της μορφήςn2 και (n + 1)2υπάρχει πάντα πρώτος αριθμός;το n είναι περιττός αριθμός)

Λύση:

α) στο n \u003d 3, παίρνουμε 6 και 8, μεταξύ τους έναν πρώτο αριθμό 7.

β) πότε n \u003d 5, παίρνουμε 10 και 12, μεταξύ τους έναν πρώτο αριθμό 11.

Γάτα n \u003d 9, παίρνουμε 18 και 20, μεταξύ τους είναι ένας πρώτος αριθμός 19.

4. Το τέταρτο πρόβλημα του Landau:

Υπάρχει άπειρο σύνολο πρώτων αριθμών της φόρμας; n2 + 1;

Λύση:

στο n =1, τότε έχουμε 3; για n =2, τότε έχουμε 5. για n =3, τότε έχουμε 7

στο n \u003d 5, τότε έχουμε 11, για n \u003d 6 τότε έχουμε 13. για n = 8, τότε έχουμε 17, και ούτω καθεξής.

2.3. Εφαρμοσμένες εργασίες

Εργασία 1. Χρησιμοποιώντας το κόσκινο του Ερατοσθένηπροσδιορίστε πόσους πρώτους αριθμούςείναι από 1 έως 100.

Λύση:

Για να το κάνετε αυτό, γράψτε όλους τους αριθμούς από το 1 έως το 100 είναι απίθανο. .

Θα διαγράψουμε αριθμούς που δεν είναι πρώτοι. Ας διαγράψουμε το 1 γιατί δεν είναι πρώτος αριθμός. Ο πρώτος πρώτος αριθμός είναι το 2.

Ας τον υπογραμμίσουμε και ας διαγράψουμε όλους τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 2, δηλαδή τους αριθμούς 4, 6, 8 ... 100 ο επόμενος πρώτος αριθμός είναι το 3. Ας τον υπογραμμίσουμε και ας διαγράψουμε τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 3 που δεν έχουν διαγραφεί δηλαδή τα νούμερα 9; 15, 21 ... 99. Στη συνέχεια υπογραμμίζουμε τον πρώτο αριθμό 5 και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσια του 5. Αριθμοί 25 ... 95. Και ούτω καθεξής, μέχρι να παραμείνει ένας πρώτος αριθμός 97.

Συμπέρασμα:Μεταξύ 1 και 100 είναι 25πρώτοι αριθμοί, δηλαδή οι αριθμοί 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. (Παράρτημα 1)

Εργασία 2. Για να λάβετε μια λίστα με πρώτους αριθμούς μικρότερους από το 1000, θα πρέπει να «σβήσετε» τους αριθμούς που διαιρούνται με το 2, 3, 5, 7, 11 ... Σε ποιον αριθμό μπορείτε να σταματήσετε;

Λύση:

Με τη μέθοδο του Ερατοσθένη πραγματοποίησα παρόμοια

εργαστείτε για τον έλεγχο των σύνθετων αριθμών μέχρι το 1000.

Συμπέρασμα: για να λάβετε πρώτους αριθμούς μέχρι το 1000, μπορείτε να σταματήσετε σε έναν πρώτο αριθμό 31 (διαγράψτε πολλαπλάσια του 31). (Παράρτημα 2)

2.4 Εργασίες εφαρμογής των νόμων των πρώτων αριθμών

Πρόβλημα 3. Πώς να δείξετε ότι ο αριθμός 19 είναι πρώτος χρησιμοποιώντας δύο ελέγχους;

Η λύση παρουσιάζεται στο εφαρμογή 3.

Πρόβλημα 4. Πώς να δείξετε με τη βοήθεια τριών ελέγχων ότι ο αριθμός 47 είναι πρώτος;

Η λύση παρουσιάζεται στο εφαρμογή 4.

2.5 Μαγικά τετράγωνα.

Υπάρχουν πολλά ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα αφιερωμένα στους πρώτους αριθμούς στην εφαρμογή τετραγωνικών πινάκων - μαγικών τετραγώνων, στους οποίους η άθροιση στοιχείων κατά μήκος οποιασδήποτε γραμμής, οποιασδήποτε στήλης και δύο κύριων διαγωνίων δίνει τον ίδιο αριθμό.

Το πρώτο από αυτά εφευρέθηκε από τον Henry Ernest Dewdney, έναν διάσημο Άγγλο ειδικό στο παζλ.

Υπάρχουν μαγικά τετράγωνα που αποτελούνται μόνο από πρώτους αριθμούς; Αποδεικνύεται ναι.

Μελέτησα τα μαγικά τετράγωνα 3x3, 4x4, 6x6 και προσδιόρισα το άθροισμα σε κάθε γραμμή, κάθε στήλη και κάθε κύρια διαγώνιο καθενός από αυτά τα τετράγωνα. Η λύση παρουσιάζεται στο εφαρμογή 5.

σε κάθε γραμμή, κάθε στήλη και κάθε κύρια διαγώνιο. Δίνω παραδείγματα τετραγώνων, με πίνακα 3x3, 4x4, 6x6.

1

67

43

37

13

61

73

31

7

3

61

19

37

43

31

5

41

7

11

73

29

67

17

23

13

3

1

3

9

9

1

9

8

3

9

2

9

1

6

4

3

1

2

5

1

7

4

7

1

7

1

5

9

7

1

9

3

7

3

3

9

συμπέρασμα:

1. Το μαγικό τετράγωνο 1 μεγέθους 3x3 έχει άθροισμα 111 (παρεμπιπτόντως, δεν είναι επίσης πρώτος αριθμός)

2. Το μαγικό τετράγωνο 2 με μέγεθος 4x4 έχει άθροισμα;

3. Το μαγικό τετράγωνο 3 6x6 έχει άθροισμα;

3.4. Εφαρμογή του νόμου των πρώτων αριθμών σε διάφορα πεδία.

Οι πρώτοι αριθμοί δεν αποτελούν μόνο αντικείμενο στενής εξέτασης από μαθηματικούς σε όλο τον κόσμο, αλλά έχουν χρησιμοποιηθεί από καιρό με επιτυχία στη σύνταξη διαφόρων σειρών αριθμών, η οποία αποτελεί τη βάση, συμπεριλαμβανομένης της κρυπτογραφίας.Η γνώση των νόμων κατέστησε δυνατή την παροχή τέτοιων κατοχυρωμένων με δίπλωμα ευρεσιτεχνίας τεχνικών λύσεων για την προστασία της μετάδοσης πληροφοριών, οι οποίες, στην υπάρχουσα μαθηματική βάση, θεωρήθηκαν απλώς αδύνατες.Οι πρώτοι αριθμοί απαιτούνται για τη δημιουργία κρυπτογράφησης. Αργά ή γρήγορα, κάθε κρυπτογράφηση αποχαρακτηρίζεται.

Εδώ οι επιστήμονες στρέφονται σε μια από τις πιο σημαντικές ενότητες πληροφορική - στην κρυπτογραφία. Αν είναι τόσο δύσκολο να βρεθεί ο επόμενος πρώτος αριθμός, τότε πού και για τι μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην πράξη αυτοί οι αριθμοί; Η πιο κοινή χρήση των πρώτων αριθμών είναι στην κρυπτογραφία (κρυπτογράφηση δεδομένων). Οι πιο ασφαλείς και δύσκολο να αποκρυπτογραφηθούν μέθοδοι κρυπτογράφησης βασίζονται στη χρήση πρώτων αριθμών με περισσότερα από τριακόσια ψηφία.

Προσπάθησα να δείξω το πρόβλημα που αντιμετωπίζει ένας αποκρυπτογραφητής προκειμένου να αποκρυπτογραφήσει έναν συγκεκριμένο κωδικό πρόσβασης. Ας υποθέσουμε ότι ο κωδικός πρόσβασης είναι ένας από τους διαιρέτες ενός σύνθετου αριθμού και ο αποκρυπτογραφητής είναι ένα άτομο. Ας πάρουμε έναν αριθμό από την πρώτη δεκάδα, για παράδειγμα, 8. Κάθε (ελπίζω) άτομο είναι σε θέση να αποσυνθέτει νοητικά τον αριθμό 8 σε πρώτους παράγοντες - 8=2*2*2. Ας περιπλέκουμε το έργο: ας πάρουμε έναν αριθμό από την πρώτη εκατό, για παράδειγμα, 111. Σε αυτήν την περίπτωση, το 111 θα αποσυντεθεί γρήγορα σε παράγοντες από άτομα που γνωρίζουν τα σημάδια διαιρετότητας ενός αριθμού με το 3 (αν το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού είναι πολλαπλάσιο του 3, τότε αυτός ο αριθμός διαιρείται με το 3), και μάλιστα - 111=3*37. Για να περιπλέκουμε την εργασία, ας πάρουμε έναν αριθμό από την πρώτη χίλια, για παράδειγμα 1207. Ένα άτομο (χωρίς τη χρήση μηχανικής επεξεργασίας) θα χρειαστεί τουλάχιστον χαρτί και στυλό για να δοκιμάσει να διαιρέση τον αριθμό 1207 με "όλο" τον πρώτο αριθμοί που προηγούνται αυτού του αριθμού. Και μόνο με τη διαδοχική διαίρεση του 1207 σε όλους τους πρώτους αριθμούς από 2 έως 17 άτομα θα πάρουν τελικά τον δεύτερο ακέραιο διαιρέτη αυτού του αριθμού - 71. Ωστόσο, το 71 πρέπει επίσης να ελεγχθεί για απλότητα.

