Τι σημαίνει αποσύνθεση σε πρώτους αριθμούς. Αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες, μεθόδους και παραδείγματα αποσύνθεσης

Αυτή η ηλεκτρονική αριθμομηχανή αναλύει τους αριθμούς σε πρωταρχικούς παράγοντεςμε απαρίθμηση πρώτων διαιρετών. Εάν ο αριθμός είναι μεγάλος, χρησιμοποιήστε ένα διαχωριστικό ψηφίων για ευκολία στην παρουσίαση.

Το αποτέλεσμα έχει ήδη ληφθεί!

Παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες - Θεωρία, αλγόριθμος, παραδείγματα και λύσεις

Ένας από τους απλούστερους τρόπους παραγοντοποίησης ενός αριθμού είναι να ελέγξετε εάν ο δεδομένος αριθμός διαιρείται με το 2, 3, 5,... κ.λπ., δηλ. ελέγξτε αν ένας αριθμός διαιρείται με μια σειρά πρώτων αριθμών. Εάν αριθμός nδεν διαιρείται με κανένα πρώτο αριθμό μέχρι το , τότε αυτός ο αριθμός είναι πρώτος, γιατί αν ο αριθμός είναι σύνθετος, τότε έχει τουλάχιστον δύο παράγοντες, και οι δύο δεν μπορούν να είναι μεγαλύτεροι από .

Ας φανταστούμε τον αλγόριθμο αποσύνθεσης αριθμών nσε πρωταρχικούς παράγοντες. Ετοιμάστε εκ των προτέρων έναν πίνακα με πρώτους αριθμούς μικρό=. Δηλώστε μια σειρά πρώτων αριθμών μέχρι Π 1 , Π 2 , Π 3 , ...

Αλγόριθμος για την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους διαιρέτες:

Παράδειγμα 1. Διασπάστε τον αριθμό 153 σε πρώτους παράγοντες.

Απόφαση. Αρκεί να έχουμε έναν πίνακα πρώτων αριθμών μέχρι , δηλ. 2, 3, 5, 7, 11.

Διαιρέστε το 153 με το 2. Το 153 δεν διαιρείται με το 2 χωρίς υπόλοιπο. Στη συνέχεια, διαιρούμε το 153 με το επόμενο στοιχείο του πίνακα των πρώτων αριθμών, δηλ. κατά 3. 153:3=51. Γέμισε το τραπέζι:

Στη συνέχεια, ελέγχουμε αν ο αριθμός 17 διαιρείται με το 3. Ο αριθμός 17 δεν διαιρείται με το 3. Δεν διαιρείται ούτε με τους αριθμούς 5, 7, 11. Ο επόμενος διαιρέτης είναι μεγαλύτερος . Επομένως, το 17 είναι ένας πρώτος αριθμός που διαιρείται μόνο με τον εαυτό του: 17:17=1. Η διαδικασία έχει διακοπεί. γέμισε το τραπέζι:

Επιλέγουμε εκείνους τους διαιρέτες στους οποίους χωρίστηκαν οι αριθμοί 153, 51, 17 χωρίς υπόλοιπο, δηλ. όλοι οι αριθμοί από σωστη πλευρατραπέζια. Αυτοί είναι οι διαιρέτες 3, 3, 17. Τώρα ο αριθμός 153 μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών: 153=3 3 17.

Παράδειγμα 2. Διασπάστε τον αριθμό 137 σε πρώτους παράγοντες.

Απόφαση. Υπολογίζω . Πρέπει λοιπόν να ελέγξουμε τη διαιρετότητα του αριθμού 137 με πρώτοι αριθμοίέως 11: 2,3,5,7,11. Διαιρώντας εναλλακτικά τον αριθμό 137 με αυτούς τους αριθμούς, διαπιστώνουμε ότι ο αριθμός 137 δεν διαιρείται με κανέναν από τους αριθμούς 2,3,5,7,11. Επομένως το 137 είναι πρώτος αριθμός.

Τι σημαίνει παραγοντοποίηση; Πως να το κάνεις? Τι μπορούμε να μάθουμε από την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες; Οι απαντήσεις σε αυτά τα ερωτήματα παρουσιάζονται με συγκεκριμένα παραδείγματα.

Ορισμοί:

Πρώτος αριθμός είναι ένας αριθμός που έχει ακριβώς δύο διακριτούς διαιρέτες.

Ένας σύνθετος αριθμός είναι ένας αριθμός που έχει περισσότερους από δύο διαιρέτες.

αναλύω φυσικός αριθμόςσε παράγοντες σημαίνει να το αναπαριστάς ως γινόμενο φυσικών αριθμών.

Το να συνυπολογίσουμε έναν φυσικό αριθμό σε πρώτους παράγοντες σημαίνει να τον αναπαραστήσουμε ως γινόμενο πρώτων αριθμών.

Σημειώσεις:

• Στην επέκταση ενός πρώτου αριθμού, ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με έναν και ο άλλος είναι ίσος με αυτόν τον ίδιο τον αριθμό.
• Δεν έχει νόημα να μιλάμε για αποσύνθεση της ενότητας σε παράγοντες.
• Ένας σύνθετος αριθμός μπορεί να αποσυντεθεί σε παράγοντες, καθένας από τους οποίους είναι διαφορετικός από το 1.

	Ας παραγοντοποιήσουμε τον αριθμό 150. Για παράδειγμα, το 150 είναι 15 επί 10. Το 15 είναι ένας σύνθετος αριθμός. Μπορεί να διασπαστεί σε πρώτους παράγοντες των 5 και 3. Το 10 είναι ένας σύνθετος αριθμός. Μπορεί να διασπαστεί σε πρώτους παράγοντες των 5 και 2. Έχοντας καταγράψει τις επεκτάσεις τους σε πρώτους παράγοντες αντί για 15 και 10, λάβαμε μια αποσύνθεση του αριθμού 150.
	Ο αριθμός 150 μπορεί να υπολογιστεί με άλλο τρόπο. Για παράδειγμα, το 150 είναι το γινόμενο των αριθμών 5 και 30. Το 5 είναι πρώτος αριθμός. Το 30 είναι ένας σύνθετος αριθμός. Μπορεί να αναπαρασταθεί ως το γινόμενο του 10 και του 3. Το 10 είναι ένας σύνθετος αριθμός. Μπορεί να διασπαστεί σε πρώτους παράγοντες των 5 και 2. Πήραμε την αποσύνθεση του αριθμού 150 σε πρώτους παράγοντες με διαφορετικό τρόπο.
	Σημειώστε ότι η πρώτη και η δεύτερη επέκταση είναι ίδια. Διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά των πολλαπλασιαστών. Συνηθίζεται να γράφονται οι παράγοντες σε αύξουσα σειρά.
Οποιοσδήποτε σύνθετος αριθμός μπορεί να αποσυντεθεί σε πρώτους παράγοντες με μοναδικό τρόπο μέχρι την τάξη των παραγόντων.

