Αποσύνθεση μεγάλου αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες στο διαδίκτυο

Σε αυτό το άρθρο θα βρείτε όλες τις απαραίτητες πληροφορίες που απαντούν στην ερώτηση, πώς να αποσυνθέσετε έναν αριθμό πρωταρχικούς παράγοντες . Πρώτον, δίνεται μια γενική ιδέα της αποσύνθεσης ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες, δίνονται παραδείγματα επεκτάσεων. Η κανονική μορφή της παραγοντοποίησης ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες φαίνεται στη συνέχεια. Μετά από αυτό, δίνεται ένας αλγόριθμος για την αποσύνθεση αυθαίρετων αριθμών σε πρώτους παράγοντες και δίνονται παραδείγματα αποσύνθεσης αριθμών χρησιμοποιώντας αυτόν τον αλγόριθμο. Εξετάζονται επίσης εναλλακτικές μέθοδοι που σας επιτρέπουν να αποσυνθέσετε γρήγορα μικρούς ακέραιους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες χρησιμοποιώντας κριτήρια διαιρετότητας και τον πίνακα πολλαπλασιασμού.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τι σημαίνει να συνυπολογίζουμε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες;

Αρχικά, ας δούμε ποιοι είναι οι κύριοι παράγοντες.

Είναι σαφές ότι εφόσον η λέξη «παράγοντες» υπάρχει σε αυτή τη φράση, τότε λαμβάνει χώρα το γινόμενο ορισμένων αριθμών και η διευκρινιστική λέξη «πρώτος» σημαίνει ότι κάθε παράγοντας είναι ένας πρώτος αριθμός. Για παράδειγμα, σε ένα γινόμενο της μορφής 2 7 7 23 υπάρχουν τέσσερις πρώτοι παράγοντες: 2 , 7 , 7 και 23 .

Τι σημαίνει να συνυπολογίζουμε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες;

Αυτό σημαίνει ότι ο δεδομένος αριθμός πρέπει να παριστάνεται ως γινόμενο πρώτων παραγόντων και η τιμή αυτού του γινόμενου πρέπει να είναι ίση με τον αρχικό αριθμό. Για παράδειγμα, θεωρήστε το γινόμενο τριών πρώτων αριθμών 2 , 3 και 5 , είναι ίσο με 30 , άρα η παραγοντοποίηση του αριθμού 30 σε πρώτους παράγοντες είναι 2 3 5 . Συνήθως, η αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες γράφεται ως ισότητα, στο παράδειγμά μας θα είναι έτσι: 30=2 3 5 . Ξεχωριστά, τονίζουμε ότι οι κύριοι παράγοντες στην επέκταση μπορούν να επαναληφθούν. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα από το ακόλουθο παράδειγμα: 144=2 2 2 2 3 3 . Όμως η αναπαράσταση της μορφής 45=3 15 δεν είναι αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες, αφού ο αριθμός 15 είναι σύνθετος.

Τίθεται το εξής ερώτημα: «Και ποιοι αριθμοί μπορούν να αναλυθούν σε πρώτους παράγοντες»;

Αναζητώντας μια απάντηση σε αυτό, παρουσιάζουμε το ακόλουθο σκεπτικό. Οι πρώτοι αριθμοί, εξ ορισμού, είναι μεταξύ αυτών που είναι μεγαλύτεροι του ενός. Δεδομένου αυτού του γεγονότος και , μπορεί να υποστηριχθεί ότι το γινόμενο πολλών πρώτων παραγόντων είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από ένα. Επομένως, η παραγοντοποίηση γίνεται μόνο για θετικούς ακέραιους που είναι μεγαλύτεροι από 1.

Αλλά όλοι οι ακέραιοι που είναι μεγαλύτεροι από έναν παράγοντα σε πρώτους παράγοντες;

Είναι σαφές ότι δεν υπάρχει τρόπος να αποσυντεθούν απλοί ακέραιοι αριθμοί σε πρώτους παράγοντες. Αυτό συμβαίνει επειδή οι πρώτοι αριθμοί έχουν μόνο δύο θετικούς διαιρέτες, τον έναν και τον εαυτό τους, επομένως δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως γινόμενο δύο ή περισσότερων πρώτων αριθμών. Εάν ένας ακέραιος z μπορούσε να αναπαρασταθεί ως γινόμενο των πρώτων αριθμών a και b, τότε η έννοια της διαιρετότητας θα μας επέτρεπε να συμπεράνουμε ότι το z διαιρείται τόσο με το a όσο και με το b, κάτι που είναι αδύνατο λόγω της απλότητας του αριθμού z. Ωστόσο, πιστεύεται ότι οποιοσδήποτε πρώτος αριθμός είναι ο ίδιος η αποσύνθεσή του.