Γίνεται σαφές ότι με την αύξηση του αριθμού των ψηφίων, για παράδειγμα, ενός πενταψήφιου αριθμού - 10001, η αποσύνθεση (στο παράδειγμά μας, αποκρυπτογράφηση κωδικού πρόσβασης) χωρίς επεξεργασία από μηχανή θα χρειαστεί πολύ χρόνο. Το σύγχρονο στάδιο ανάπτυξης της τεχνολογίας υπολογιστών (διαθέσιμο στον μέσο χρήστη) σάς επιτρέπει να συνυπολογίζετε αριθμούς που αποτελούνται από εξήντα ψηφία μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα.

Σκεφτείτε πόσες ζωές πρέπει να ζήσει ένα άτομο για να αποσυνθέσει έναν δεδομένο αριθμό σε πρώτους παράγοντες χωρίς τη βοήθεια μηχανών!

Μέχρι σήμερα, αποσυνθέστε αριθμούς που αποτελούνται από χίλια ή περισσότερα ψηφία σε αναλογία με ΑΝΘΡΩΠΙΝΗ ζωηχρόνος, μπορεί μόνο ! Με τη βοήθειά τους οι επιστήμονες βρίσκουν όλο και περισσότερα νέα, πρώτοι αριθμοί.

Έμαθα ότι η γνώση των ανοιχτών νόμων θα επιτρέψει τη δημιουργία ποιοτικά νέων λύσεων στους ακόλουθους τομείς:

Εξαιρετικά ασφαλές λειτουργικό σύστημα για τράπεζες και εταιρείες.

Το σύστημα καταπολέμησης πλαστών προϊόντων και πλαστών τραπεζογραμματίων.

Απομακρυσμένο σύστημα αναγνώρισης και αντικλεπτικής προστασίας.

Σύστημα για την καταπολέμηση της εξάπλωσης ιών υπολογιστών.

Υπολογιστές νέας γενιάς στο μη γραμμικό σύστημα αριθμών της φύσης.

Μαθηματική και βιολογική τεκμηρίωση της θεωρίας της αρμονίας των αντιλήψεων.

Μαθηματική συσκευή για νανοτεχνολογίες.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ.

Κατά τη διάρκεια της εργασίας σε αυτό το θέμα, κατάφερα να επεκτείνω την κατανόησή μου για τους πρώτους αριθμούς στους ακόλουθους τομείς:

μελέτησε ενδιαφέρουσες πτυχές της ανάπτυξης της θεωρίας των πρώτων αριθμών, εξοικειώθηκε με τα νέα επιτεύγματα των επιστημόνων που είναι διαθέσιμα για την κατανόησή μου σε αυτόν τον τομέα και την πρακτική εφαρμογή της,

σχημάτισε μια γενική ιδέα για τον τρόπο εύρεσης πρώτων αριθμών, κατέκτησε την αρχή της επιλογής πρώτων αριθμών από τις φυσικές σειρές χρησιμοποιώντας τη μέθοδο "Κόσκινο του Ερατοσθένη" έως το 100. 1000

μελέτησε την εφαρμογή της θεωρίας των πρώτων αριθμών σε προβλήματα,

εξοικειώθηκε με την εφαρμογή της θεωρίας των πρώτων αριθμών σε διάφορους τομείς.

Κατά τη διάρκεια της συγγραφής του έργου, κατάφερα να κατακτήσω δύο τρόπους για να αποκτήσω μια σειρά πρώτων αριθμών:

πρακτικός τρόπος - διαλογή (κόσκινο του Ερατοσθένη),

αναλυτική μέθοδος - εργασία με τύπο (ο νόμος των πρώτων αριθμών).

Ως μέρος της μελέτης:

έκανε τη δική της επαλήθευση ενός αριθμού μαθηματικών δηλώσεων αντικαθιστώντας τιμές, έχοντας λάβει τις σωστές μαθηματικές εκφράσεις,

αναγνώρισε μια σειρά αριθμών "Δίδυμοι" και "Δίδυμοι",

συνέθεσε μια σειρά από αριθμητικές εκφράσεις που υποδεικνύονται στα προβλήματα του Landau,

έλεγξε ότι τα τετράγωνα με πίνακα 3x3, 4x4., 6x6 είναι μαγικά,

έλυσε δύο προβλήματα με δύο τρόπους σχετικά με την εφαρμογή του νόμου των πρώτων αριθμών και δηλώσεων.

Στη διαδικασία της εργασίας πάνω στο θέμα, πείστηκα ότι οι πρώτοι αριθμοί παραμένουν πλάσματα, πάντα έτοιμα να ξεφύγουν από τον ερευνητή. Οι πρώτοι αριθμοί είναι η «πρώτη ύλη» από την οποία σχηματίζεται η αριθμητική, και ότι υπάρχει απεριόριστη προσφορά αυτού του υλικού.

Ενδιαφέρομαι για ειδικούς στον τομέα της κρυπτογραφίας, που πρόσφατα έχουν μεγάλη ζήτηση σε μυστικές οργανώσεις. Είναι αυτοί που βρίσκουν όλο και περισσότερους μεγάλους πρώτους αριθμούς για να ενημερώνουν συνεχώς τη λίστα των πιθανών κλειδιών και να προσπαθούν να εντοπίσουν όλο και περισσότερα νέα μοτίβα στην κατανομή των πρώτων αριθμών. Οι πρώτοι αριθμοί και η κρυπτογραφία είναι το επόμενο θέμα μου στη μελέτη της θεωρίας των πρώτων αριθμών.

Νομίζω ότι αυτό το έργομπορεί να χρησιμοποιηθεί σε εξωσχολικές δραστηριότητες, σε προαιρετικές τάξεις για μαθητές των τάξεων 6-7, ως πρόσθετο υλικό για μαθήματα μαθηματικών στην τάξη 6 κατά την προετοιμασία εκθέσεων για το θέμα. Το θέμα της έρευνας είναι πολύ ενδιαφέρον, σχετικό, δεν έχει όρια σπουδών, θα πρέπει να προκαλέσει μεγάλο ενδιαφέρον στους μαθητές.

Βιβλιογραφικός κατάλογος

// . - 1975. - Νο. 5. - Σ. 5-13.

Ν. Καρπουσίνα. // . - 2010. - Νο. 5.

Enrique Gracian - "Prime numbers. Long road to infinity" σειρά "The World of Mathematics" vol.3 De Agostini 148s, 2014

Γεγονότα για τους αριθμούς. Αυτοί είναι πρώτοι αριθμοί και πολλοί άλλοι. Μερικούς αριθμούς, όπως τον αριθμό Pi και έναν αριθμό άλλων, έχουμε βγάλει σε ξεχωριστά υλικά. Σας συμβουλεύουμε λοιπόν να τα διαβάσετε. Παραθέτουμε εδώ μερικά διασκεδαστικά γεγονότα για τους αριθμούςπου σίγουρα θα σας ενδιαφέρει.

Γεγονότα για αρνητικούς αριθμούς

Στην εποχή μας αρνητικούς αριθμούςγνωστό σε πολλούς, αλλά αυτό δεν συνέβαινε πάντα. Για πρώτη φορά, αρνητικοί αριθμοί άρχισαν να χρησιμοποιούνται στην Κίνα τον 3ο αιώνα, αλλά επιτρεπόταν να χρησιμοποιούνται μόνο σε εξαιρετικές περιπτώσεις, αφού θεωρούνταν ανοησίες. Λίγο αργότερα, οι αρνητικοί αριθμοί άρχισαν να χρησιμοποιούνται στην Ινδία για να δηλώσουν χρέη.

Έτσι, στο έργο «Μαθηματικά» σε εννέα βιβλία, που εκδόθηκε το 179 μ.Χ. ε., κατά τη διάρκεια της δυναστείας των Χαν και σχολιάστηκε το 263 από τον Λιου Χούι, στο κινεζικό σύστημα μέτρησης ραβδιών, τα μαύρα μπαστούνια χρησιμοποιήθηκαν για αρνητικούς αριθμούς και τα κόκκινα ραβδιά για τους θετικούς. Επίσης, για να υποδείξει αρνητικούς αριθμούς, ο Liu Hui χρησιμοποίησε λοξά ραβδιά μέτρησης.