Όταν αποσυντίθεται μεγάλα νούμεραγια τους πρώτους παράγοντες χρησιμοποιήστε συμβολισμό στήλης:

	Ο μικρότερος πρώτος αριθμός με τον οποίο διαιρείται το 216 είναι το 2. Διαιρέστε το 216 με το 2. Παίρνουμε 108.
	Ο αριθμός 108 που προκύπτει διαιρείται με το 2. Ας κάνουμε τη διαίρεση. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε 54.
	Σύμφωνα με το τεστ διαιρετότητας με το 2, ο αριθμός 54 διαιρείται με το 2. Μετά τη διαίρεση, παίρνουμε 27.
	Ο αριθμός 27 τελειώνει με μονό αριθμό 7. Το Δεν διαιρείται με το 2. Ο επόμενος πρώτος αριθμός είναι το 3. Διαιρέστε το 27 με το 3. Παίρνουμε 9. Ο μικρότερος πρώτος Ο αριθμός με τον οποίο διαιρείται το 9 είναι 3. Το τρία είναι από μόνο του πρώτος αριθμός, διαιρούμενος από τον εαυτό του και με το ένα. Ας διαιρέσουμε το 3 μόνοι μας. Ως αποτέλεσμα, πήραμε 1.

• Ένας αριθμός διαιρείται μόνο με εκείνους τους πρώτους αριθμούς που αποτελούν μέρος της επέκτασής του.
• Ένας αριθμός διαιρείται μόνο με εκείνους τους σύνθετους αριθμούς, η αποσύνθεση των οποίων σε πρώτους παράγοντες περιέχεται πλήρως σε αυτόν.

Εξετάστε παραδείγματα:

	Το 4900 διαιρείται με τους πρώτους αριθμούς 2, 5 και 7 (περιλαμβάνονται στην επέκταση του αριθμού 4900), αλλά δεν διαιρείται, για παράδειγμα, με το 13.
	11 550 75. Αυτό συμβαίνει επειδή η επέκταση του αριθμού 75 περιέχεται πλήρως στην επέκταση του αριθμού 11550. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης θα είναι το γινόμενο των παραγόντων 2, 7 και 11. Το 11550 δεν διαιρείται με το 4 γιατί υπάρχει ένα επιπλέον 2 στην επέκταση του 4.

Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του αριθμού a με τον αριθμό b, αν αυτοί οι αριθμοί διασπαστούν σε πρώτους παράγοντες ως εξής a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	Η αποσύνθεση του αριθμού b περιέχεται πλήρως στην αποσύνθεση του αριθμού α.
	Το αποτέλεσμα της διαίρεσης του α με το β είναι το γινόμενο των τριών αριθμών που απομένουν στη διαστολή του α. Η απάντηση λοιπόν είναι: 30.

Βιβλιογραφία

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Μαθηματικά 6. - Μ.: Μνημοσύνη, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Μαθηματικά ΣΤ τάξης. - Γυμνάσιο. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Πίσω από τις σελίδες ενός σχολικού βιβλίου μαθηματικών. - Μ.: Διαφωτισμός, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Εργασίες για το μάθημα των μαθηματικών τάξης 5-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Μαθηματικά 5-6. Εγχειρίδιο για μαθητές της Στ' τάξης του σχολείου αλληλογραφίας MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Μαθηματικά: Βιβλίο συνομιλητή για τις τάξεις 5-6 Λύκειο. - Μ .: Εκπαίδευση, Βιβλιοθήκη Καθηγητών Μαθηματικών, 1989.

1. Διαδικτυακή πύλη Matematika-na.ru ().
2. Διαδικτυακή πύλη Math-portal.ru ().

Εργασία για το σπίτι

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Μαθηματικά 6. - Μ.: Mnemozina, 2012. Αρ. 127, αρ. 129, αρ. 141.
2. Άλλες εργασίες: Νο. 133, Νο. 144.

Τι παραγοντοποίηση;Είναι ένας τρόπος να μετατρέψεις ένα άβολο και περίπλοκο παράδειγμα σε απλό και χαριτωμένο.) Πολύ δυνατό κόλπο! Εμφανίζεται σε κάθε βήμα τόσο στα μαθηματικά της δημοτικής όσο και στα ανώτερα μαθηματικά.

Τέτοιοι μετασχηματισμοί στη μαθηματική γλώσσα ονομάζονται πανομοιότυποι μετασχηματισμοί εκφράσεων. Ποιος δεν είναι στο θέμα - κάντε μια βόλτα στον σύνδεσμο. Υπάρχουν πολύ λίγα, απλά και χρήσιμα.) Το νόημα κάθε πανομοιότυπου μετασχηματισμού είναι να γράψετε την έκφραση σε διαφορετική μορφήδιατηρώντας παράλληλα την ουσία του.

Εννοια παραγοντοποιήσειςεξαιρετικά απλό και κατανοητό. Από τον ίδιο τον τίτλο. Μπορείτε να ξεχάσετε (ή να μην ξέρετε) τι είναι ο πολλαπλασιαστής, αλλά μπορείτε να καταλάβετε ότι αυτή η λέξη προέρχεται από τη λέξη "πολλαπλασιάζω";) Factoring σημαίνει: αντιπροσωπεύουν μια έκφραση ως πολλαπλασιασμό κάτι με κάτι. Συγχωρέστε με τα μαθηματικά και τη ρωσική γλώσσα ...) Και αυτό είναι.

Για παράδειγμα, πρέπει να αποσυνθέσετε τον αριθμό 12. Μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια:

Έτσι παρουσιάσαμε τον αριθμό 12 ως πολλαπλασιασμό του 3 με το 4. Σημειώστε ότι οι αριθμοί στα δεξιά (3 και 4) είναι εντελώς διαφορετικοί από ό,τι στα αριστερά (1 και 2). Αλλά γνωρίζουμε καλά ότι το 12 και το 3 4 ίδιο.Η ουσία του αριθμού 12 από τη μεταμόρφωση δεν έχει αλλάξει.

