Μετά από ποιο ψηφίο στρογγυλοποιείται; Τρόπος στρογγυλοποίησης αριθμών προς τα πάνω και προς τα κάτω με τις συναρτήσεις του Excel

Πολλοί άνθρωποι αναρωτιούνται πώς να στρογγυλοποιούν τους αριθμούς. Αυτή η ανάγκη προκύπτει συχνά για άτομα που συνδέουν τη ζωή τους με τη λογιστική ή άλλες δραστηριότητες που απαιτούν υπολογισμούς. Η στρογγυλοποίηση μπορεί να γίνει σε ακέραιους αριθμούς, δέκατα και ούτω καθεξής. Και πρέπει να ξέρετε πώς να το κάνετε σωστά, ώστε οι υπολογισμοί να είναι λίγο πολύ ακριβείς.

Τι είναι ούτως ή άλλως ένας στρογγυλός αριθμός; Είναι αυτό που τελειώνει σε 0 (ως επί το πλείστον). Στην καθημερινή ζωή, η δυνατότητα στρογγυλοποίησης αριθμών διευκολύνει πολύ τα ταξίδια για ψώνια. Στο ταμείο, μπορείτε να υπολογίσετε κατά προσέγγιση το συνολικό κόστος των αγορών, να συγκρίνετε πόσο κοστίζει ένα κιλό του ίδιου προϊόντος σε συσκευασίες διαφορετικών βαρών. Με τους αριθμούς μειωμένους σε μια βολική μορφή, είναι πιο εύκολο να κάνετε νοητικούς υπολογισμούς χωρίς να καταφύγετε στη βοήθεια μιας αριθμομηχανής.

Γιατί στρογγυλοποιούνται οι αριθμοί;

Ένα άτομο τείνει να στρογγυλοποιεί οποιουσδήποτε αριθμούς σε περιπτώσεις όπου χρειάζεται να εκτελεστούν πιο απλοποιημένες λειτουργίες. Για παράδειγμα, ένα πεπόνι ζυγίζει 3.150 κιλά. Όταν ένα άτομο λέει στους φίλους του πόσα γραμμάρια έχει ένα νότιο φρούτο, μπορεί να θεωρηθεί ότι δεν είναι πολύ ενδιαφέρον συνομιλητής. Φράσεις όπως «Έτσι αγόρασα ένα πεπόνι τριών κιλών» ακούγονται πολύ πιο συνοπτικές χωρίς να εμβαθύνω σε κάθε λογής περιττές λεπτομέρειες.

Είναι ενδιαφέρον ότι ακόμη και στην επιστήμη δεν χρειάζεται να ασχολούμαστε πάντα με τους πιο ακριβείς αριθμούς. Και αν μιλάμε για περιοδικά άπειρα κλάσματα, που έχουν τη μορφή 3,33333333 ... 3, τότε αυτό γίνεται αδύνατο. Επομένως, η πιο λογική επιλογή θα ήταν απλώς να τα στρογγυλοποιήσετε. Κατά κανόνα, το αποτέλεσμα μετά από αυτό παραμορφώνεται ελαφρώς. Πώς λοιπόν στρογγυλοποιείς τους αριθμούς;

Μερικοί σημαντικοί κανόνες για τη στρογγυλοποίηση αριθμών

Επομένως, εάν θέλετε να στρογγυλοποιήσετε έναν αριθμό, είναι σημαντικό να κατανοήσετε τις βασικές αρχές της στρογγυλοποίησης; Αυτή είναι μια λειτουργία αλλαγής που στοχεύει στη μείωση του αριθμού των δεκαδικών ψηφίων. Για να εκτελέσετε αυτήν την ενέργεια, πρέπει να γνωρίζετε μερικά σημαντικούς κανόνες:

1. Εάν ο αριθμός του απαιτούμενου ψηφίου είναι στην περιοχή 5-9, πραγματοποιείται στρογγυλοποίηση προς τα πάνω.
2. Εάν ο αριθμός του επιθυμητού ψηφίου είναι μεταξύ 1-4, γίνεται στρογγυλοποίηση προς τα κάτω.

Για παράδειγμα, έχουμε τον αριθμό 59. Πρέπει να τον στρογγυλοποιήσουμε. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πάρετε τον αριθμό 9 και να προσθέσετε έναν σε αυτόν για να πάρετε το 60. Αυτή είναι η απάντηση στο ερώτημα πώς να στρογγυλοποιήσετε τους αριθμούς. Ας εξετάσουμε τώρα ειδικές περιπτώσεις. Στην πραγματικότητα, καταλάβαμε πώς να στρογγυλοποιήσουμε έναν αριθμό σε δεκάδες χρησιμοποιώντας αυτό το παράδειγμα. Τώρα μένει μόνο να εφαρμοστεί αυτή η γνώση.

Πώς να στρογγυλοποιήσετε έναν αριθμό σε ακέραιους αριθμούς

Συμβαίνει συχνά να υπάρχει ανάγκη να στρογγυλοποιηθεί, για παράδειγμα, ο αριθμός 5.9. Αυτή η διαδικασία δεν είναι δύσκολη. Πρώτα πρέπει να παραλείψουμε το κόμμα και κατά τη στρογγυλοποίηση εμφανίζεται μπροστά στα μάτια μας ο ήδη γνωστός αριθμός 60. Και τώρα βάζουμε το κόμμα στη θέση του και παίρνουμε 6.0. Και επειδή τα μηδενικά στα δεκαδικά συνήθως παραλείπονται, καταλήγουμε στον αριθμό 6.