Το σύμβολο "-" που χρησιμοποιείται τώρα για να δηλώσει αρνητικούς αριθμούς εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο αρχαίο χειρόγραφο Bakhshali στην Ινδία, αλλά δεν υπάρχει συναίνεση μεταξύ των μελετητών ως προς το πότε συντάχθηκε, με διαφωνίες που κυμαίνονται από το 200 CE έως το 600 CE. μι.

Οι αρνητικοί αριθμοί ήταν ήδη γνωστοί στην Ινδία το 630 μ.Χ. Χρησιμοποιήθηκαν από τον μαθηματικό Brahmagupta (598-668).

Για πρώτη φορά στην Ευρώπη, οι αρνητικοί αριθμοί άρχισαν να χρησιμοποιούνται γύρω στο 275 μ.Χ. Εισήχθησαν από τον Έλληνα μαθηματικό Διόφαντο της Αλεξάνδρειας, αλλά στη Δύση θεωρήθηκαν παράλογα μέχρι την εμφάνιση του βιβλίου "Ars Magna" ("Μεγάλη Τέχνη"), που γράφτηκε το 1545 από τον Ιταλό μαθηματικό Girolamo Cardano (1501-1576). .

Γεγονότα για τους πρώτους αριθμούς

Οι αριθμοί 2 και 5 είναι οι μόνοι πρώτοι αριθμοί που τελειώνουν σε 2 και 5.

Άλλα στοιχεία για τους αριθμούς

Ο αριθμός 18 είναι ο μόνος αριθμός (εκτός από το 0) του οποίου το άθροισμα ψηφίων είναι 2 φορές μικρότερο από τον εαυτό του.

Το 2520 είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο με όλους τους αριθμούς από το 1 έως το 10.

Ο αριθμός "πέντε" προφέρεται "χα" στα Ταϊλανδέζικα. Επομένως, ο αριθμός που αποτελείται από τρία πεντάρια - 555, θα προφέρεται ως αργκό για το ανθρώπινο γέλιο - «Χα, χα, χα».

Όλοι γνωρίζουμε ότι υπάρχουν παλίνδρομα. Αυτά δηλαδή που διαβάζονται από αριστερά προς τα δεξιά και από δεξιά προς τα αριστερά και δεν αλλάζει η σημασία τους. Υπάρχουν όμως και παλίνδρομοι αριθμοί (παλίνδρομον). Είναι αριθμοί καθρέφτη που πρέπει να διαβάζονται και να έχουν ίδια αξίακαι προς τις δύο κατευθύνσεις, π.χ. 1234321.

Η λέξη Googol (η προέλευση της επωνυμίας Google) αντιπροσωπεύει τον αριθμό 1 ακολουθούμενο από 100 μηδενικά.

Ο μόνος αριθμός που δεν μπορεί να γραφτεί με λατινικούς αριθμούς είναι το μηδέν. Επίσης, στα σύγχρονα μαθηματικά το μηδέν έχει κάποια χαρακτηριστικά ερμηνείας του. Έτσι, στα ρωσικά μαθηματικά δεν κατατάσσεται στη σειρά των φυσικών αριθμών, αλλά η ξένη επιστήμη την παραπέμπει.

Τμήμα Παιδείας και Διοίκησης Πολιτικής Νεολαίας

Περιοχή Yalchiksky της Δημοκρατίας του Τσουβάς

Εργο
Πρώτοι αριθμοί...

Είναι πραγματικά τόσο απλή η ιστορία τους;

Ολοκληρώθηκε από έναν μαθητή της 7ης τάξης του γυμνασίου Novoshimkusskaya της περιοχής Yalchik της Δημοκρατίας του Τσουβάς Εφίμοβα Μαρίνα

Επικεφαλής: καθηγητής μαθηματικών της 1ης κατηγορίας του δευτεροβάθμιου σχολείου Novoshimkusskaya της περιοχής Yalchik της Δημοκρατίας του Τσουβάς Kirillova S.M.

v. New Shimkusy - 2007

1. 
   Ορισμός Πρώτων Αριθμών 3
2. 
   Merit Euler 3
3. 
   Θεμελιώδες Θεώρημα Αριθμητικής 4
4. 
   Mersenne πρώτοι 4
5. 
   Fermat Primes 5
6. 
   Κόσκινο του Ερατοσθένη 5
7. 
   Ανακάλυψη του P.L. Chebyshev 6
8. 
   Πρόβλημα Goldbach 7
9. 
   I.M. Vinogradov 8
10. 
    Συμπέρασμα 8
11. 
    Βιβλιογραφία 10

Ορισμός Πρώτων Αριθμών

Το ενδιαφέρον για τη μελέτη των πρώτων αριθμών προέκυψε μεταξύ των ανθρώπων στην αρχαιότητα. Και δεν προκλήθηκε μόνο από πρακτική αναγκαιότητα. Ελκύονται από την εξαιρετική μαγική τους δύναμη. Αριθμοί που μπορούν να εκφράσουν τον αριθμό οποιωνδήποτε στοιχείων. Απροσδόκητες και συνάμα φυσικές ιδιότητες των φυσικών αριθμών, που ανακαλύφθηκαν από αρχαίους μαθηματικούς, τους εξέπληξαν με την αξιοσημείωτη ομορφιά τους και ενέπνευσαν νέες έρευνες.

Μία από τις πρώτες ιδιότητες των αριθμών που ανακάλυψε ο άνθρωπος πρέπει να ήταν ότι μερικοί από αυτούς μπορούν να συνυπολογιστούν σε δύο ή περισσότερους παράγοντες, για παράδειγμα,

6=2*3, 9=3*3, 30=2*15=3*10, ενώ άλλα, όπως 3, 7, 13, 37, δεν μπορούν να αποσυντεθούν με τον ίδιο τρόπο.

Όταν ο αριθμός c = ένασιείναι το γινόμενο δύο αριθμών ένακαι β , μετά τους αριθμούς α καισιπου ονομάζεται πολλαπλασιαστέςή διαβήτηςαριθμοί s. Κάθε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο δύο παραγόντων. Για παράδειγμα, με = 1*s = s*1.

Απλόςείναι ένας αριθμός που διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και ένα.

Μια μονάδα που έχει μόνο έναν διαιρέτη δεν είναι πρώτος αριθμός. Δεν ισχύει ούτε για σύνθετους αριθμούς. Η μονάδα κατέχει ειδική θέση στη σειρά αριθμών. Οι Πυθαγόρειοι δίδαξαν ότι η μονάδα είναι η μητέρα όλων των αριθμών, το πνεύμα από το οποίο όλοι ορατό κόσμο, είναι λόγος, καλοσύνη, αρμονία.

Στο Πανεπιστήμιο του Καζάν, ο καθηγητής Νικόλσκι κατάφερε να αποδείξει την ύπαρξη του Θεού με τη βοήθεια της μονάδας. Είπε: «Όπως δεν μπορεί να υπάρξει αριθμός χωρίς μονάδα, έτσι και το Σύμπαν δεν μπορεί να υπάρξει χωρίς έναν μόνο Κύριο».

Η μονάδα είναι πράγματι ένας αριθμός που είναι μοναδικός στις ιδιότητές της: διαιρείται μόνο με τον εαυτό του, αλλά οποιοσδήποτε άλλος αριθμός διαιρείται με αυτόν χωρίς υπόλοιπο, οποιαδήποτε από τις δυνάμεις του είναι ίση με τον ίδιο αριθμό - ένα!

Μετά τη διαίρεση με αυτόν, δεν αλλάζει ούτε ένας αριθμός, και αν διαιρέσετε οποιονδήποτε αριθμό από τον εαυτό του, θα πάρετε πάλι έναν! Δεν είναι έκπληξη; Αφού συλλογίστηκε αυτό, ο Euler δήλωσε: «Κάποιος πρέπει να εξαιρεθεί από την ακολουθία των πρώτων αριθμών, δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος».

Αυτή ήταν ήδη μια ουσιαστική διάταξη στο σκοτεινό και πολύπλοκο ερώτημα των πρώτων αριθμών.