Είναι δυνατόν να αποσυντεθεί το 12 με άλλο τρόπο; Εύκολα!

12=3 4=2 6=3 2 2=0,5 24=........

Οι επιλογές αποσύνθεσης είναι ατελείωτες.

Η αποσύνθεση αριθμών σε παράγοντες είναι χρήσιμο πράγμα. Βοηθάει πολύ, για παράδειγμα, όταν έχουμε να κάνουμε με ρίζες. Αλλά η παραγοντοποίηση των αλγεβρικών εκφράσεων δεν είναι κάτι που είναι χρήσιμο, είναι - απαραίτητη!Απλώς για παράδειγμα:

Απλοποιώ:

Όσοι δεν ξέρουν να παραγοντοποιούν την έκφραση, ξεκουράζονται στο περιθώριο. Ποιος ξέρει πώς - απλοποιεί και παίρνει:

Το αποτέλεσμα είναι εκπληκτικό, σωστά;) Παρεμπιπτόντως, η λύση είναι αρκετά απλή. Θα το διαπιστώσετε και μόνοι σας παρακάτω. Ή, για παράδειγμα, μια τέτοια εργασία:

Λύστε την εξίσωση:

x 5 - x 4 = 0

Παρεμπιπτόντως, αποφασίστηκε στο μυαλό. Με τη βοήθεια της παραγοντοποίησης. Παρακάτω θα λύσουμε αυτό το παράδειγμα. Απάντηση: x 1 = 0; x2 = 1.

Ή, το ίδιο πράγμα, αλλά για τους μεγαλύτερους):

Λύστε την εξίσωση:

Σε αυτά τα παραδείγματα, έχω δείξει κύριος σκοπόςπαραγοντοποιήσεις: απλοποίηση κλασματικών εκφράσεων και επίλυση ορισμένων ειδών εξισώσεων. Συνιστώ να θυμάστε εμπειρικός κανόνας:

Αν έχουμε μια τρομερή κλασματική έκφραση μπροστά μας, μπορούμε να προσπαθήσουμε να παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Πολύ συχνά, το κλάσμα μειώνεται και απλοποιείται.

Εάν έχουμε μια εξίσωση μπροστά μας, όπου στα δεξιά είναι το μηδέν και στα αριστερά - δεν καταλαβαίνω τι, μπορείτε να προσπαθήσετε να παραγοντοποιήσετε την αριστερή πλευρά. Μερικές φορές βοηθάει.)

Βασικές μέθοδοι παραγοντοποίησης.

Εδώ είναι οι πιο δημοφιλείς τρόποι:

4. Αποσύνθεση τετραγωνικού τριωνύμου.

Αυτές οι μέθοδοι πρέπει να θυμόμαστε. Είναι με αυτή τη σειρά. Ελέγχονται σύνθετα παραδείγματα για όλες τις πιθανές μεθόδους αποσύνθεσης.Και είναι καλύτερο να το ελέγξετε με τη σειρά, για να μην μπερδευτούμε ... Ας ξεκινήσουμε με τη σειρά.)

1. Βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων.

Απλός και αξιόπιστος τρόπος. Δεν του πάει άσχημα! Συμβαίνει είτε καλά είτε καθόλου.) Επομένως, είναι ο πρώτος. Καταλαβαίνουμε.

Όλοι γνωρίζουν (πιστεύω!) τον κανόνα:

a(b+c) = ab+ac

Ή, σε περισσότερα γενική εικόνα:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Όλες οι ισότητες λειτουργούν και από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα, από δεξιά προς τα αριστερά. Μπορείς να γράψεις:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = α(β+γ+δ+.....)

Αυτό είναι όλο το νόημα να βάζουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων.

Στην αριστερή πλευρά ένα - κοινός παράγονταςγια όλους τους όρους. Πολλαπλασιάζεται με τα πάντα.) Το σωστό είναι το πιο πολύ έναείναι ήδη έξω από τις αγκύλες.

Θα εξετάσουμε την πρακτική εφαρμογή της μεθόδου με παραδείγματα. Στην αρχή, η παραλλαγή είναι απλή, ακόμη και πρωτόγονη.) Αλλά σε αυτήν την παραλλαγή θα σημειώσω (με πράσινο) πολύ σημαντικά σημείαγια οποιαδήποτε παραγοντοποίηση.

Πολλαπλασιάζω:

αχ+9χ

Οι οποίες γενικόςείναι ο πολλαπλασιαστής και στους δύο όρους; Χ φυσικά! Θα το βγάλουμε από αγκύλες. Το κάνουμε. Αμέσως γράφουμε x έξω από τις αγκύλες:

ax+9x=x(

Και σε αγκύλες γράφουμε το αποτέλεσμα της διαίρεσης κάθε όροςσε αυτό ακριβώς το x. Για να:

Αυτό είναι όλο. Φυσικά, δεν είναι απαραίτητο να ζωγραφίζετε με τόση λεπτομέρεια, Αυτό γίνεται στο μυαλό. Αλλά για να καταλάβουμε τι είναι τι, είναι επιθυμητό). Διορθώνουμε στη μνήμη:

Γράφουμε τον κοινό παράγοντα έξω από τις αγκύλες. Σε παρένθεση γράφουμε τα αποτελέσματα της διαίρεσης όλων των όρων με αυτόν τον πολύ κοινό παράγοντα. Για να.

Εδώ έχουμε επεκτείνει την έκφραση αχ+9χγια πολλαπλασιαστές. Το μετέτρεψε σε πολλαπλασιασμό του x επί (α + 9).Σημειώνω ότι στην αρχική έκφραση υπήρχε επίσης ένας πολλαπλασιασμός, έστω και δύο: ένα x και 9 x.Αλλά δεν έχει παραγοντοποιηθεί!Γιατί εκτός από πολλαπλασιασμό αυτή η έκφραση περιείχε και πρόσθεση, το πρόσημο «+»! Και στην έκφραση x(a+9) τίποτα άλλο από τον πολλαπλασιασμό!