Μια παρόμοια λειτουργία μπορεί να πραγματοποιηθεί με πιο σύνθετους αριθμούς. Για παράδειγμα, πώς στρογγυλοποιείς αριθμούς όπως το 5,49 σε ακέραιους αριθμούς; Όλα εξαρτώνται από τους στόχους που θέτετε για τον εαυτό σας. Γενικά, σύμφωνα με τους κανόνες των μαθηματικών, το 5,49 δεν είναι ακόμα 5,5. Επομένως, δεν μπορεί να στρογγυλοποιηθεί. Αλλά μπορείτε να το στρογγυλοποιήσετε στο 5,5, μετά το οποίο η στρογγυλοποίηση στο 6 γίνεται νόμιμη. Αλλά αυτό το κόλπο δεν λειτουργεί πάντα, επομένως πρέπει να είστε εξαιρετικά προσεκτικοί.

Κατ 'αρχήν, ένα παράδειγμα της σωστής στρογγυλοποίησης ενός αριθμού στα δέκατα έχει ήδη εξεταστεί παραπάνω, επομένως τώρα είναι σημαντικό να εμφανιστεί μόνο η κύρια αρχή. Στην πραγματικότητα, όλα συμβαίνουν περίπου με τον ίδιο τρόπο. Εάν το ψηφίο που βρίσκεται στη δεύτερη θέση μετά την υποδιαστολή είναι εντός 5-9, τότε γενικά αφαιρείται και το ψηφίο μπροστά του αυξάνεται κατά ένα. Εάν είναι μικρότερο από 5, τότε αυτός ο αριθμός αφαιρείται και το προηγούμενο παραμένει στη θέση του.

Για παράδειγμα, στο 4,59 έως το 4,6, ο αριθμός "9" φεύγει και ένα προστίθεται στο πέντε. Αλλά κατά τη στρογγυλοποίηση 4,41, η μονάδα παραλείπεται και οι τέσσερις παραμένουν αμετάβλητες.

Πώς χρησιμοποιούν οι έμποροι την αδυναμία του μαζικού καταναλωτή να στρογγυλοποιήσει αριθμούς;

Αποδεικνύεται ότι οι περισσότεροι άνθρωποι στον κόσμο δεν έχουν τη συνήθεια να αξιολογούν το πραγματικό κόστος ενός προϊόντος, το οποίο εκμεταλλεύονται ενεργά οι έμποροι. Όλοι γνωρίζουν συνθήματα μετοχών όπως "Αγοράστε μόνο με 9,99". Ναι, συνειδητά καταλαβαίνουμε ότι αυτό είναι ήδη, στην πραγματικότητα, δέκα δολάρια. Παρόλα αυτά, ο εγκέφαλός μας είναι διατεταγμένος με τέτοιο τρόπο ώστε να αντιλαμβάνεται μόνο το πρώτο ψηφίο. Έτσι, η απλή λειτουργία του να φέρεις τον αριθμό σε μια βολική μορφή θα πρέπει να γίνει συνήθεια.

Πολύ συχνά, η στρογγυλοποίηση επιτρέπει μια καλύτερη εκτίμηση των ενδιάμεσων επιτυχιών, που εκφράζονται σε αριθμητική μορφή. Για παράδειγμα, ένα άτομο άρχισε να κερδίζει 550 $ το μήνα. Ένας αισιόδοξος θα πει ότι αυτό είναι σχεδόν 600, ένας απαισιόδοξος - ότι είναι λίγο περισσότερο από 500. Φαίνεται ότι υπάρχει διαφορά, αλλά είναι πιο ευχάριστο για τον εγκέφαλο να "βλέπει" ότι το αντικείμενο έχει πετύχει κάτι παραπάνω ( ή αντιστρόφως).

Υπάρχουν αμέτρητα παραδείγματα όπου η ικανότητα στρογγυλοποίησης είναι απίστευτα χρήσιμη. Είναι σημαντικό να είστε δημιουργικοί και, αν είναι δυνατόν, να μην φορτώνεστε με περιττές πληροφορίες. Τότε η επιτυχία θα είναι άμεση.

Για να εξεταστεί η ιδιαιτερότητα της στρογγυλοποίησης ενός συγκεκριμένου αριθμού, είναι απαραίτητο να αναλυθούν συγκεκριμένα παραδείγματα και ορισμένες βασικές πληροφορίες.