Merit Euler

Λέονχαρντ Όιλερ

(1707-1783)

Όλοι έμαθαν από τον Euler - και Δυτική Ευρώπηκαι στη Ρωσία. Το εύρος του έργου του είναι ευρύ: διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός, άλγεβρα, μηχανική, διοπτρία, πυροβολικό, θαλάσσια επιστήμη, θεωρία της κίνησης των πλανητών και της σελήνης, η θεωρία της μουσικής - είναι αδύνατο να απαριθμήσω τα πάντα. Σε όλο αυτό το επιστημονικό μωσαϊκό υπάρχει και η θεωρία των αριθμών. Ο Όιλερ της έδωσε πολλή δύναμη και πέτυχε πολλά. Αυτός, όπως πολλοί από τους προκατόχους του, έψαχνε για έναν μαγικό τύπο που θα σας επέτρεπε να επιλέξετε πρώτους αριθμούς από ένα άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών, δηλαδή από όλους τους αριθμούς που μπορείτε να φανταστείτε. Ο Euler έγραψε περισσότερα από εκατό έργα σχετικά με τη θεωρία αριθμών.

...Έχει αποδειχθεί, για παράδειγμα, ότι ο αριθμός των πρώτων είναι απεριόριστος, δηλ.: 1) δεν υπάρχει μεγαλύτερος πρώτος αριθμός. 2) δεν υπάρχει τελευταίος πρώτος αριθμός μετά τον οποίο όλοι οι αριθμοί θα είναι σύνθετοι. Η πρώτη απόδειξη αυτής της θέσης ανήκει στους επιστήμονες της αρχαίας Ελλάδας (V-III αιώνες π.Χ.), η δεύτερη απόδειξη - στον Euler (1708-1783).

Θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής

Οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός εκτός από το 1 είναι είτε πρώτος είτε μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών, και μοναδικά, αν δεν προσέξετε τη σειρά των παραγόντων.

Απόδειξη.Ας πάρουμε έναν φυσικό αριθμό p≠ 1. Αν το n είναι πρώτος, τότε αυτή είναι η περίπτωση που αναφέρεται στο συμπέρασμα του θεωρήματος. Τώρα ας υποθέσουμε ότι το n είναι σύνθετο. Στη συνέχεια αναπαρίσταται ως προϊόν n = ασι, όπου οι φυσικοί αριθμοί a και b είναι μικρότεροι του n. Και πάλι είτε το α και το β είναι απλά, τότε όλα αποδεικνύονται ή τουλάχιστον ένα από αυτά είναι σύνθετο, δηλαδή αποτελείται από μικρότερους παράγοντες κ.ο.κ. στο τέλος παίρνουμε μια παραγοντοποίηση σε πρώτους παράγοντες.

Αν το n δεν διαιρείται με κανέναν πρώτο όχι μεγαλύτερο από√ n τότε είναι απλό.

Απόδειξη.Υποθέστε το αντίθετο, έστω το n σύνθετο και Π = αβ,όπου 1 ≤β και το p είναι πρώτος διαιρέτης ενός αριθμού ένα,εξ ου και οι αριθμοί n. Κατά συνθήκη Πδεν διαιρείται με κανέναν πρώτο όχι μεγαλύτερο από √ n. Συνεπώς, p >√n. Αλλά στη συνέχεια α >√nκαι √ n ≤ ένα≤ β ,

όπου n = ασι = √ n√ n = Π;ήρθε σε αντίφαση, η υπόθεση ήταν λάθος, το θεώρημα αποδεικνύεται.

Παράδειγμα 1Αν ένα c = 91 τότε √ c = 9, ... ελέγξτε τους πρώτους αριθμούς 2, 3, 5, 7. Διαπιστώνουμε ότι 91 = 7 13.

Παράδειγμα 2Αν c = 1973, τότε βρίσκουμε √ ντο = √ 1973 =44, ...

αφού δεν υπήρχε πρώτος αριθμός πριν 43 δεν διαιρείται με, τότε αυτός ο αριθμός είναι πρώτος.

Παράδειγμα 3Βρείτε τον πρώτο αριθμό μετά τον πρώτο αριθμό 1973. Απάντηση: 1979.

Mersenne primes

Για αρκετούς αιώνες υπάρχει μια αναζήτηση πρώτων αριθμών. Πολλοί μαθηματικοί έχουν διαγωνιστεί για την τιμή να είναι ο ανακάλυψες του μεγαλύτερου γνωστού πρώτου αριθμού.

Οι πρώτοι του Mersenne είναι πρώτοι μιας ειδικής μορφής M p = 2 p - 1

όπου R -άλλος πρώτος αριθμός.

Αυτοί οι αριθμοί μπήκαν στα μαθηματικά εδώ και πολύ καιρό, εμφανίζονται ακόμη και στους Ευκλείδειους στοχασμούς σύγχρονους αριθμούς. Πήραν το όνομά τους προς τιμήν του Γάλλου μοναχού Merenne Mersen (1589-1648), που είχε ασχοληθεί από καιρό με το πρόβλημα των σύγχρονων αριθμών.

Αν υπολογίσουμε τους αριθμούς χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, παίρνουμε:

M 2 \u003d 2 2 - 1 \u003d 3 - απλό.

M 3 \u003d 2 3 - 1 \u003d 7 - απλό.

M 5 \u003d 2 5 - 1 \u003d 31 - απλό.

M 7 \u003d 2 7 - 1 \u003d 127 - απλό.

M 11 \u003d 2 11 - 1 \u003d 2047 \u003d 23 * 89

Ο γενικός τρόπος για να βρείτε μεγάλους πρώτους αριθμούς Mersenne είναι να ελέγξετε όλους τους αριθμούς M p για διαφορετικούς πρώτους R.

Αυτοί οι αριθμοί αυξάνονται πολύ γρήγορα και το κόστος εργασίας για την εύρεση τους αυξάνεται εξίσου γρήγορα.

Ένα πρώιμο στάδιο στη μελέτη των αριθμών Mersen μπορεί να διακριθεί, με αποκορύφωμα το 1750 όταν ο Euler διαπίστωσε ότι ο αριθμός M 31 είναι πρώτος. Μέχρι εκείνη τη στιγμή, είχαν βρεθεί οκτώ πρώτοι αριθμοί Mersen:

R= 2, p= 3, p = 5 , p = 7, p= 13, p = 17, p = 19, R =31.

Ο αριθμός Euler M 31 παρέμεινε ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός για πάνω από εκατό χρόνια.

Το 1876, ο Γάλλος μαθηματικός Lucas διαπίστωσε ότι ο τεράστιος αριθμός M 127 έχει 39 ψηφία. Οι 12 πρώτοι αριθμοί Mersenne υπολογίστηκαν χρησιμοποιώντας μόνο μολύβι και χαρτί, και μηχανικές επιτραπέζιες μηχανές προσθήκης χρησιμοποιήθηκαν ήδη για τον υπολογισμό των παρακάτω.

Η έλευση των υπολογιστών με ηλεκτρική κίνηση κατέστησε δυνατή τη συνέχιση της αναζήτησης, φέρνοντάς τους σε R = 257.

Ωστόσο, τα αποτελέσματα ήταν απογοητευτικά και δεν υπήρχαν νέοι πρώτοι αριθμοί Mersenne ανάμεσά τους.

Στη συνέχεια, η εργασία μεταφέρθηκε στον υπολογιστή.

Ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που είναι γνωστός αυτή τη στιγμή έχει 3376 ψηφία. Αυτός ο αριθμός βρέθηκε σε έναν υπολογιστή στο Πανεπιστήμιο του Ιλινόις (ΗΠΑ). Το Τμήμα Μαθηματικών αυτού του πανεπιστημίου ήταν τόσο περήφανο για το επίτευγμά τους που απεικόνισαν αυτόν τον αριθμό στη σφραγίδα του ταχυδρομείου τους, αναπαράγοντάς τον έτσι σε κάθε γράμμα που αποστέλλεται για να το δουν όλοι.

Πρώτοι Fermat

Υπάρχει ένας άλλος τύπος πρώτου αριθμού με μακρά και ενδιαφέρουσα ιστορία. Εισήχθησαν για πρώτη φορά από τον Γάλλο νομικό Pierre Fermat (1601-1665), ο οποίος έγινε διάσημος για το εξαιρετικό μαθηματικό του έργο.

Pierre Fermat (1601-1665)
Οι πρώτοι πρώτοι Fermat ήταν αριθμοί που ικανοποιούσαν τον τύπο F n =
+ 1.

F 0 =
+ 1 = 3;

F 1 =
+ 1 = 5;

F 2 =
+ 1 = 17;

F 3 =
+ 1 = 257;

F4=
+ 1 = 65537.

Ωστόσο, αυτή η υπόθεση μπήκε στο αρχείο αδικαιολόγητων μαθηματικών υποθέσεων, αλλά αφού ο Leonhard Euler έκανε ένα ακόμη βήμα και έδειξε ότι ο επόμενος αριθμός Fermat φά 5 = 641 6 700 417 είναι σύνθετο.