Πως και έτσι!? - Ακούω την αγανακτισμένη φωνή του κόσμου - Και σε παρένθεση!;)

Ναι, υπάρχει προσθήκη μέσα στις αγκύλες. Αλλά το κόλπο είναι ότι ενώ οι αγκύλες δεν ανοίγουν, τις εξετάζουμε σαν ένα γράμμα.Και κάνουμε όλες τις ενέργειες με αγκύλες στο σύνολό τους, σαν ένα γράμμα.Υπό αυτή την έννοια, στην έκφραση x(a+9)τίποτα άλλο από τον πολλαπλασιασμό. Αυτό είναι όλο το νόημα της παραγοντοποίησης.

Παρεμπιπτόντως, υπάρχει κάποιος τρόπος να ελέγξουμε αν τα κάναμε όλα σωστά; Ανετα! Αρκεί να πολλαπλασιάσουμε ό,τι αφαιρέθηκε (x) με αγκύλες και να δούμε αν λειτούργησε πρωτότυποέκφραση? Αν δούλεψε, όλα είναι κορυφαία!)

x(a+9)=ax+9x

Συνέβη.)

Δεν υπάρχει πρόβλημα σε αυτό το πρωτόγονο παράδειγμα. Αν όμως υπάρχουν αρκετοί όροι, και μάλιστα με διαφορετικά σημάδια... Εν ολίγοις, κάθε τρίτος μαθητής μπλέκει). Επομένως:

Εάν χρειάζεται, ελέγξτε την παραγοντοποίηση με αντίστροφο πολλαπλασιασμό.

Πολλαπλασιάζω:

3ax+9x

Αναζητούμε έναν κοινό παράγοντα. Λοιπόν, όλα είναι ξεκάθαρα με το Χ, μπορεί να αντέξει. Υπάρχει άλλο γενικόςπαράγοντας? Ναί! Αυτό είναι ένα τρίο. Μπορείτε επίσης να γράψετε την έκφραση ως εξής:

3x+3 3x

Εδώ είναι αμέσως ξεκάθαρο ότι ο κοινός παράγοντας θα είναι 3x. Εδώ το βγάζουμε:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Απλώστε.

Και τι γίνεται αν πάρετε μόνο x;Τίποτα ιδιαίτερο:

3ax+9x=x(3a+9)

Αυτό θα είναι και παραγοντοποίηση. Αλλά σε αυτή τη συναρπαστική διαδικασία, συνηθίζεται να απλώνουμε τα πάντα μέχρι να σταματήσουν, ενώ υπάρχει μια ευκαιρία. Εδώ σε αγκύλες υπάρχει η ευκαιρία να βγάλεις τριπλό. Παίρνω:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Το ίδιο πράγμα, μόνο με μια επιπλέον ενέργεια.) Θυμηθείτε:

Όταν βγάζουμε τον κοινό παράγοντα από αγκύλες, προσπαθούμε να βγάλουμε το μέγιστοκοινός πολλαπλασιαστής.

Ας συνεχίσουμε τη διασκέδαση;

Παραγοντοποίηση της έκφρασης:

3ax+9x-8a-24

Τι θα βγάλουμε; Τρία, Χ; Όχι-εε... Δεν μπορείς. Σας υπενθυμίζω ότι μπορείτε μόνο να πάρετε γενικόςπολλαπλασιαστής δηλαδή σε όλαόρους της έκφρασης. Γι' αυτό γενικός.Δεν υπάρχει τέτοιος πολλαπλασιαστής εδώ ... Τι, δεν μπορείτε να βάλετε έξω!; Λοιπόν, ναι, ήμασταν ενθουσιασμένοι, πόσο ... Γνωρίστε:

2. Ομαδοποίηση.

Στην πραγματικότητα, η ομαδοποίηση δύσκολα μπορεί να ονομαστεί ανεξάρτητος τρόπος παραγοντοποίησης. Αυτός είναι μάλλον ένας τρόπος να ξεφύγετε από ένα περίπλοκο παράδειγμα.) Πρέπει να ομαδοποιήσετε τους όρους έτσι ώστε όλα να πάνε καλά. Αυτό μπορεί να φανεί μόνο με ένα παράδειγμα. Έχουμε λοιπόν μια έκφραση:

3ax+9x-8a-24

Μπορεί να φανεί ότι υπάρχουν μερικά κοινά γράμματα και αριθμοί. Αλλά... Γενικόςδεν υπάρχει πολλαπλασιαστής σε όλους τους όρους. Μη χάνεις την καρδιά και σπάμε την έκφραση σε κομμάτια.Ομαδοποιούμε. Έτσι ώστε σε κάθε κομμάτι υπήρχε ένας κοινός παράγοντας, υπήρχε κάτι να βγάλει. Πώς σπάμε; Ναι, μόνο παρένθεση.

Να σας υπενθυμίσω ότι οι αγκύλες μπορούν να τοποθετηθούν οπουδήποτε και με όποιον τρόπο. Αν μόνο η ουσία του παραδείγματος δεν άλλαξε.Για παράδειγμα, μπορείτε να κάνετε αυτό:

3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)

Παρακαλώ δώστε προσοχή στις δεύτερες παρενθέσεις! Προηγείται το σύμβολο μείον και 8ακαι 24 γίνετε θετικοί! Εάν, για επαλήθευση, ανοίξουμε τις αγκύλες πίσω, τα σημάδια θα αλλάξουν και παίρνουμε πρωτότυποέκφραση. Εκείνοι. η ουσία της έκφρασης από αγκύλες δεν έχει αλλάξει.

Αλλά αν βάλετε απλώς σε παρενθέσεις, χωρίς να λάβετε υπόψη την αλλαγή του πρόσημου, για παράδειγμα, ως εξής:

3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) -(8α-24 )

θα είναι λάθος. Σωστά - ήδη άλλαέκφραση. Αναπτύξτε τις αγκύλες και όλα θα ξεκαθαρίσουν. Δεν μπορείτε να αποφασίσετε περαιτέρω, ναι...)

Αλλά πίσω στην παραγοντοποίηση. Δείτε τις πρώτες αγκύλες (3ax + 9x)και σκέψου, είναι δυνατόν να αντέξεις κάτι; Λοιπόν, λύσαμε αυτό το παράδειγμα παραπάνω, μπορούμε να το βγάλουμε 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Μελετάμε τις δεύτερες αγκύλες, εκεί μπορείτε να βγάλετε τις οκτώ:

(8a+24)=8(a+3)

Ολόκληρη η έκφρασή μας θα είναι:

(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)

Πολλαπλασιάστηκε; Οχι. Η αποσύνθεση θα πρέπει να έχει ως αποτέλεσμα μόνο πολλαπλασιασμός,και έχουμε ένα μείον τα χαλάει όλα. Όμως... Και οι δύο όροι έχουν έναν κοινό παράγοντα! Αυτό είναι (α+3). Δεν ήταν μάταια που είπα ότι οι αγκύλες στο σύνολό τους είναι, λες, ένα γράμμα. Έτσι, αυτές οι αγκύλες μπορούν να αφαιρεθούν από τις αγκύλες. Ναι, αυτό ακριβώς ακούγεται.)