Τι γίνεται με τους σύνθετους αριθμούς; Μήπως ξεδιπλώνονται σύνθετους αριθμούςσε πρώτους παράγοντες και όλοι οι σύνθετοι αριθμοί υπόκεινται σε τέτοια αποσύνθεση; Μια καταφατική απάντηση σε μια σειρά από αυτά τα ερωτήματα δίνεται από το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής. Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής δηλώνει ότι κάθε ακέραιος αριθμός a που είναι μεγαλύτερος από 1 μπορεί να αποσυντεθεί στο γινόμενο των πρώτων παραγόντων p 1 , p 2 , ..., p n , ενώ η επέκταση έχει τη μορφή a=p 1 p 2 .. . p n , και αυτή η αποσύνθεση είναι μοναδική, αν δεν λάβουμε υπόψη τη σειρά των παραγόντων

Κανονική αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες

Στην επέκταση ενός αριθμού, οι πρώτοι παράγοντες μπορούν να επαναληφθούν. Οι επαναλαμβανόμενοι πρώτοι παράγοντες μπορούν να γραφτούν πιο συμπαγή χρησιμοποιώντας . Έστω ότι ο πρώτος παράγοντας p 1 εμφανίζεται s 1 φορές στην αποσύνθεση του αριθμού a, ο πρώτος παράγοντας p 2 - s 2 φορές, και ούτω καθεξής, p n - s n φορές. Τότε η παραγοντοποίηση του πρώτου αριθμού a μπορεί να γραφτεί ως a=p 1 s 1 p 2 s 2 p n s n. Αυτή η μορφή γραφής είναι η λεγόμενη κανονική παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα της κανονικής αποσύνθεσης ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Ενημερώστε μας την αποσύνθεση 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, η κανονική του μορφή είναι 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Η κανονική αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες σας επιτρέπει να βρείτε όλους τους διαιρέτες του αριθμού και τον αριθμό των διαιρετών του αριθμού.

Αλγόριθμος για την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες

Για να αντιμετωπίσετε με επιτυχία το έργο της αποσύνθεσης ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες, πρέπει να είστε πολύ καλοί στις πληροφορίες του άρθρου απλοί και σύνθετοι αριθμοί.

Η ουσία της διαδικασίας επέκτασης ενός θετικού ακέραιου και μεγαλύτερου από έναν αριθμό α είναι ξεκάθαρη από την απόδειξη του κύριου θεωρήματος της αριθμητικής. Το θέμα είναι να βρείτε διαδοχικά τους μικρότερους πρώτους διαιρέτες p 1 , p 2 , ..., p n αριθμούς a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , που σας επιτρέπει να πάρετε μια σειρά από ισότητες a=p 1 a 1 , όπου a 1 = a:p 1 , a=p 1 a 1 =p 1 p 2 a 2 , όπου a 2 =a 1:p 2 , …, a = p 1 p 2 …p n a n , όπου a n =a n -1:p n . Όταν προκύπτει a n =1, τότε η ισότητα a=p 1 ·p 2 ·…·p n θα μας δώσει την απαιτούμενη αποσύνθεση του αριθμού a σε πρώτους παράγοντες. Εδώ πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Απομένει να ασχοληθούμε με την εύρεση των μικρότερων πρώτων διαιρετών σε κάθε βήμα και θα έχουμε έναν αλγόριθμο για την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Ο πίνακας των πρώτων αριθμών θα μας βοηθήσει να βρούμε πρώτους διαιρέτες. Ας δείξουμε πώς να το χρησιμοποιήσετε για να πάρετε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη του αριθμού z .

Παίρνουμε διαδοχικά τους πρώτους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων αριθμών (2 , 3 , 5 , 7 , 11 κ.ο.κ.) και διαιρούμε τον δεδομένο αριθμό z με αυτούς. Ο πρώτος πρώτος αριθμός με τον οποίο το z διαιρείται ομοιόμορφα είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του. Εάν ο αριθμός z είναι πρώτος, τότε ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του θα είναι ο ίδιος ο αριθμός z. Θα πρέπει επίσης να υπενθυμίσουμε εδώ ότι εάν το z δεν είναι πρώτος αριθμός, τότε ο ελάχιστος πρώτος διαιρέτης του δεν υπερβαίνει τον αριθμό , όπου - από z . Έτσι, εάν μεταξύ των πρώτων αριθμών που δεν υπερβαίνουν το , δεν υπήρχε ούτε ένας διαιρέτης του αριθμού z, τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο z είναι πρώτος αριθμός (περισσότερα για αυτό γράφονται στο τμήμα θεωρίας κάτω από την επικεφαλίδα αυτός ο αριθμός είναι πρώτος ή σύνθετος ).

Για παράδειγμα, ας δείξουμε πώς να βρείτε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη του αριθμού 87. Παίρνουμε τον αριθμό 2. Διαιρέστε το 87 με το 2, παίρνουμε 87:2=43 (υπόλοιπο 1) (αν χρειάζεται, δείτε το άρθρο). Δηλαδή, όταν διαιρούμε το 87 με το 2, το υπόλοιπο είναι 1, άρα το 2 δεν είναι διαιρέτης του αριθμού 87. Παίρνουμε τον επόμενο πρώτο αριθμό από τον πίνακα των πρώτων αριθμών, αυτός είναι ο αριθμός 3 . Διαιρούμε το 87 με το 3, παίρνουμε 87:3=29. Άρα το 87 διαιρείται ομοιόμορφα με το 3, άρα το 3 είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του 87.