Είναι πιθανό ότι η ιστορία των αριθμών Fermat θα είχε ολοκληρωθεί εάν οι αριθμοί Fermat δεν είχαν εμφανιστεί σε ένα εντελώς διαφορετικό πρόβλημα - την κατασκευή κανονικών πολυγώνων με χρήση πυξίδας και ευθυγράμμισης.

Ωστόσο, δεν έχουν βρεθεί πρώτοι αριθμοί Fermat και πολλοί μαθηματικοί πλέον τείνουν να πιστεύουν ότι δεν υπάρχουν πλέον.
Κόσκινο του Ερατοσθένη

Υπάρχουν πίνακες πρώτων που εκτείνονται μέχρι πολύ μεγάλα νούμερα. Πώς να προσεγγίσετε τη σύνταξη ενός τέτοιου πίνακα; Αυτό το πρόβλημα, κατά μία έννοια, λύθηκε (περίπου το 200 π.Χ.) από τον Ερατοσθένη, έναν μαθηματικό από την Αλεξάνδρεια. -

Το σχέδιό του είναι το εξής. Ας γράψουμε μια ακολουθία όλων των ακεραίων από το 1 μέχρι τον αριθμό με τον οποίο θέλουμε να τελειώσουμε τον πίνακα.

Ας ξεκινήσουμε με έναν απλό αριθμό 2. Θα πετάμε κάθε δεύτερο αριθμό. Ας ξεκινήσουμε με το 2 (εκτός από τον ίδιο τον αριθμό 2), δηλαδή ζυγούς αριθμούς: 4, 6, 8, 10 κ.λπ., υπογραμμίζουμε τον καθένα από αυτούς.

Μετά από αυτή την πράξη, ο πρώτος μη υπογραμμισμένος αριθμός θα είναι το 3. Είναι πρώτος, γιατί δεν διαιρείται με το 2. Αφήνοντας τον αριθμό 3 χωρίς υπογράμμιση, θα υπογραμμίσουμε κάθε τρίτο αριθμό μετά από αυτόν, δηλαδή τους αριθμούς 6, 9, 12, 15 . .. Κάποια από αυτά έχουν ήδη υπογραμμιστεί γιατί είναι άρτια. Στο επόμενο βήμα, ο πρώτος μη υπογραμμισμένος αριθμός θα είναι 5. είναι πρώτος, αφού δεν διαιρείται ούτε με το 2 ούτε με το 3. Ας αφήσουμε τον αριθμό 5 χωρίς υπογράμμιση, αλλά να υπογραμμίσουμε κάθε πέμπτο αριθμό μετά από αυτόν, δηλαδή τους αριθμούς 10, 15, 20... Όπως και πριν, μερικοί από αυτούς αποδείχτηκαν να υπογραμμιστεί . Τώρα ο μικρότερος μη υπογραμμισμένος αριθμός είναι το 7. Είναι πρώτος επειδή δεν διαιρείται με κανέναν από τους μικρότερους πρώτους του 2, 3, 5. Επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία, καταλήγουμε σε μια ακολουθία μη υπογραμμισμένων αριθμών. όλοι τους (εκτός από τον αριθμό 1) είναι πρώτοι. Αυτή η μέθοδος κοσκινίσματος των αριθμών είναι γνωστή ως «κόσκινο του Ερατοσθένη». Οποιοσδήποτε πίνακας πρώτων αριθμών δημιουργείται σύμφωνα με αυτήν την αρχή.

Ο Ερατοσθένης δημιούργησε έναν πίνακα με πρώτους αριθμούς από το 1 έως το 120 πάνω από 2000 χρόνια πριν. Έγραφε σε πάπυρο τεντωμένο πάνω σε ένα πλαίσιο, ή σε ένα κέρινο δισκίο, και δεν διέσυρε, όπως κάνουμε εμείς, αλλά τρύπησε σύνθετους αριθμούς. Αποδείχθηκε κάτι σαν κόσκινο μέσα από το οποίο «κοσκινίστηκαν» σύνθετοι αριθμοί. Επομένως, ο πίνακας των πρώτων αριθμών ονομάζεται «κόσκινο του Ερατοσθένη».

Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν; Υπάρχει τελευταίος πρώτος αριθμός, δηλαδή ένας μετά τον οποίο όλοι οι αριθμοί είναι σύνθετοι; Εάν υπάρχει τέτοιος αριθμός, πώς να τον βρείτε; Όλες αυτές οι ερωτήσεις ενδιέφεραν τους επιστήμονες στην αρχαιότητα, αλλά η απάντηση σε αυτές δεν ήταν τόσο εύκολο να βρεθεί.

Ο Ερατοσθένης ήταν ένας πνευματώδης άνθρωπος. Αυτός ο σύγχρονος και φίλος του Αρχιμήδη, με τον οποίο αλληλογραφούσε συνεχώς, ήταν και μαθηματικός, και αστρονόμος και μηχανικός, κάτι που θεωρούνταν φυσικό για τους μεγάλους της εποχής εκείνης. Ήταν ο πρώτος που μέτρησε τη διάμετρο της υδρογείου, και χωρίς να φύγει από την αλεξανδρινή βιβλιοθήκη, όπου εργαζόταν. Η ακρίβεια της μέτρησής του ήταν εκπληκτικά υψηλή, ακόμη μεγαλύτερη από αυτή με την οποία ο Αρχιμήδης μέτρησε τη Γη.

Ο Ερατοσθένης εφηύρε μια έξυπνη συσκευή - μεσολαβίτης, μεμε τη βοήθεια του οποίου έλυσε μηχανικά το γνωστό πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, για το οποίο ήταν πολύ περήφανος, και ως εκ τούτου έδωσε εντολή να απεικονιστεί αυτή η συσκευή σε μια στήλη στην Αλεξάνδρεια. Επιπλέον, διόρθωσε το αιγυπτιακό ημερολόγιο προσθέτοντας μία ημέρα στα τέσσερα χρόνια - σε ένα δίσεκτο έτος.

Το κόσκινο του Ερατοσθένη είναι μια πρωτόγονη και συνάμα ευρηματική εφεύρεση, που ο Ευκλείδης ούτε που τη σκέφτηκε - οδηγεί στη γνωστή ιδέα ότι κάθε έξυπνο είναι απλό.

Το κόσκινο του Ερατοσθένη έκανε καλή δουλειά για ερευνητές που δεν ήταν πρώτοι αριθμοί. Ο χρόνος πέρασε. Υπήρχαν αναζητήσεις για τρόπους για να πιάσουμε πρώτους αριθμούς. Ένα είδος ανταγωνισμού άρχισε να βρεθεί ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός από την αρχαιότητα μέχρι τον Chebyshev και ακόμη και μέχρι σήμερα.
Ανακάλυψη του P.L. Chebyshev

Και Έτσι, ο αριθμός των πρώτων αριθμών είναι άπειρος. Έχουμε ήδη δει ότι οι πρώτοι αριθμοί τοποθετούνται χωρίς καμία σειρά. Ας ακολουθήσουμε πιο αναλυτικά.

Το 2 και το 3 είναι πρώτοι αριθμοί. Αυτό είναι το μόνο ζεύγος πρώτων που στέκεται δίπλα-δίπλα.

Μετά έρχονται 3 και 5, 5 και 7, 11 και 13, 17 και 19, και ούτω καθεξής. Αυτοί είναι οι λεγόμενοι παρακείμενοι πρώτοι ή δίδυμοι. Υπάρχουν πολλά δίδυμα: 29 και 31, 41 και 43, 59 και 61, 71 και 73, 101 και 103, 827 και 829, κ.λπ. Το μεγαλύτερο ζευγάρι διδύμων που είναι γνωστό τώρα είναι: 10016957 και 10.016.959.

Panfuty Lvovich Chebyshev

Πώς κατανέμονται οι πρώτοι αριθμοί στη φυσική σειρά, στην οποία δεν θα υπάρχει ούτε ένας πρώτος αριθμός; Υπάρχει νόμος στη διανομή τους ή όχι;

Αν υπάρχει, τότε ποιο; Πώς να το βρείτε; Αλλά η απάντηση σε αυτά τα ερωτήματα δεν βρέθηκε για περισσότερα από 2000 χρόνια.

Το πρώτο και πολύ μεγάλο βήμα για την επίλυση αυτών των ζητημάτων έγινε από τον μεγάλο Ρώσο επιστήμονα Panfuty Lvovich Chebyshev. Το 1850, απέδειξε ότι ανάμεσα σε οποιονδήποτε φυσικό αριθμό (όχι ίσο με 1) και έναν αριθμό διπλάσιο του μεγέθους του (δηλαδή μεταξύ n και 2n), υπάρχει τουλάχιστον ένας πρώτος αριθμός.
Ας το ελέγξουμε σε απλά παραδείγματα. Ας πάρουμε για n αρκετές αυθαίρετες τιμές n . και βρείτε την τιμή του 2n, αντίστοιχα.

n=12, 2n=24;

n=61, 2n=122;

n=37, 2n=74.