Πώς να στρογγυλοποιήσετε τους αριθμούς στα εκατοστά

• Για να στρογγυλοποιήσετε έναν αριθμό στα εκατοστά, είναι απαραίτητο να αφήσετε δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή, τα υπόλοιπα, φυσικά, απορρίπτονται. Εάν το πρώτο ψηφίο που πρέπει να απορριφθεί είναι 0, 1, 2, 3 ή 4, τότε το προηγούμενο ψηφίο παραμένει αμετάβλητο.
• Εάν το ψηφίο που απορρίφθηκε είναι 5, 6, 7, 8 ή 9, τότε πρέπει να αυξήσετε το προηγούμενο ψηφίο κατά ένα.
• Για παράδειγμα, εάν πρέπει να στρογγυλοποιήσετε τον αριθμό 75.748, τότε μετά τη στρογγυλοποίηση παίρνουμε 75.75. Εάν έχουμε 19.912, τότε ως αποτέλεσμα στρογγυλοποίησης, ή μάλλον, ελλείψει ανάγκης χρήσης, παίρνουμε 19.91. Στην περίπτωση του 19.912, ο αριθμός μετά τα εκατοστά δεν στρογγυλοποιείται, επομένως απλώς απορρίπτεται.
• Αν μιλάμε για τον αριθμό 18.4893, τότε η στρογγυλοποίηση στα εκατοστά γίνεται ως εξής: το πρώτο ψηφίο που πρέπει να απορριφθεί είναι το 3, επομένως δεν συμβαίνει καμία αλλαγή. Βγαίνει 18.48.
• Στην περίπτωση του αριθμού 0,2254, έχουμε το πρώτο ψηφίο, το οποίο απορρίπτεται όταν στρογγυλοποιείται στα εκατοστά. Αυτό είναι ένα πέντε, το οποίο δείχνει ότι ο προηγούμενος αριθμός πρέπει να αυξηθεί κατά ένα. Δηλαδή παίρνουμε 0,23 .
• Υπάρχουν επίσης περιπτώσεις που η στρογγυλοποίηση αλλάζει όλα τα ψηφία ενός αριθμού. Για παράδειγμα, για να στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 64,9972 στα εκατοστά, βλέπουμε ότι ο αριθμός 7 στρογγυλοποιεί τους προηγούμενους. Παίρνουμε 65,00.

Πώς να στρογγυλοποιήσετε αριθμούς σε ακέραιους αριθμούς

Όταν στρογγυλοποιούμε αριθμούς σε ακέραιους, η κατάσταση είναι η ίδια. Αν έχουμε, για παράδειγμα, 25,5 , τότε μετά τη στρογγυλοποίηση παίρνουμε 26 . Στην περίπτωση επαρκούς αριθμού ψηφίων μετά την υποδιαστολή, η στρογγυλοποίηση γίνεται με αυτόν τον τρόπο: μετά τη στρογγυλοποίηση 4,371251, παίρνουμε 4 .

Η στρογγυλοποίηση στα δέκατα γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως στην περίπτωση των εκατοστών. Για παράδειγμα, αν χρειαστεί να στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 45.21618, τότε θα έχουμε 45.2. Εάν το δεύτερο ψηφίο μετά το δέκατο είναι 5 ή περισσότερο, τότε το προηγούμενο ψηφίο αυξάνεται κατά ένα. Για παράδειγμα, μπορείτε να στρογγυλοποιήσετε το 13,6734 για να πάρετε το 13,7.

Είναι σημαντικό να προσέχετε τον αριθμό που βρίσκεται μπροστά από αυτόν που έχει αποκοπεί. Για παράδειγμα, αν έχουμε τον αριθμό 1.450, τότε μετά τη στρογγυλοποίηση παίρνουμε 1.4. Ωστόσο, στην περίπτωση του 4,851, καλό είναι να στρογγυλοποιηθεί στο 4,9, αφού μετά το πέντε υπάρχει ακόμα ένα.

Οι αριθμοί στρογγυλοποιούνται επίσης σε άλλα ψηφία - δέκατα, εκατοστά, δεκάδες, εκατοντάδες κ.λπ.

Εάν ο αριθμός στρογγυλοποιηθεί σε κάποιο ψηφίο, τότε όλα τα ψηφία που ακολουθούν αυτό το ψηφίο αντικαθίστανται με μηδενικά και εάν είναι μετά την υποδιαστολή, τότε απορρίπτονται.

Κανόνας αριθμός 1. Εάν το πρώτο από τα ψηφία που απορρίπτονται είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 5, τότε το τελευταίο από τα ψηφία που διατηρούνται ενισχύεται, δηλαδή αυξάνεται κατά ένα.

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο αριθμός 45.769, ο οποίος πρέπει να στρογγυλοποιηθεί στα δέκατα. Το πρώτο ψηφίο που απορρίπτεται είναι 6 ˃ 5. Κατά συνέπεια, το τελευταίο από τα αποθηκευμένα ψηφία (7) ενισχύεται, δηλ. αυξάνεται κατά ένα. Και έτσι ο στρογγυλεμένος αριθμός θα ήταν 45,8.

Παράδειγμα 2. Δίνεται ο αριθμός 5.165, ο οποίος πρέπει να στρογγυλοποιηθεί στα εκατοστά. Το πρώτο ψηφίο που απορρίπτεται είναι 5 = 5. Επομένως, το τελευταίο από τα αποθηκευμένα ψηφία (6) ενισχύεται, δηλαδή αυξάνεται κατά ένα. Και έτσι ο στρογγυλεμένος αριθμός θα ήταν 5,17.

Κανόνας αριθμός 2. Εάν το πρώτο από τα ψηφία που απορρίπτονται είναι μικρότερο από 5, τότε δεν προκύπτει κέρδος.

Παράδειγμα: Δίνεται ο αριθμός 45.749 και πρέπει να στρογγυλοποιηθεί στα δέκατα. Το πρώτο ψηφίο που απορρίπτεται είναι το 4

Κανόνας αριθμός 3. Εάν το απορριφθέν ψηφίο είναι 5 και δεν υπάρχει μετά από αυτό παραδειγματικές φυγούρες, στη συνέχεια εκτελείται η στρογγυλοποίηση στο πλησιέστερο Ζυγός αριθμός. Δηλαδή, το τελευταίο ψηφίο παραμένει αμετάβλητο αν είναι άρτιο και αυξάνεται αν είναι περιττό.