Κάνουμε όπως περιγράφεται παραπάνω. Γράψτε τον κοινό παράγοντα (α+3), στις δεύτερες αγκύλες γράφουμε τα αποτελέσματα της διαίρεσης των όρων με (α+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Τα παντα! Στα δεξιά, δεν υπάρχει τίποτα άλλο από τον πολλαπλασιασμό! Οπότε η παραγοντοποίηση ολοκληρώθηκε με επιτυχία!) Ορίστε:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Ας ανακεφαλαιώσουμε την ουσία της ομάδας.

Αν η έκφραση δεν το κάνει γενικόςπολλαπλασιαστής για όλαόρους, χωρίζουμε την έκφραση με αγκύλες έτσι ώστε μέσα στις αγκύλες ο κοινός παράγοντας ήταν.Ας το βγάλουμε να δούμε τι θα γίνει. Αν είμαστε τυχεροί, και παραμένουν ακριβώς οι ίδιες εκφράσεις στις αγκύλες, βγάζουμε αυτές τις αγκύλες από τις αγκύλες.

Θα προσθέσω ότι η ομαδοποίηση είναι μια δημιουργική διαδικασία). Δεν λειτουργεί πάντα την πρώτη φορά. Είναι εντάξει. Μερικές φορές πρέπει να ανταλλάξετε όρους, να εξετάσετε διαφορετικές επιλογές ομαδοποίησης μέχρι να βρείτε μια καλή. Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην χάσετε την καρδιά!)

Παραδείγματα.

Τώρα, έχοντας εμπλουτιστεί με γνώσεις, μπορείτε επίσης να λύσετε δύσκολα παραδείγματα.) Στην αρχή του μαθήματος, υπήρχαν τρία από αυτά ...

Απλοποιώ:

Στην πραγματικότητα, έχουμε ήδη λύσει αυτό το παράδειγμα. Ανεπαίσθητα στον εαυτό μου.) Σας υπενθυμίζω: αν μας δοθεί ένα τρομερό κλάσμα, προσπαθούμε να αποσυνθέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε παράγοντες. Άλλες επιλογές απλοποίησης απλά όχι.

Λοιπόν, εδώ δεν αποσυντίθεται ο παρονομαστής, αλλά ο αριθμητής... Έχουμε ήδη αποσυνθέσει τον αριθμητή στην πορεία του μαθήματος! Σαν αυτό:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Γράφουμε το αποτέλεσμα της επέκτασης στον αριθμητή του κλάσματος:

Σύμφωνα με τον κανόνα της αναγωγής των κλασμάτων (η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος), μπορούμε να διαιρέσουμε (ταυτόχρονα!) τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό, ή έκφραση. Κλάσμα από αυτό δεν αλλάζει.Άρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την παράσταση (3x-8). Και που και που παίρνουμε μονάδες. Τελικό αποτέλεσμα απλοποίησης:

Τονίζω ιδιαίτερα: η αναγωγή ενός κλάσματος είναι δυνατή εάν και μόνο εάν είναι στον αριθμητή και στον παρονομαστή, εκτός από τον πολλαπλασιασμό των παραστάσεων δεν υπάρχει τίποτα.Γι' αυτό η μετατροπή του αθροίσματος (διαφορά) σε πολλαπλασιασμόςτόσο σημαντικό να απλοποιηθεί. Φυσικά, αν οι εκφράσεις διάφορος,τότε τίποτα δεν θα μειωθεί. Byvet. Αλλά η παραγοντοποίηση δίνει μια ευκαιρία.Αυτή η ευκαιρία χωρίς αποσύνθεση - απλά δεν υπάρχει.

Παράδειγμα εξίσωσης:

Λύστε την εξίσωση:

x 5 - x 4 = 0

Αφαιρώντας τον κοινό παράγοντα x 4για αγκύλες. Παίρνουμε:

x 4 (x-1)=0

Υποθέτουμε ότι το γινόμενο των παραγόντων είναι ίσο με μηδέν τότε και μόνο τότεόταν κάποιο από αυτά είναι ίσο με μηδέν. Εάν έχετε αμφιβολίες, βρείτε μου μερικούς μη μηδενικούς αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δίνουν μηδέν.) Έτσι γράφουμε, πρώτα τον πρώτο παράγοντα:

Με αυτή την ισότητα, ο δεύτερος παράγοντας δεν μας ενοχλεί. Οποιοσδήποτε μπορεί να είναι, ούτως ή άλλως, στο τέλος θα βγει μηδέν. Ποιος είναι ο αριθμός στην τέταρτη δύναμη του μηδέν; Μόνο μηδέν! Και τίποτα άλλο... Επομένως:

Καταλάβαμε τον πρώτο παράγοντα, βρήκαμε μια ρίζα. Ας ασχοληθούμε με τον δεύτερο παράγοντα. Τώρα δεν μας ενδιαφέρει ο πρώτος πολλαπλασιαστής.):

Εδώ βρήκαμε μια λύση: x 1 = 0; x2 = 1. Οποιαδήποτε από αυτές τις ρίζες ταιριάζει στην εξίσωσή μας.

Μια πολύ σημαντική σημείωση. Σημειώστε ότι έχουμε λύσει την εξίσωση λίγο-λίγο!Κάθε παράγοντας ορίστηκε στο μηδέν. ανεξάρτητα από άλλους παράγοντες.Παρεμπιπτόντως, αν σε μια τέτοια εξίσωση δεν υπάρχουν δύο παράγοντες, όπως έχουμε, αλλά τρεις, πέντε, όσοι θέλετε, θα αποφασίσουμε παρόμοιος.Κομμάτι κομμάτι. Για παράδειγμα:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Αυτός που ανοίγει τις αγκύλες, πολλαπλασιάζει τα πάντα, θα κρέμεται για πάντα από αυτή την εξίσωση.) Ο σωστός μαθητής θα δει αμέσως ότι δεν υπάρχει τίποτα στα αριστερά εκτός από πολλαπλασιασμό, στα δεξιά - μηδέν. Και θα αρχίσει (στο μυαλό του!) να εξισώνει με το μηδέν όλες τις αγκύλες με τη σειρά. Και πάρτε (σε 10 δευτερόλεπτα!) η σωστή απόφαση: x 1 = 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x4 = -2.