Βλέπουμε ότι για τα εξεταζόμενα παραδείγματα το θεώρημα Chebyshev είναι αληθές.

Ο Chebyshev το απέδειξε για κάθε περίπτωση, για κάθε ν. Για αυτό το θεώρημα, ονομάστηκε νικητής των πρώτων αριθμών. Ο νόμος της κατανομής των πρώτων αριθμών που ανακαλύφθηκε από τον Chebyshev ήταν πραγματικά ένας θεμελιώδης νόμος στη θεωρία αριθμών μετά τον νόμο που ανακάλυψε ο Ευκλείδης σχετικά με το άπειρο του αριθμού των πρώτων αριθμών.

Ίσως η πιο ευγενική, η πιο ενθουσιώδης απάντηση στην ανακάλυψη του Chebyshev ήρθε από την Αγγλία από τον διάσημο μαθηματικό Sylvester: τους απλούς ανθρώπους».

Πάνω από μισό αιώνα αργότερα, ο Γερμανός μαθηματικός E. Landau, ένας εξέχων ειδικός στη θεωρία αριθμών, πρόσθεσε τα εξής σε αυτή τη δήλωση: «Ο πρώτος μετά τον Ευκλείδη Τσεμπίσεφ πήγε ο σωστός τρόποςστην επίλυση του προβλήματος των πρώτων αριθμών και πέτυχε σημαντικά αποτελέσματα.
Πρόβλημα Goldbach

Ας γράψουμε όλους τους πρώτους αριθμούς από το 1 έως το 50:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Τώρα ας δοκιμάσουμε οποιονδήποτε αριθμό από το 4 έως το 50 αντιπροσωπεύουν ως το άθροισμα δύο ή τριών πρώτων αριθμών. Ας πάρουμε μερικούς αριθμούς τυχαία:

Όπως μπορείτε να δείτε, ολοκληρώσαμε την εργασία χωρίς δυσκολία. Είναι όμως πάντα δυνατό; Μπορεί οποιοσδήποτε αριθμός να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα πολλών πρώτων αριθμών; Και αν είναι δυνατόν, πόσα: δύο; τρία? δέκα?

Το 1742 ο Γκόλντμπαχ, μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης, σε μια επιστολή του προς τον Όιλερ πρότεινε ότι οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από πέντε είναι το άθροισμα το πολύ τριών πρώτων.

Ο Γκόλντμπαχ δοκίμασε πολλούς αριθμούς και δεν συνάντησε ποτέ έναν αριθμό που δεν μπορούσε να αποσυντεθεί σε άθροισμα δύο ή τριών πρώτων όρων. Αλλά αν θα είναι πάντα έτσι, δεν το απέδειξε. Για πολύ καιρό, οι επιστήμονες εργάζονται πάνω σε αυτό το πρόβλημα, το οποίο ονομάζεται «πρόβλημα Goldbach» και διατυπώνεται ως εξής.

Απαιτείται η απόδειξη ή η απόρριψη της πρότασης:

οποιοσδήποτε αριθμός μεγαλύτερος του ενός είναι το άθροισμα το πολύ τριών πρώτων αριθμών.

Για σχεδόν 200 χρόνια, διαπρεπείς επιστήμονες προσπάθησαν να λύσουν το πρόβλημα Goldbach-Euler, αλλά χωρίς επιτυχία. Πολλοί έχουν καταλήξει στο συμπέρασμα ότι είναι αδύνατο να το λύσουν.

Η λύση του όμως, και σχεδόν ολοκληρωτικά, βρέθηκε το 1937 από τον Σοβιετικό μαθηματικό Ι.Μ. Vinogradov.

ΤΟΥΣ. Vinogradov

Ο Ivan Matveevich Vinogradov είναι ένας από τους μεγαλύτερους σύγχρονους μαθηματικούς. Γεννήθηκε στις 14 Σεπτεμβρίου 1891 στο χωριό Milolyub της επαρχίας Pskov. Το 1914 αποφοίτησε από το Πανεπιστήμιο της Αγίας Πετρούπολης και αφέθηκε να προετοιμαστεί για μια θέση καθηγητή.

Ι.Μ. Ο Vinogradov έγραψε το 1915. Έκτοτε, έχει γράψει περισσότερες από 120 διαφορετικές επιστημονικές εργασίες. Σε αυτά έλυσε πολλά προβλήματα που οι επιστήμονες σε όλο τον κόσμο εργάζονται για δεκαετίες και εκατοντάδες χρόνια.

Ιβάν Ματβέβιτς Βινογκράντοφ
Για υπηρεσίες στον τομέα των μαθηματικών Ι.Μ. Ο Vinogradov αναγνωρίζεται από όλους τους επιστήμονες του κόσμου ως ένας από τους πρώτους μαθηματικούς της εποχής μας, εξελέγη στον αριθμό των μελών πολλών ακαδημιών του κόσμου.

Είμαστε περήφανοι για τον υπέροχο συμπατριώτη μας.

Συμπέρασμα.
Από την τάξη στον παγκόσμιο χώρο

Ας ξεκινήσουμε τη συζήτησή μας για τους πρώτους αριθμούς με μια συναρπαστική ιστορία για ένα φανταστικό ταξίδι από την τάξη στον παγκόσμιο χώρο. Αυτό το φανταστικό ταξίδι επινοήθηκε από τον διάσημο Σοβιετικό δάσκαλο-μαθηματικό καθηγητή Ivan Kozmich Andronov (γεννημένος το 1894). «... α) ας πάρουμε διανοητικά ένα ίσιο σύρμα που βγαίνει από την τάξη στον παγκόσμιο χώρο, διαπερνά την ατμόσφαιρα της γης, πηγαίνει εκεί που περιστρέφεται η Σελήνη και πιο πέρα ​​- πέρα ​​από τη βολίδα του Ήλιου και πιο πέρα ​​- στον κόσμο άπειρο;

β) κρεμάστε νοερά ηλεκτρικούς λαμπτήρες στο καλώδιο κάθε μέτρο, αριθμώντας τους, ξεκινώντας από τον πλησιέστερο: 1, 2, 3, 4, ..., 100, ..., 1000, ..., 1.000.000 ....

γ) ενεργοποιήστε νοερά το ρεύμα με τέτοιο τρόπο ώστε να ανάβουν όλες οι λάμπες με απλούς αριθμούς και μόνο με απλούς αριθμούς. : .

δ) πετάξτε νοερά κοντά στο σύρμα.

Η παρακάτω εικόνα θα ξεδιπλωθεί μπροστά μας.

1. Η λάμπα νούμερο 1 είναι σβηστή. Γιατί; Γιατί το ένα δεν είναι πρώτος αριθμός.

2. Οι επόμενες δύο λυχνίες, με τον αριθμό 2 και 3, είναι αναμμένες επειδή το 2 και το 3 είναι και οι δύο πρώτοι αριθμοί. Μπορούν να συναντηθούν δύο διπλανοί λαμπτήρες καύσης στο μέλλον; Όχι, δεν μπορούν. Γιατί; Κάθε πρώτος αριθμός, εκτός από δύο, είναι περιττός αριθμός και οι αριθμοί δίπλα στον πρώτο σε κάθε πλευρά θα είναι άρτιοι, και κάθε άρτιος άλλος από δύο είναι σύνθετος αριθμός, αφού διαιρείται με το δύο.

3. Στη συνέχεια, παρατηρούμε ένα ζευγάρι λαμπτήρων να καίει μέσα από μια λάμπα με αριθμούς 3 και 5, 5 και 7 κ.λπ. Είναι ξεκάθαρο γιατί ανάβουν: είναι δίδυμα. Παρατηρούμε ότι στο μέλλον είναι λιγότερο συχνές. όλα τα ζεύγη των διδύμων, καθώς και τα ζεύγη των πρώτων αριθμών, έχουν τη μορφή 6n ± 1. για παράδειγμα

6*3 ± 1 ισούται με 19 και 17

ή 6*5 ± 1 είναι ίσο με 31 και 29, ...;

αλλά 6 * 20 ± 1 είναι ίσο με 121 και 119 - αυτό το ζεύγος δεν είναι δίδυμο, αφού υπάρχει ένα ζεύγος σύνθετων αριθμών.

Πετάμε σε ένα ζευγάρι διδύμων 10.016.957 και 10.016.959. Θα υπάρξουν και άλλα ζευγάρια διδύμων; σύγχρονη επιστήμημέχρι να δώσει μια απάντηση: δεν είναι γνωστό αν υπάρχει ένα πεπερασμένο ή άπειρο σύνολο ζευγών διδύμων.