Παράδειγμα 1: Στρογγυλοποιώντας τον αριθμό 0,0465 στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο, γράφουμε - 0,046. Δεν κάνουμε ενισχύσεις, γιατί το τελευταίο αποθηκευμένο ψηφίο (6) είναι άρτιο.

Παράδειγμα 2. Στρογγυλοποιώντας τον αριθμό 0,0415 στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο, γράφουμε - 0,042. Κάνουμε ενισχύσεις, γιατί το τελευταίο αποθηκευμένο ψηφίο (1) είναι περιττό.

Μέθοδοι

Διαφορετικά πεδία μπορεί να χρησιμοποιούν διαφορετικές μεθόδους στρογγυλοποίησης. Σε όλες αυτές τις μεθόδους, τα "επιπλέον" πρόσημα μηδενίζονται (απορρίπτονται) και το πρόσημο που προηγείται διορθώνεται σύμφωνα με κάποιον κανόνα.

• Στρογγυλοποίηση στον πλησιέστερο ακέραιο(Αγγλικά) στρογγύλεμα) - η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη στρογγυλοποίηση, στην οποία ο αριθμός στρογγυλοποιείται προς τα πάνω σε έναν ακέραιο, ο συντελεστής της διαφοράς με τον οποίο αυτός ο αριθμός έχει ένα ελάχιστο. Γενικά, όταν ένας αριθμός στο δεκαδικό σύστημα στρογγυλοποιείται στο Νο δεκαδικό ψηφίο, ο κανόνας μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:
  • αν N+1 χαρακτήρες< 5 , τότε το Νο πρόσημο διατηρείται και το Ν+1 και όλα τα επόμενα μηδενίζονται.
  • αν N+1 χαρακτήρες ≥ 5, τότε το Ν-ο πρόσημο αυξάνεται κατά ένα και το N + 1 και όλα τα επόμενα μηδενίζονται.
  Για παράδειγμα: 11,9 → 12; -0,9 → -1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.
• Modulo στρογγυλοποίησης προς τα κάτω(στρογγυλοποίηση προς το μηδέν, ακέραιος Εγκ. διόρθωση, περικοπή, ακέραιος) είναι η πιο «απλή» στρογγυλοποίηση, αφού μετά τον μηδενισμό των «έξτρα» πρόσημων διατηρείται το προηγούμενο πρόσημο. Για παράδειγμα, 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1).
• Στρογγυλοποίηση(στρογγυλοποίηση σε +∞, στρογγυλοποίηση προς τα πάνω, ελλ. οροφή) - εάν τα μηδενιζόμενα πρόσημα δεν είναι ίσα με μηδέν, το προηγούμενο πρόσημο αυξάνεται κατά ένα εάν ο αριθμός είναι θετικός ή διατηρείται εάν ο αριθμός είναι αρνητικός. Στην οικονομική ορολογία - στρογγυλοποίηση υπέρ του πωλητή, πιστωτή(του ατόμου που λαμβάνει τα χρήματα). Ειδικότερα, 2,6 → 3, −2,6 → −2.
• Στρογγυλοποίηση προς τα κάτω(στρογγυλοποίηση σε −∞, στρογγυλοποίηση προς τα κάτω, αγγλ. πάτωμα) - εάν τα μηδενικά πρόσημα δεν είναι ίσα με μηδέν, το προηγούμενο πρόσημο διατηρείται εάν ο αριθμός είναι θετικός ή αυξάνεται κατά ένα εάν ο αριθμός είναι αρνητικός. Στην οικονομική ορολογία - στρογγυλοποίηση υπέρ του αγοραστή, οφειλέτη(το άτομο που δίνει τα χρήματα). Εδώ 2,6 → 2, −2,6 → −3.
• Στρογγυλοποίηση modulo(στρογγυλή προς το άπειρο, στρογγυλοποίηση μακριά από το μηδέν) είναι μια σχετικά σπάνια χρησιμοποιούμενη μορφή στρογγυλοποίησης. Εάν οι μηδενιζόμενοι χαρακτήρες δεν είναι ίσοι με μηδέν, ο προηγούμενος χαρακτήρας αυξάνεται κατά ένα.

Στρογγυλοποίηση επιλογών 0,5 στον πλησιέστερο ακέραιο

Απαιτείται ξεχωριστή περιγραφή από τους κανόνες στρογγυλοποίησης για την ειδική περίπτωση όταν (Ν+1)ο ψηφίο = 5 και τα επόμενα ψηφία είναι μηδέν. Εάν σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, η στρογγυλοποίηση στον πλησιέστερο ακέραιο παρέχει μικρότερο σφάλμα στρογγυλοποίησης, τότε αυτή η συγκεκριμένη περίπτωση χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι για μία μόνο στρογγυλοποίηση είναι τυπικά αδιάφορο εάν είναι "πάνω" ή "κάτω" - και στις δύο περιπτώσεις, εισάγεται ένα λάθος ακριβώς 1/2 του λιγότερο σημαντικού ψηφίου . Υπάρχουν οι ακόλουθες παραλλαγές του κανόνα στρογγυλοποίησης στον πλησιέστερο ακέραιο για αυτήν την περίπτωση:

• Μαθηματική στρογγυλοποίηση- η στρογγυλοποίηση είναι πάντα προς τα πάνω (το προηγούμενο ψηφίο αυξάνεται πάντα κατά ένα).
• Στρογγυλοποίηση τράπεζας(Αγγλικά) στρογγυλοποίηση τραπεζίτη) - η στρογγυλοποίηση για αυτήν την περίπτωση γίνεται στον πλησιέστερο ζυγό αριθμό, δηλαδή 2,5 → 2, 3,5 → 4.
• Τυχαία στρογγυλοποίηση- στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή προς τα κάτω τυχαία, αλλά με ίση πιθανότητα (μπορεί να χρησιμοποιηθεί στα στατιστικά).
• Εναλλακτική στρογγυλοποίηση- Η στρογγυλοποίηση γίνεται εναλλάξ προς τα πάνω ή προς τα κάτω.