Τέλεια, σωστά;) Μια τόσο κομψή λύση είναι δυνατή εάν η αριστερή πλευρά της εξίσωσης χωρίζεται σε πολλαπλάσια.Είναι σαφής η υπόδειξη;)

Λοιπόν, το τελευταίο παράδειγμα, για τους παλαιότερους):

Λύστε την εξίσωση:

Μοιάζει κάπως με το προηγούμενο, δεν νομίζεις;) Φυσικά. Ήρθε η ώρα να θυμηθούμε ότι στην άλγεβρα της έβδομης τάξης, τα γράμματα μπορούν να κρύψουν ημίτονο, λογάριθμους και οτιδήποτε άλλο! Το Factoring λειτουργεί σε όλα τα μαθηματικά.

Αφαιρώντας τον κοινό παράγοντα lg4xγια αγκύλες. Παίρνουμε:

lg 4x=0

Αυτή είναι μια ρίζα. Ας ασχοληθούμε με τον δεύτερο παράγοντα.

Εδώ είναι η τελική απάντηση: x 1 = 1; x2 = 10.

Ελπίζω να έχετε συνειδητοποιήσει τη δύναμη της παραγοντοποίησης στην απλοποίηση των κλασμάτων και στην επίλυση εξισώσεων.)

Σε αυτό το μάθημα, εξοικειωθήκαμε με την αφαίρεση του κοινού παράγοντα και της ομαδοποίησης. Μένει να ασχοληθούμε με τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό και το τετράγωνο τριώνυμο.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ταυτοποίηση ενός συγκεκριμένου ατόμου ή για επικοινωνία μαζί του.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και μηνύματα.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως τη διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Σε περίπτωση που είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και / ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κρατικούς φορείς στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους λόγους δημοσίου συμφέροντος.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε στους υπαλλήλους μας πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Αυτό το άρθρο δίνει απαντήσεις στην ερώτηση σχετικά με την παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε φύλλα. Εξετάστε μια γενική ιδέα της αποσύνθεσης με παραδείγματα. Ας αναλύσουμε την κανονική μορφή της αποσύνθεσης και τον αλγόριθμό της. Όλες οι εναλλακτικές μέθοδοι θα εξεταστούν χρησιμοποιώντας τα σημάδια διαιρετότητας και τον πίνακα πολλαπλασιασμού.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Τι σημαίνει να συνυπολογίζουμε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες;

Ας ρίξουμε μια ματιά στην έννοια των πρώτων παραγόντων. Είναι γνωστό ότι κάθε πρώτος παράγοντας είναι πρώτος αριθμός. Σε ένα γινόμενο της μορφής 2 7 7 23 έχουμε ότι έχουμε 4 πρώτους παράγοντες στη μορφή 2 , 7 , 7 , 23 .

Το Factoring περιλαμβάνει την αναπαράστασή του ως προϊόντα πρώτων. Εάν πρέπει να αποσυνθέσετε τον αριθμό 30, τότε παίρνουμε 2, 3, 5. Η καταχώρηση θα έχει τη μορφή 30 = 2 3 5 . Είναι πιθανό ότι οι πολλαπλασιαστές μπορούν να επαναληφθούν. Ένας αριθμός όπως το 144 έχει 144 = 2 2 2 2 3 3 .

Δεν είναι όλοι οι αριθμοί επιρρεπείς σε αποσύνθεση. Αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από 1 και είναι ακέραιοι μπορούν να συνυπολογιστούν. Οι πρώτοι αριθμοί διαιρούνται μόνο με το 1 και τους εαυτούς τους όταν αποσυντίθενται, επομένως είναι αδύνατο να αναπαρασταθούν αυτοί οι αριθμοί ως γινόμενο.

Όταν το z αναφέρεται σε ακέραιους αριθμούς, αναπαρίσταται ως γινόμενο των a και b, όπου το z διαιρείται με τα a και b. Οι σύνθετοι αριθμοί διασπώνται σε πρώτους παράγοντες χρησιμοποιώντας το βασικό θεώρημα της αριθμητικής. Αν ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από 1, τότε η παραγοντοποίησή του p 1 , p 2 , … , p n παίρνει τη μορφή a = p 1 , p 2 , … , p n . Η αποσύνθεση υποτίθεται σε μία μόνο παραλλαγή.

Κανονική αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες

Οι παράγοντες μπορούν να επαναληφθούν κατά την αποσύνθεση. Είναι γραμμένα συμπαγή χρησιμοποιώντας πτυχίο. Αν, κατά την αποσύνθεση του αριθμού a, έχουμε έναν παράγοντα p 1, ο οποίος εμφανίζεται s 1 φορές και ούτω καθεξής p n - s n φορές. Έτσι, η αποσύνθεση παίρνει τη μορφή a=p 1 s 1 a = p 1 s 1 p 2 s 2 … p n s n. Αυτό το λήμμα ονομάζεται κανονική αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες.

Κατά την αποσύνθεση του αριθμού 609840, παίρνουμε ότι 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11 , η κανονική του μορφή θα είναι 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 . Χρησιμοποιώντας την κανονική επέκταση, μπορείτε να βρείτε όλους τους διαιρέτες ενός αριθμού και τον αριθμό τους.