4. Αλλά τώρα αρχίζει να λειτουργεί ο νόμος ενός μεγάλου κενού, γεμάτος μόνο με σύνθετους αριθμούς: πετάμε στο σκοτάδι, κοιτάμε πίσω - σκοτάδι, και κανένα φως δεν φαίνεται μπροστά. Θυμόμαστε την ιδιότητα που ανακάλυψε ο Ευκλείδης και προχωράμε με τόλμη, αφού θα πρέπει να υπάρχουν φωτεινοί λαμπτήρες μπροστά και θα πρέπει να υπάρχει άπειρος αριθμός από αυτούς μπροστά.

5. Έχοντας πετάξει σε ένα τέτοιο μέρος της φυσικής σειράς, όπου εδώ και αρκετά χρόνια η κίνησή μας περνούσε στο σκοτάδι, αναπολούμε την ιδιότητα που απέδειξε ο Chebyshev και ηρεμούμε, βέβαιοι ότι, σε κάθε περίπτωση, δεν χρειάζεται να πετάμε άλλο από αυτό που πετάξαμε για να δούμε τουλάχιστον μια φωτεινή λάμπα».
Βιβλιογραφία
1. Ο μεγάλος δάσκαλος της επαγωγής Leonhard Euler.

2. Πίσω από τις σελίδες ενός σχολικού βιβλίου μαθηματικών.

3. Prudnikov N.I. P.L. Chebyshev.

4. Σερβικός Ι. Α.Τι γνωρίζουμε και τι δεν ξέρουμε για τους πρώτους αριθμούς.

5. Εκδοτικός Οίκος «Πρωτο Σεπτέμβρη». Μαθηματικά #13, 2002

6. Εκδοτικός Οίκος «Πρωτο Σεπτέμβρη». Μαθηματικά #4, 2006

Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί. σημάδια διαιρετότητας.

2014-02-01

Ιδιωτικός
διαιρέτης αριθμού
πολλαπλούς
Ζυγός αριθμός
περιττός αριθμός
πρώτος αριθμός
σύνθετος αριθμός
Σήμα διαιρετότητας με το 2
Διαιρετότητα με 4 πρόσημο
Σήμα διαιρετότητας με το 5
Σήμα διαιρετότητας με το 3 και το 9

Αν οι $a$ και $b$ είναι φυσικοί αριθμοί, και
$a=bq$,
όπου ο $q$ είναι επίσης ένας φυσικός αριθμός, τότε λέμε ότι το $q$ είναι

πηλίκο του αριθμού $a$ διαιρούμενο με τον αριθμό $b$ και γράψτε: $q = a/b$.

Λέγεται επίσης ότι το $a$ διαιρείται με το $b$ εντελώςή χωρίς ίχνος.

Κάθε αριθμός $b$ που διαιρεί το $a$ χωρίς υπόλοιπο ονομάζεται διαιρέτης του $a$

Σάμο

ο αριθμός $a$ αλλά ως προς τον διαιρέτη του ονομάζεται πολλαπλάσιος

Έτσι οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιο του $b$ είναι οι αριθμοί $b, 2b, 3b, \cdots$.

Οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 2 (δηλαδή διαιρούνται με το 2 χωρίς υπόλοιπο) λέγονται ζυγοί

.

Οι αριθμοί που δεν διαιρούνται με το 2 ονομάζονται περιττοί αριθμοί.

Κάθε φυσικός αριθμός είναι είτε άρτιος είτε περιττός.

Εάν καθένας από τους δύο αριθμούς $a_(1), ο a_(2)$ είναι πολλαπλάσιο του $b$, τότε το άθροισμα $a_(1)+a_(2)$ είναι επίσης πολλαπλάσιο του $b$. Αυτό φαίνεται από την καταχώρηση $a_(1)=bq_(1), a_(2)=bq_(2); a_(1)+a_(2)=bq_(1)+bq_(2)= b (q_(1)+q_(2))$.
Αντίστροφα, αν τα $a_(1)$ και τα $a_(1)+a_(2)$ είναι πολλαπλάσια του $b$, τότε το $a_(2)$ είναι επίσης πολλαπλάσιο του $b$.

Κάθε φυσικός αριθμός εκτός από έναν έχει τουλάχιστον δύο διαιρέτες: έναν και τον εαυτό του.

Αν ένας αριθμός δεν έχει άλλους διαιρέτες εκτός από τον εαυτό του και ένα, λέγεται πρώτος.

.

Ένας αριθμός που έχει άλλο διαιρέτη από τον εαυτό του και ένα ονομάζεται σύνθετος αριθμός.

Αριθμός. Η μονάδα συνήθως δεν αποδίδεται ούτε σε πρώτους ούτε σε σύνθετους αριθμούς. Ακολουθούν οι πρώτοι πρώτοι αριθμοί, γραμμένοι με αύξουσα σειρά:
2,3,5,7,11,13,17 $, \cdots$
Ο αριθμός 2 είναι ο μόνος άρτιος πρώτος αριθμός. όλοι οι άλλοι πρώτοι αριθμοί είναι περιττοί.

Το γεγονός ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί διαπιστώθηκε στην αρχαιότητα (Ευκλείδης, III αι. π.Χ.).

Η ιδέα της απόδειξης του Ευκλείδη για το άπειρο του συνόλου των πρώτων αριθμών είναι αρκετά απλή. Ας υποθέσουμε ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι ένας πεπερασμένος αριθμός. Ας τα παραθέσουμε όλα, για παράδειγμα, ταξινομημένα σε αύξουσα σειρά:
$2,3,5, \cdots , p$. (ένας)
Ας κάνουμε έναν αριθμό ίσο με το γινόμενο τους συν ένα:
$a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdots p+1$.
Προφανώς, ο αριθμός αυτός δεν διαιρείται με κανέναν από τους αριθμούς (1). Επομένως, είτε είναι πρώτος ο ίδιος, είτε, αν είναι σύνθετος, έχει πρώτο διαιρέτη διαφορετικό από τους αριθμούς (1), κάτι που έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι όλοι οι πρώτοι αριθμοί αναφέρονται στον συμβολισμό (1).

Αυτή η απόδειξη έχει μεγάλο ενδιαφέρον, καθώς δίνει ένα παράδειγμα απόδειξης θεωρήματος ύπαρξης (ένα άπειρο σύνολο πρώτων) που δεν σχετίζεται με την πραγματική εύρεση των αντικειμένων των οποίων η ύπαρξη αποδεικνύεται.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε σύνθετος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Για παράδειγμα,
$1176 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ ή $1176 = 2^(3) \cdot 3 \cdot 7^(2)$.
Όπως φαίνεται από αυτό το παράδειγμα, κατά την αποσύνθεση ενός δεδομένου αριθμού σε πρώτους παράγοντες, ορισμένοι από αυτούς μπορούν να επαναληφθούν πολλές φορές.

Στη γενική περίπτωση, στη σημειογραφία της αποσύνθεσης του αριθμού $a$ σε πρώτους παράγοντες
$a = p^(k_(1))_(1) p^(k_(2))_(2) \cdots p^(k_(n))_(n)$ (2)
Υποτίθεται ότι όλοι οι πρώτοι αριθμοί $p_(1),p_(2), \cdots , p_(n)$ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους (επιπλέον, ο $p_(1)$ επαναλαμβάνεται από τον παράγοντα $k_(1) $ φορές, το $p_(2 )$ επαναλαμβάνεται με τον παράγοντα $k_(2)$ φορές, κ.λπ.). Υπό αυτή την προϋπόθεση, μπορεί να αποδειχθεί ότι η επέκταση είναι μοναδική μέχρι τη σειρά με την οποία γράφονται οι παράγοντες.

Κατά την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες, είναι χρήσιμο να χρησιμοποιείτε τεστ διαιρετότητας που σας επιτρέπουν να μάθετε εάν ένας δεδομένος αριθμός διαιρείται με κάποιον άλλο αριθμό χωρίς υπόλοιπο, χωρίς να εκτελέσετε την ίδια τη διαίρεση. Θα αντλήσουμε τα σημάδια της διαιρετότητας με τους αριθμούς 2, 3, 4, 5, 9.

Πρόσημο διαιρετότητας με το 2. Αυτοί και μόνο εκείνοι οι αριθμοί διαιρούνται με το 2, στην εγγραφή των οποίων το τελευταίο ψηφίο εκφράζει έναν ζυγό αριθμό (0, 2, 4, 6 ή 8).

Απόδειξη. Ας αντιπροσωπεύσουμε τον αριθμό $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m))$ ως $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m)) = \overline(c_( 1 )c_(2) \cdots 0) + c_(m)$.
Ο πρώτος όρος στη δεξιά πλευρά διαιρείται με το 10 και επομένως άρτιος. το άθροισμα είναι άρτιο αν και μόνο αν το $c_(m)$ είναι ζυγός αριθμός.