Σε όλες τις περιπτώσεις, όταν το πρόσημο (N + 1) δεν είναι ίσο με 5 ή τα επόμενα σύμβολα δεν είναι ίσα με μηδέν, η στρογγυλοποίηση γίνεται σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Η μαθηματική στρογγυλοποίηση αντιστοιχεί απλώς τυπικά στον γενικό κανόνα στρογγυλοποίησης (βλ. παραπάνω). Το μειονέκτημά του είναι ότι κατά τη στρογγυλοποίηση μεγάλου αριθμού τιμών, μπορεί να συμβεί συσσώρευση. λάθη στρογγυλοποίησης. Χαρακτηριστικό παράδειγμα: στρογγυλοποίηση χρηματικών ποσών σε ολόκληρα ρούβλια. Έτσι, εάν στο μητρώο 10.000 γραμμών υπάρχουν 100 γραμμές με ποσά που περιέχουν την αξία των 50 σε καπίκια (και αυτή είναι μια πολύ ρεαλιστική εκτίμηση), τότε όταν όλες αυτές οι γραμμές στρογγυλοποιούνται "επάνω", το άθροισμα των " σύνολο» σύμφωνα με το στρογγυλεμένο μητρώο θα είναι 50 ρούβλια περισσότερο από το ακριβές .

Οι άλλες τρεις επιλογές επινοήθηκαν απλώς για να μειωθεί το συνολικό σφάλμα του αθροίσματος κατά τη στρογγυλοποίηση μεγάλου αριθμού τιμών. Η στρογγυλοποίηση "στον πλησιέστερο ζυγό αριθμό" βασίζεται στην υπόθεση ότι όταν μεγάλοι αριθμοίστρογγυλεμένες τιμές που έχουν 0,5 στο στρογγυλεμένο υπόλοιπο, κατά μέσο όρο, το μισό θα είναι προς τα αριστερά και το μισό προς τα δεξιά του πλησιέστερου ζυγού αριθμού, επομένως τα σφάλματα στρογγυλοποίησης αλληλοεξουδετερώνονται. Αυστηρά μιλώντας, αυτή η υπόθεση ισχύει μόνο όταν το σύνολο των αριθμών που στρογγυλοποιείται έχει τις ιδιότητες μιας τυχαίας σειράς, κάτι που ισχύει συνήθως σε λογιστικές εφαρμογές όπου μιλάμε για τιμές, ποσά σε λογαριασμούς και ούτω καθεξής. Εάν παραβιαστεί η υπόθεση, τότε η στρογγυλοποίηση «στο άρτιο» μπορεί να οδηγήσει σε συστηματικά σφάλματα. Για τέτοιες περιπτώσεις, οι ακόλουθες δύο μέθοδοι λειτουργούν καλύτερα.

Οι δύο τελευταίες επιλογές στρογγυλοποίησης διασφαλίζουν ότι περίπου οι μισές από τις ειδικές τιμές στρογγυλοποιούνται προς μία κατεύθυνση και οι μισές από την άλλη. Όμως η εφαρμογή τέτοιων μεθόδων στην πράξη απαιτεί πρόσθετες προσπάθειες για την οργάνωση της υπολογιστικής διαδικασίας.

Εφαρμογές

Η στρογγυλοποίηση χρησιμοποιείται για την εργασία με αριθμούς εντός του αριθμού των ψηφίων που αντιστοιχεί στην πραγματική ακρίβεια των παραμέτρων υπολογισμού (εάν αυτές οι τιμές είναι πραγματικές τιμές που μετρώνται με τον ένα ή τον άλλο τρόπο), η ρεαλιστικά επιτεύξιμη ακρίβεια υπολογισμού ή την επιθυμητή ακρίβεια του αποτελέσματος. Στο παρελθόν, η στρογγυλοποίηση των ενδιάμεσων τιμών και του αποτελέσματος ήταν πρακτικής σημασίας (γιατί κατά τον υπολογισμό σε χαρτί ή τη χρήση πρωτόγονων συσκευών όπως ο άβακας, η λήψη πρόσθετων δεκαδικών ψηφίων μπορεί να αυξήσει σοβαρά τον όγκο της εργασίας). Τώρα παραμένει στοιχείο επιστημονικής και μηχανικής κουλτούρας. Σε λογιστικές εφαρμογές, επιπλέον, μπορεί να απαιτείται η χρήση στρογγυλοποίησης, συμπεριλαμβανομένων των ενδιάμεσων, για την προστασία από υπολογιστικά σφάλματα που σχετίζονται με την χωρητικότητα πεπερασμένων bit των υπολογιστικών συσκευών.