Για να παραγοντοποιήσετε σωστά, πρέπει να έχετε μια ιδέα για την αρχική και σύνθετους αριθμούς. Το θέμα είναι να λάβουμε έναν διαδοχικό αριθμό διαιρετών της μορφής p 1 , p 2 , ... , p n αριθμοί a , a 1 , a 2 , ... , a n - 1, αυτό καθιστά δυνατή την απόκτηση a = p 1 a 1, όπου a 1 \u003d a: p 1, a \u003d p 1 a 1 \u003d p 1 p 2 a 2, όπου a 2 \u003d a 1: p 2, ..., a \u003d p 1 p 2 . .. ... p n a n , όπου a n = a n - 1: p n. Κατά την παραλαβή a n = 1, μετά η ισότητα a = p 1 p 2 … p nλαμβάνουμε την απαιτούμενη αποσύνθεση του αριθμού α σε πρώτους παράγοντες. σημειώσε ότι p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Για να βρείτε τους λιγότερους κοινούς διαιρέτες, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα πρώτων αριθμών. Αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας το παράδειγμα εύρεσης του μικρότερου πρώτου διαιρέτη του αριθμού z. Όταν παίρνουμε πρώτους αριθμούς 2, 3, 5, 11 και ούτω καθεξής, και διαιρούμε τον αριθμό z με αυτούς. Επειδή το z δεν είναι πρώτος αριθμός, να έχετε κατά νου ότι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης δεν θα είναι μεγαλύτερος από το z. Μπορεί να φανεί ότι δεν υπάρχουν διαιρέτες του z , τότε είναι σαφές ότι το z είναι πρώτος αριθμός.

Παράδειγμα 1

Εξετάστε το παράδειγμα του αριθμού 87. Όταν διαιρεθεί με το 2, έχουμε το 87: 2 \u003d 43 με υπόλοιπο 1. Από αυτό προκύπτει ότι το 2 δεν μπορεί να είναι διαιρέτης, η διαίρεση πρέπει να γίνει εξ ολοκλήρου. Όταν διαιρεθεί με το 3, παίρνουμε ότι 87: 3 = 29. Εξ ου και το συμπέρασμα - το 3 είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του αριθμού 87.

Κατά την αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιείται πίνακας πρώτων αριθμών, όπου α. Κατά την αποσύνθεση του 95, θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν περίπου 10 πρώτοι, και κατά την αποσύνθεση του 846653, περίπου 1000.

Εξετάστε τον πρώτο αλγόριθμο παραγοντοποίησης:

• βρίσκοντας τον μικρότερο παράγοντα με διαιρέτη p 1 ενός αριθμού έναμε τον τύπο a 1 \u003d a: p 1, όταν a 1 \u003d 1, τότε το a είναι πρώτος αριθμός και περιλαμβάνεται στην παραγοντοποίηση, όταν δεν ισούται με 1, τότε a \u003d p 1 a 1 και ακολουθήστε το παρακάτω σημείο.
• βρίσκοντας τον πρώτο διαιρέτη p 2 του 1 με διαδοχική απαρίθμηση πρώτων αριθμών, χρησιμοποιώντας a 2 = a 1: p 2 , όταν a 2 = 1 , τότε η επέκταση παίρνει τη μορφή a = p 1 p 2 , όταν a 2 \u003d 1, τότε a \u003d p 1 p 2 a 2 , και κάνουμε τη μετάβαση στο επόμενο βήμα.
• επανάληψη πάνω από πρώτους αριθμούς και εύρεση πρώτου διαιρέτη σελ 3αριθμοί Α2σύμφωνα με τον τύπο a 3 \u003d a 2: p 3 όταν ένα 3 \u003d 1 , τότε παίρνουμε ότι a = p 1 p 2 p 3 , όταν δεν είναι ίσο με 1 τότε a = p 1 p 2 p 3 a 3 και προχωρήστε στο επόμενο βήμα.
• βρείτε πρώτο διαιρέτη p nαριθμοί α ν - 1με απαρίθμηση πρώτων αριθμών με p n - 1, καθώς a n = a n - 1: p n, όπου a n = 1 , το βήμα είναι τελικό, ως αποτέλεσμα παίρνουμε ότι a = p 1 p 2 ... p n .

Το αποτέλεσμα του αλγορίθμου γράφεται με τη μορφή πίνακα με αποσυντεθειμένους παράγοντες με κάθετη ράβδο διαδοχικά σε μια στήλη. Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Ο αλγόριθμος που προκύπτει μπορεί να εφαρμοστεί με την αποσύνθεση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Κατά την παραγοντοποίηση σε πρώτους παράγοντες, θα πρέπει να ακολουθείται ο βασικός αλγόριθμος.

Παράδειγμα 2

Διασπάστε τον αριθμό 78 σε πρώτους παράγοντες.

Απόφαση

Για να βρεθεί ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης, είναι απαραίτητο να απαριθμήσουμε όλους τους πρώτους αριθμούς του 78 . Δηλαδή, 78: 2 = 39. Διαίρεση χωρίς υπόλοιπο, άρα αυτός είναι ο πρώτος πρώτος διαιρέτης, τον οποίο συμβολίζουμε ως p 1. Παίρνουμε ότι a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Καταλήξαμε σε μια ισότητα της μορφής a = p 1 a 1 , όπου 78 = 2 39 . Τότε a 1 = 39, δηλαδή, θα πρέπει να πάτε στο επόμενο βήμα.

Ας επικεντρωθούμε στην εύρεση ενός πρώτου διαιρέτη p2αριθμοί a 1 = 39. Θα πρέπει να ταξινομήσετε τους πρώτους αριθμούς, δηλαδή 39: 2 = 19 (υπόλοιπο 1). Εφόσον η διαίρεση έχει υπόλοιπο, το 2 δεν είναι διαιρέτης. Όταν επιλέγουμε τον αριθμό 3, παίρνουμε ότι 39: 3 = 13. Αυτό σημαίνει ότι ο p 2 = 3 είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του 39 με ένα 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 . Λαμβάνουμε μια ισότητα της μορφής a = p 1 p 2 a 2με τη μορφή 78 = 2 3 13 . Έχουμε ότι το 2 = 13 δεν είναι ίσο με 1, τότε θα πρέπει να προχωρήσουμε.

Ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του αριθμού a 2 = 13 βρίσκεται με απαρίθμηση αριθμών, ξεκινώντας από το 3. Παίρνουμε ότι 13: 3 = 4 (υπόλοιπο 1). Αυτό δείχνει ότι το 13 δεν διαιρείται με το 5, το 7, το 11, επειδή 13: 5 = 2 (υπόλοιπο 3), 13: 7 = 1 (υπόλοιπο 6) και 13: 11 = 1 (υπόλοιπο 2). Μπορεί να φανεί ότι το 13 είναι πρώτος αριθμός. Ο τύπος μοιάζει με αυτό: a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 13: 13 \u003d 1. Πήραμε ότι a 3 = 1, που σημαίνει το τέλος του αλγορίθμου. Τώρα οι συντελεστές γράφονται ως 78 = 2 3 13 (a = p 1 p 2 p 3) .