Διαιρετότητα με το 4 Ο αριθμός $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m))$ διαιρείται με το 4 εάν και μόνο εάν ο διψήφιος αριθμός που εκφράζεται με τα δύο τελευταία ψηφία του διαιρείται με το 4.

Απόδειξη. Ας αντιπροσωπεύσουμε τον αριθμό $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m))$ ως
$\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m)) = \overline(c_(1)c_(2) \cdots 00) + \overline(c_(m-1)c_(m)) $
Ο πρώτος όρος διαιρείται με το 100 και ακόμη περισσότερο με το 4. Το άθροισμα θα διαιρείται με το 4 εάν και μόνο εάν το $\overline(c_(m-1)c_(m))$ διαιρείται με το 4.

Σημάδι διαιρετότητας με το 5. Αυτοί και μόνο αυτοί οι αριθμοί διαιρούνται με το 5, η εγγραφή των οποίων τελειώνει με τον αριθμό 0 ή τον αριθμό 5.

Σημάδια διαιρετότητας με το 3 και το 9. Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 (αντίστοιχα, με το 9) αν και μόνο αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 (αντίστοιχα, με το 9).

Απόδειξη. Ας γράψουμε τις προφανείς ισότητες
$10 = 9+1$,
$100 = 99 + 1$,
$1000 = 999+1$,
$\cdots$,
λόγω του οποίου ο αριθμός $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m))$ μπορεί να αναπαρασταθεί ως
$a_(m)=c_(1)(99 \cdots 9 + 1) + \cdots + c_(m-1) (9+1) + c_(m)$
ή
$a_(m)=c_(1) \cdot 99 \cdots 9 + \cdots + c_(m-1) \cdot 9 + (c_(1) + c_(2) + \cdots + c_(m-1) + c_(m))$.
Μπορεί να φανεί ότι όλοι οι όροι, εκτός ίσως από την τελευταία αγκύλη, διαιρούνται με το 9 (και ακόμη περισσότερο με το 3). Επομένως, ένας δεδομένος αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9 αν και μόνο αν το άθροισμα των ψηφίων του $c_(1)+c_(2)+ \cdots + c_(m)$ διαιρείται με το 3 ή το 9.

Διάφορα προβλήματα που σχετίζονται με τους πρώτους αριθμούς ήταν και εξακολουθούν να είναι σημαντικά και ενδιαφέροντα για τα μαθηματικά, πολλά από αυτά δεν έχουν ακόμη λυθεί και περίεργα γεγονότα από ιστορία των μαθηματικών.

Έτσι, πίσω στους XVI-XVII αιώνες. Οι μαθηματικοί άρχισαν να εξετάζουν αριθμούς της μορφής $2^n-1$ και πολλά λάθη έγιναν στην ιστορία όταν τους εξέταζαν για απλότητα. Είναι σαφές ότι αν n σύνθετος αριθμός, τότε αυτός ο αριθμός είναι επίσης σύνθετος: αν $n=km$, τότε $2^n-1=(2^k)^m-1^m$ - καθώς η διαφορά των μοιρών διαιρείται με τη διαφορά των βάσεων, δηλ. δεν είναι πρώτος, και επομένως είναι φυσικό να θεωρήσουμε μόνο το ν.

Αλλά ακόμη και για τον πρώτο n, αυτός ο αριθμός μπορεί να αποδειχθεί σύνθετος: για παράδειγμα, 2 11 \u003d 2047 \u003d 23 89, είναι επίσης σύνθετος για n \u003d 23 και n \u003d 37, το οποίο έχει καθιερωθεί Αγρόκτημα, ο οποίος, περισσότερα από 40 χρόνια αργότερα, ανακάλυψε ένα σφάλμα στην εργασία ενός άλλου ερευνητή, ο οποίος ισχυρίστηκε ότι για n=23, 29, 31, 37 ο αριθμός $2^n-1$ είναι πρώτος, αλλά δεν παρατήρησε άλλο σφάλμα: για n=29 δεν είναι επίσης πρώτος . Και το ανακάλυψα - περίπου 100 χρόνια αργότερα - Euler, και επίσης το γεγονός ότι για n=31 αυτός ο αριθμός εξακολουθεί να είναι πραγματικά πρώτος.

Τον 17ο αιώνα αριθμοί της μορφής $2^n-1$ μελετήθηκαν από έναν Γάλλο μοναχό Marin Mersenneπου έφερε πλήρης λίσταπρώτοι n από το 2 έως το 257, για τους οποίους αυτοί οι αριθμοί είναι πρώτοι, στους οποίους προέβλεψε το παραπάνω αποτέλεσμα του Euler, αλλά αυτός ο κατάλογος περιείχε επίσης σφάλματα και ένα από αυτά βρέθηκε δυόμισι αιώνες αργότερα, το 1883, από έναν Ρώσο χωριού ιερέας-δάσκαλος Ivan Mikheevich Pervushin. Αυτό το γεγονός σηματοδοτείται από μια αναμνηστική πλάκα στο σπίτι του στα Trans-Urals - στην πόλη Shadrinsk, στην περιοχή Kurgan. Και λανθασμένα υποδεικνύεται από τον Mersenne n=67 και n=257 εξαιρέθηκαν από τη λίστα του μόνο τον 20ο αιώνα.

Φυσικά, σε σύγχρονος κόσμοςγια τέτοια λάθη θα μπορούσαν να έχουν κάνει μήνυση, και τότε η Mersenne θα χρειαζόταν νομική εκπροσώπηση στο δικαστήριο από έναν καλό δικηγόρο. Αν και τώρα πολλοί μπορούν να εκπροσωπούν νομικά συμφέροντα στο δικαστήριο, μόνο λίγοι είναι αληθινοί επαγγελματίες. Και ο Γάλλος μοναχός δεν τον νοιάζει καθόλου!

Καλούνται οι πρώτοι αριθμοί της μορφής $2^n-1$ Αριθμοί Mersenne, και οι μαθηματικοί εξακολουθούν να μην γνωρίζουν αν το σύνολο τέτοιων αριθμών είναι πεπερασμένο ή άπειρο, και το 1996 βρέθηκε ο τριανταπέμπτος αριθμός Mersenne - στο n = 1 398 629, και περιέχει περίπου 400 χιλιάδες ψηφία, στις 15 Μαΐου 2004 ο τριάντα έκτος βρέθηκε αριθμός, ενώ ο υπολογιστής χρειάστηκε αρκετές ώρες για να το κάνει αυτό. Είναι σαφές ότι η εύρεση ενός τόσο τεράστιου αριθμού χωρίς τη χρήση υπολογιστών είναι αδιανόητη. Υπάρχει ένα άλλο περιστατικό στην ιστορία των μαθηματικών που συνδέεται με πρώτους αριθμούς, οι λεγόμενοι αριθμοί Fermat - αριθμοί της μορφής $2^(2^n)+1$. Και πάλι, είναι ξεκάθαρο γιατί ο εκθέτης k=2 p έχει μια τέτοια φαινομενικά ιδιωτική μορφή, αλλά το 2 p είναι γενική μορφήένας αριθμός που δεν έχει περιττούς πρώτους διαιρέτες και αν αυτός ο δείκτης k έχει έναν τέτοιο διαιρέτη p, τότε ο αριθμός 2 p +1 δεν είναι πρώτος: εάν k \u003d pq, τότε 2 k +1 \u003d (2 q) p +1 p, και το άθροισμα των περιττών δυνάμεων διαιρείται με το άθροισμα των βάσεων. Ο ίδιος ο Fermat πίστευε ότι αυτοί οι αριθμοί είναι όλοι πρώτοι, αλλά ο Euler έδειξε ότι αυτή η δήλωση είναι λανθασμένη, βρήκε ένα αντιπαράδειγμά της: $2^(32)+1=4 294 967 297=641\times6 700 417$.

Και η πιο εκπληκτική ανακάλυψη σε σχέση με τους αριθμούς Fermat έγινε από τους μεγάλους μαθηματικός Gauss, του οποίου το όνομα πιθανότατα ακούσατε σε σχέση με τον στιγμιαίο υπολογισμό του αθροίσματος 1 + 2 + 3 + ... + 100: αποδεικνύεται ότι ένα κανονικό n-gon μπορεί να κατασκευαστεί εάν και μόνο εάν όλοι οι περιττοί πρώτοι διαιρέτες του n είναι Αριθμοί Fermat. Επομένως, συγκεκριμένα, ένα κανονικό 7-gon δεν μπορεί να κατασκευαστεί με πυξίδα και χάρακα, αλλά μπορεί να κατασκευαστεί ένα 17-gon: $17=2^(2^2)+1$.

Facebook

Κελάδημα

Σε επαφή με

Συμμαθητές

Google+