Χρήση στρογγυλοποίησης όταν εργάζεστε με αριθμούς περιορισμένης ακρίβειας

Τα πραγματικά φυσικά μεγέθη μετρώνται πάντα με μια ορισμένη πεπερασμένη ακρίβεια, η οποία εξαρτάται από τα όργανα και τις μεθόδους μέτρησης και υπολογίζεται από τη μέγιστη σχετική ή απόλυτη απόκλιση της άγνωστης πραγματικής τιμής από τη μετρούμενη, η οποία σε δεκαδική αναπαράσταση της τιμής αντιστοιχεί είτε σε έναν ορισμένο αριθμό σημαντικών ψηφίων ή σε μια συγκεκριμένη θέση στη σημείωση ενός αριθμού, όλοι οι αριθμοί μετά (στα δεξιά) του οποίου είναι ασήμαντοι (βρίσκονται εντός του σφάλματος μέτρησης). Οι ίδιες οι μετρούμενες παράμετροι καταγράφονται με τέτοιο αριθμό χαρακτήρων που όλα τα στοιχεία είναι αξιόπιστα, ίσως η τελευταία είναι αμφίβολη. Το σφάλμα σε μαθηματικές πράξεις με αριθμούς περιορισμένης ακρίβειας διατηρείται και αλλάζει σύμφωνα με γνωστούς μαθηματικούς νόμους, οπότε όταν εμφανίζονται ενδιάμεσες τιμές και αποτελέσματα με μεγάλο αριθμό ψηφίων σε περαιτέρω υπολογισμούς, μόνο ένα μέρος αυτών των ψηφίων είναι σημαντικό. Τα υπόλοιπα στοιχεία, καθώς υπάρχουν στις τιμές, δεν αντικατοπτρίζουν στην πραγματικότητα καμία φυσική πραγματικότητα και χρειάζονται μόνο χρόνο για υπολογισμούς. Ως αποτέλεσμα, οι ενδιάμεσες τιμές και τα αποτελέσματα σε υπολογισμούς με περιορισμένη ακρίβεια στρογγυλοποιούνται στον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων που αντικατοπτρίζει την πραγματική ακρίβεια των τιμών που λαμβάνονται. Στην πράξη, συνήθως συνιστάται η αποθήκευση ενός ακόμη ψηφίου σε ενδιάμεσες τιμές για μακροχρόνιους "αλυσωτούς" μη αυτόματους υπολογισμούς. Όταν χρησιμοποιείτε υπολογιστή, οι ενδιάμεσες στρογγυλοποιήσεις σε επιστημονικές και τεχνικές εφαρμογές συνήθως χάνουν το νόημά τους και μόνο το αποτέλεσμα στρογγυλοποιείται.

Έτσι, για παράδειγμα, εάν δίνεται δύναμη 5815 gf με ακρίβεια γραμμαρίου δύναμης και μήκος ώμου 1,4 m με ακρίβεια εκατοστού, τότε η ροπή δύναμης σε kgf σύμφωνα με τον τύπο, στην περίπτωση ενός τυπικού υπολογισμού με όλα τα πρόσημα, θα ισούται με: 5,815 kgf 1,4 m = 8,141 kgf m. Ωστόσο, αν λάβουμε υπόψη το σφάλμα μέτρησης, τότε παίρνουμε ότι το περιοριστικό σχετικό σφάλμα της πρώτης τιμής είναι 1/5815 ≈ 1,7 10 −4 , δεύτερο - 1/140 ≈ 7,1 10 −3 , το σχετικό σφάλμα του αποτελέσματος σύμφωνα με τον κανόνα σφάλματος της πράξης πολλαπλασιασμού (κατά τον πολλαπλασιασμό των κατά προσέγγιση τιμών, τα σχετικά σφάλματα αθροίζονται) θα είναι 7,3 10 −3 , που αντιστοιχεί στο μέγιστο απόλυτο σφάλμα του αποτελέσματος ±0,059 kgf m! Δηλαδή, στην πραγματικότητα, λαμβάνοντας υπόψη το σφάλμα, το αποτέλεσμα μπορεί να είναι από 8.082 έως 8.200 kgf m, επομένως, στην υπολογισμένη τιμή των 8.141 kgf m, μόνο το πρώτο ψηφίο είναι απολύτως αξιόπιστο, ακόμη και το δεύτερο είναι ήδη αμφίβολο! Θα είναι σωστό να στρογγυλοποιήσετε το αποτέλεσμα του υπολογισμού στο πρώτο αμφίβολο ψηφίο, δηλαδή στα δέκατα: 8,1 kgf m, ή, εάν είναι απαραίτητο, μια ακριβέστερη ένδειξη του περιθωρίου σφάλματος, να το παρουσιάσετε σε μορφή στρογγυλοποιημένη στο ένα ή δύο δεκαδικά ψηφία με ένδειξη του σφάλματος: 8,14 ± 0,06 kgf m.