Απάντηση: 78 = 2 3 13 .

Παράδειγμα 3

Διασπάστε τον αριθμό 83.006 σε πρώτους παράγοντες.

Απόφαση

Το πρώτο βήμα περιλαμβάνει την παραγοντοποίηση p 1 = 2και a 1 \u003d a: p 1 \u003d 83 006: 2 \u003d 41 503, όπου 83 006 = 2 41 503 .

Το δεύτερο βήμα προϋποθέτει ότι το 2 , το 3 και το 5 δεν είναι πρώτοι διαιρέτες ενός 1 = 41503 αλλά το 7 είναι πρώτος διαιρέτης επειδή 41503: 7 = 5929 . Παίρνουμε ότι p 2 \u003d 7, a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 41 503: 7 \u003d 5 929. Προφανώς, 83 006 = 2 7 5 929 .

Η εύρεση του μικρότερου πρώτου διαιρέτη p 4 στον αριθμό a 3 = 847 είναι 7 . Μπορεί να φανεί ότι ένα 4 \u003d a 3: p 4 \u003d 847: 7 \u003d 121, επομένως 83 006 \u003d 2 7 7 7 121.

Για να βρούμε τον πρώτο διαιρέτη του αριθμού a 4 = 121, χρησιμοποιούμε τον αριθμό 11, δηλαδή p 5 = 11. Τότε παίρνουμε μια έκφραση της φόρμας a 5 \u003d a 4: p 5 \u003d 121: 11 \u003d 11, και 83 006 = 2 7 7 7 11 11 .

Για τον αριθμό a 5 = 11αριθμός p6 = 11είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης. Ως εκ τούτου, ένα 6 \u003d a 5: p 6 \u003d 11: 11 \u003d 1. Τότε a 6 = 1 . Αυτό υποδηλώνει το τέλος του αλγορίθμου. Οι πολλαπλασιαστές θα γραφτούν ως 83006 = 2 7 7 7 11 11 .

Ο κανονικός συμβολισμός της απάντησης θα έχει τη μορφή 83 006 = 2 7 3 11 2 .

Απάντηση: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 .

Παράδειγμα 4

Παραγοντοποιήστε τον αριθμό 897 924 289.

Απόφαση

Για να βρείτε τον πρώτο πρώτο παράγοντα, επαναλάβετε τους πρώτους αριθμούς, ξεκινώντας από το 2. Το τέλος της απαρίθμησης πέφτει στον αριθμό 937 . Τότε p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 και 897 924 289 = 937 958 297.

Το δεύτερο βήμα του αλγορίθμου είναι η απαρίθμηση μικρότερων πρώτων. Δηλαδή ξεκινάμε με τον αριθμό 937. Ο αριθμός 967 μπορεί να θεωρηθεί πρώτος, επειδή είναι πρώτος διαιρέτης του αριθμού a 1 = 958 297. Από εδώ παίρνουμε ότι p 2 \u003d 967, μετά a 2 \u003d a 1: p 1 \u003d 958 297: 967 \u003d 991 και 897 924 289 \u003d 937 967 991.

Το τρίτο βήμα λέει ότι το 991 είναι πρώτος αριθμός, αφού δεν έχει πρώτο διαιρέτη μικρότερο ή ίσο του 991. Η κατά προσέγγιση τιμή της έκφρασης ρίζας είναι 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Από αυτό μπορεί να φανεί ότι p 3 \u003d 991 και a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 991: 991 \u003d 1. Παίρνουμε ότι η αποσύνθεση του αριθμού 897 924 289 σε πρώτους παράγοντες προκύπτει ως 897 924 289 \u003d 937 967 991.

Απάντηση: 897 924 289 = 937 967 991 .

Χρησιμοποιώντας Δοκιμές Διαιρετότητας για Πρωταρχική Παραγοντοποίηση

Για να αποσυνθέσετε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες, πρέπει να ακολουθήσετε τον αλγόριθμο. Όταν υπάρχουν μικροί αριθμοί, επιτρέπεται η χρήση του πίνακα πολλαπλασιασμού και των σημάτων διαιρετότητας. Ας το δούμε αυτό με παραδείγματα.

Παράδειγμα 5

Εάν είναι απαραίτητο να παραγοντοποιήσετε το 10, τότε ο πίνακας δείχνει: 2 5 \u003d 10. Οι αριθμοί 2 και 5 που προκύπτουν είναι πρώτοι, επομένως είναι πρώτοι παράγοντες για τον αριθμό 10.

Παράδειγμα 6

Εάν είναι απαραίτητο να αποσυντεθεί ο αριθμός 48, τότε ο πίνακας δείχνει: 48 \u003d 6 8. Αλλά οι 6 και 8 δεν είναι πρώτοι παράγοντες, αφού μπορούν επίσης να αποσυντεθούν ως 6 = 2 3 και 8 = 2 4 . Τότε η πλήρης αποσύνθεση από εδώ προκύπτει ως 48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 . Ο κανονικός συμβολισμός θα έχει τη μορφή 48 = 2 4 3 .

Παράδειγμα 7

Κατά την αποσύνθεση του αριθμού 3400, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα σημάδια της διαιρετότητας. Στην περίπτωση αυτή, τα πρόσημα της διαιρετότητας με το 10 και με το 100 είναι σχετικά. Από εδώ παίρνουμε ότι 3 400 = 34 100, όπου το 100 μπορεί να διαιρεθεί με το 10, δηλαδή γράφεται ως 100 = 10 10, που σημαίνει ότι 3 400 = 34 10 10. Με βάση το πρόσημο της διαιρετότητας, παίρνουμε ότι 3400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5 . Όλοι οι παράγοντες είναι απλοί. Η κανονική επέκταση παίρνει τη μορφή 3400 = 2 3 5 2 17.

Όταν βρίσκουμε πρώτους παράγοντες, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσουμε τα πρόσημα της διαιρετότητας και τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Εάν αντιπροσωπεύετε τον αριθμό 75 ως γινόμενο παραγόντων, τότε πρέπει να λάβετε υπόψη τον κανόνα της διαιρετότητας με το 5. Παίρνουμε ότι 75 = 5 15 και 15 = 3 5 . Δηλαδή, η επιθυμητή αποσύνθεση είναι ένα παράδειγμα της μορφής του προϊόντος 75 = 5 · 3 · 5 .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Facebook

Κελάδημα

Σε επαφή με

Συμμαθητές

Google Plus