Εμπειρικοί κανόνες αριθμητικής με στρογγυλοποίηση

Σε περιπτώσεις όπου δεν χρειάζεται να ληφθούν υπόψη με ακρίβεια υπολογιστικά σφάλματα, αλλά απαιτείται μόνο μια κατά προσέγγιση εκτίμηση του αριθμού των ακριβών αριθμών ως αποτέλεσμα του υπολογισμού με τον τύπο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το σύνολο απλούς κανόνεςστρογγυλεμένοι υπολογισμοί:

1. Όλες οι πρωτογενείς τιμές στρογγυλοποιούνται στην πραγματική ακρίβεια μέτρησης και καταγράφονται με τον κατάλληλο αριθμό σημαντικών ψηφίων, έτσι ώστε σε δεκαδικό συμβολισμό όλα τα ψηφία να είναι αξιόπιστα (επιτρέπεται το τελευταίο ψηφίο να είναι αμφίβολο). Εάν είναι απαραίτητο, οι τιμές καταγράφονται με σημαντικά μηδενικά δεξιά, έτσι ώστε ο πραγματικός αριθμός αξιόπιστων χαρακτήρων να εμφανίζεται στην εγγραφή (για παράδειγμα, εάν ένα μήκος 1 m πραγματικά μετρηθεί με ακρίβεια εκατοστού, το "1,00 m" είναι γραμμένο έτσι ώστε να μπορεί να φανεί ότι δύο χαρακτήρες είναι αξιόπιστοι στην εγγραφή μετά την υποδιαστολή) ή η ακρίβεια υποδεικνύεται ρητά (για παράδειγμα, 2500 ± 5 m - εδώ μόνο οι δεκάδες είναι αξιόπιστες και θα πρέπει να στρογγυλοποιηθούν προς τα πάνω) .
2. Οι ενδιάμεσες τιμές στρογγυλοποιούνται με ένα "εφεδρικό" ψηφίο.
3. Κατά την πρόσθεση και την αφαίρεση, το αποτέλεσμα στρογγυλοποιείται στο τελευταίο δεκαδικό ψηφίο της λιγότερο ακριβούς των παραμέτρων (για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό μιας τιμής 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m, το αποτέλεσμα στρογγυλοποιείται στα δέκατα του μέτρου, ότι είναι, στα 2,6 m). Ταυτόχρονα, συνιστάται να εκτελούνται υπολογισμοί με τέτοια σειρά ώστε να αποφεύγεται η αφαίρεση αριθμών που είναι κοντά σε μέγεθος και να γίνονται πράξεις σε αριθμούς, αν είναι δυνατόν, με αύξουσα σειρά των μονάδων τους.
4. Κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση, το αποτέλεσμα στρογγυλοποιείται προς τα πάνω ο μικρότερος αριθμόςσημαντικά ψηφία που έχουν οι παράμετροι (για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό της ταχύτητας μιας ομοιόμορφης κίνησης ενός σώματος σε απόσταση 2,5 10 2 m, για 600 s, το αποτέλεσμα πρέπει να στρογγυλοποιηθεί στα 4,2 m / s, καθώς είναι δύο ψηφία που έχουν απόσταση και χρόνος - τρία , υποθέτοντας ότι όλα τα ψηφία στην καταχώρηση είναι σημαντικά).
5. Κατά τον υπολογισμό της τιμής της συνάρτησης f(x)απαιτείται η εκτίμηση της τιμής του συντελεστή μέτρησης της παραγώγου αυτής της συνάρτησης στην περιοχή του σημείου υπολογισμού. Αν ένα (|f"(x)| ≤ 1), τότε το αποτέλεσμα της συνάρτησης είναι ακριβώς στο ίδιο δεκαδικό ψηφίο με το όρισμα. Διαφορετικά, το αποτέλεσμα περιέχει λιγότερα ακριβή δεκαδικά ψηφία κατά την ποσότητα ημερολόγιο 10 (|f"(x)|), στρογγυλεμένο στον πλησιέστερο ακέραιο.

Παρά τη μη αυστηρότητα, οι παραπάνω κανόνες λειτουργούν αρκετά καλά στην πράξη, ιδίως λόγω της μάλλον μεγάλης πιθανότητας αμοιβαίας ακύρωσης των σφαλμάτων, η οποία συνήθως δεν λαμβάνεται υπόψη όταν λαμβάνονται με ακρίβεια υπόψη τα σφάλματα.

Λάθη

Αρκετά συχνά υπάρχουν καταχρήσεις μη στρογγυλών αριθμών. Για παράδειγμα:

• Καταγράψτε τους αριθμούς που έχουν χαμηλή ακρίβεια, σε μη στρογγυλεμένη μορφή. Στα στατιστικά: αν 4 άτομα από τα 17 απάντησαν «ναι», τότε γράφουν «23,5%» (ενώ το «24%» είναι σωστό).
• Οι χρήστες του δείκτη μερικές φορές σκέφτονται ως εξής: "ο δείκτης σταμάτησε μεταξύ 5,5 και 6 πιο κοντά στο 6, ας είναι 5,8" - αυτό απαγορεύεται επίσης (η διαβάθμιση της συσκευής συνήθως αντιστοιχεί στην πραγματική της ακρίβεια). Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να πείτε "5,5" ή "6".

δείτε επίσης

• Επεξεργασία Παρατήρησης
• Σφάλματα στρογγυλοποίησης

Σημειώσεις

Βιβλιογραφία

• Henry S. Warren, Jr. κεφάλαιο 3// Αλγοριθμικά κόλπα για προγραμματιστές = Hacker's Delight. - M .: Williams, 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4

Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να στρογγυλοποιήσετε έναν αριθμό στον πλησιέστερο ακέραιο αριθμό επειδή δεν σας ενδιαφέρουν τα δεκαδικά ή θέλετε να εκφράσετε έναν αριθμό ως δύναμη του 10 για να διευκολύνετε την προσέγγιση. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι στρογγυλοποίησης αριθμών.

Αλλαγή του αριθμού των δεκαδικών ψηφίων χωρίς αλλαγή της τιμής

Στο φύλλο

Σε ενσωματωμένη μορφή αριθμού

Στρογγυλοποίηση

Στρογγυλοποίηση ενός αριθμού στην πλησιέστερη τιμή

Στρογγυλοποίηση ενός αριθμού στην πλησιέστερη κλασματική τιμή

Στρογγυλοποίηση ενός αριθμού στον καθορισμένο αριθμό σημαντικών ψηφίων

Τα σημαντικά ψηφία είναι ψηφία που επηρεάζουν την ακρίβεια ενός αριθμού.

Τα παραδείγματα σε αυτήν την ενότητα χρησιμοποιούν τις συναρτήσεις ΓΥΡΟΣ, ΜΑΝΔΡΙΣΜΑ ΖΩΩΝκαι ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΚΑΤΩ. Δείχνουν τρόπους στρογγυλοποίησης θετικών, αρνητικών, ακέραιων και κλασματικών αριθμών, αλλά τα παραδείγματα που δίνονται καλύπτουν μόνο ένα μικρό μέρος των πιθανών καταστάσεων.

Η ακόλουθη λίστα περιέχει γενικούς κανόνες που πρέπει να λαμβάνονται υπόψη κατά τη στρογγυλοποίηση αριθμών στον καθορισμένο αριθμό σημαντικών ψηφίων. Μπορείτε να πειραματιστείτε με τις συναρτήσεις στρογγυλοποίησης και να τις αντικαταστήσετε ιδιοτιμέςκαι παραμέτρους για να λάβετε έναν αριθμό με τον επιθυμητό αριθμό σημαντικών ψηφίων.

Στρογγυλεμένο αρνητικούς αριθμούςμετατρέπονται πρώτα σε απόλυτες τιμές (τιμές χωρίς πρόσημο μείον). Μετά τη στρογγυλοποίηση, εφαρμόζεται ξανά το σύμβολο μείον. Αν και μπορεί να φαίνεται αντιφατικό, έτσι λειτουργεί η στρογγυλοποίηση. Για παράδειγμα, όταν χρησιμοποιείτε τη συνάρτηση ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΚΑΤΩσε στρογγυλοποίηση -889 σε δύο σημαντικά ψηφία, το αποτέλεσμα είναι -880. Πρώτον, το -889 μετατρέπεται σε απόλυτη τιμή (889). Αυτή η τιμή στρογγυλοποιείται στη συνέχεια σε δύο σημαντικά ψηφία (880). Στη συνέχεια εφαρμόζεται ξανά το σύμβολο μείον, με αποτέλεσμα -880.

Όταν εφαρμόζεται σε θετικό αριθμό, η συνάρτηση ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΚΑΤΩστρογγυλοποιείται πάντα προς τα κάτω και κατά την εφαρμογή της συνάρτησης ΜΑΝΔΡΙΣΜΑ ΖΩΩΝ- πάνω.

Λειτουργία ΓΥΡΟΣστρογγυλοποιεί τους κλασματικούς αριθμούς ως εξής: εάν το κλασματικό μέρος είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0,5, ο αριθμός στρογγυλοποιείται προς τα πάνω. Εάν το κλασματικό μέρος είναι μικρότερο από 0,5, ο αριθμός στρογγυλοποιείται προς τα κάτω.

Λειτουργία ΓΥΡΟΣστρογγυλοποιεί ακέραιους αριθμούς προς τα πάνω ή προς τα κάτω με τον ίδιο τρόπο, χρησιμοποιώντας 5 αντί για 0,5.

Γενικά, όταν στρογγυλεύετε έναν αριθμό χωρίς κλασματικό μέρος (ακέραιο), πρέπει να αφαιρέσετε το μήκος του αριθμού από τον επιθυμητό αριθμό σημαντικών ψηφίων. Για παράδειγμα, για να στρογγυλοποιήσετε το 2345678 σε 3 σημαντικά ψηφία, χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΚΑΤΩμε επιλογή -4: = ROUNDDOWN(2345678,-4). Αυτό στρογγυλοποιεί τον αριθμό στο 2340000, όπου το τμήμα "234" είναι σημαντικά ψηφία.

Στρογγυλοποίηση ενός αριθμού σε ένα δεδομένο πολλαπλάσιο

Μερικές φορές μπορεί να θέλετε να στρογγυλοποιήσετε μια τιμή σε ένα πολλαπλάσιο ενός δεδομένου αριθμού. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι μια εταιρεία αποστέλλει αγαθά σε κουτιά των 18 μονάδων. Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ROUND, μπορείτε να προσδιορίσετε πόσα κουτιά θα χρειαστούν για την παράδοση 204 αντικειμένων. Σε αυτήν την περίπτωση, η απάντηση είναι 12 γιατί το 204 όταν διαιρείται με το 18 είναι 11.333, το οποίο πρέπει να στρογγυλοποιηθεί προς τα πάνω. Θα υπάρχουν μόνο 6 αντικείμενα στο 12ο κουτί.

Μπορεί επίσης να χρειαστεί να στρογγυλοποιήσετε μια αρνητική τιμή σε πολλαπλάσιο μιας αρνητικής τιμής ή μια κλασματική τιμή σε πολλαπλάσιο μιας κλασματικής τιμής. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τη λειτουργία για αυτό ΓΥΡΟΣ.