Σημειώστε ότι στη γενική περίπτωση, για να παραγοντοποιήσουμε τον αριθμό a, χρειαζόμαστε έναν πίνακα πρώτων αριθμών μέχρι έναν αριθμό όχι μικρότερο από . Θα πρέπει να αναφερόμαστε σε αυτόν τον πίνακα σε κάθε βήμα, επομένως πρέπει να τον έχουμε στη διάθεσή μας. Για παράδειγμα, για να παραγοντοποιήσουμε τον αριθμό 95, θα χρειαστούμε έναν πίνακα με πρώτους αριθμούς μέχρι το 10 (καθώς το 10 είναι μεγαλύτερο από ). Και για να αποσυνθέσετε τον αριθμό 846 653, θα χρειαστείτε ήδη έναν πίνακα με πρώτους αριθμούς μέχρι το 1.000 (καθώς το 1.000 είναι μεγαλύτερο από).

Τώρα έχουμε αρκετές πληροφορίες για να γράψουμε αλγόριθμος για την παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Ο αλγόριθμος για την επέκταση του αριθμού a έχει ως εξής:

• Ταξινομώντας διαδοχικά τους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων αριθμών, βρίσκουμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p 1 του αριθμού a, μετά τον οποίο υπολογίζουμε το 1 =a:p 1 . Αν a 1 =1, τότε ο αριθμός a είναι πρώτος και είναι ο ίδιος η αποσύνθεσή του σε πρώτους παράγοντες. Αν a 1 είναι ίσο με 1, τότε έχουμε a=p 1 ·a 1 και πηγαίνουμε στο επόμενο βήμα.
• Βρίσκουμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p 2 του αριθμού a 1 , για αυτό ταξινομούμε διαδοχικά τους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων αριθμών, ξεκινώντας από το p 1 , μετά τον οποίο υπολογίζουμε το 2 =a 1:p 2 . Αν a 2 =1, τότε η επιθυμητή αποσύνθεση του αριθμού a σε πρώτους παράγοντες έχει τη μορφή a=p 1 ·p 2 . Αν το a 2 είναι ίσο με 1, τότε έχουμε a=p 1 ·p 2 ·a 2 και πηγαίνουμε στο επόμενο βήμα.
• Διατρέχοντας τους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων, ξεκινώντας από το p 2 , βρίσκουμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p 3 του αριθμού a 2 , μετά τον οποίο υπολογίζουμε a 3 =a 2:p 3 . Αν a 3 =1, τότε η επιθυμητή αποσύνθεση του αριθμού a σε πρώτους παράγοντες έχει τη μορφή a=p 1 ·p 2 ·p 3 . Αν ένα 3 είναι ίσο με 1, τότε έχουμε a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 και πηγαίνουμε στο επόμενο βήμα.
• Βρείτε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p n του αριθμού a n-1 ταξινομώντας τους πρώτους, ξεκινώντας από p n-1 , καθώς και a n =a n-1:p n , και a n είναι ίσο με 1 . Αυτό το βήμα είναι το τελευταίο βήμα του αλγορίθμου, εδώ λαμβάνουμε την απαιτούμενη αποσύνθεση του αριθμού a σε πρώτους παράγοντες: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .

Όλα τα αποτελέσματα που λαμβάνονται σε κάθε βήμα του αλγορίθμου για την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες παρουσιάζονται για λόγους σαφήνειας με τη μορφή του παρακάτω πίνακα, στον οποίο οι αριθμοί a, a 1, a 2, ..., a n γράφονται διαδοχικά σε στα αριστερά της κάθετης ράβδου και στα δεξιά της ράβδου - οι αντίστοιχοι μικρότεροι πρώτοι διαιρέτες p 1 , p 2 , …, p n .

Απομένει μόνο να εξετάσουμε μερικά παραδείγματα εφαρμογής του ληφθέντος αλγορίθμου για την αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Πρωταρχικά παραδείγματα παραγοντοποίησης

Τώρα θα αναλύσουμε λεπτομερώς κύρια παραδείγματα παραγοντοποίησης. Κατά την αποσύνθεση, θα εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο από την προηγούμενη παράγραφο. Ας ξεκινήσουμε με απλές περιπτώσεις και ας τις περιπλέκουμε σταδιακά για να αντιμετωπίσουμε όλες τις πιθανές αποχρώσεις που προκύπτουν κατά την αποσύνθεση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Παράδειγμα.

Παράγοντας τον αριθμό 78 σε πρώτους παράγοντες.

Λύση.

Ξεκινάμε την αναζήτηση για τον πρώτο μικρότερο πρώτο διαιρέτη p 1 του αριθμού a=78 . Για να γίνει αυτό, αρχίζουμε να ταξινομούμε διαδοχικά τους πρώτους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων αριθμών. Παίρνουμε τον αριθμό 2 και διαιρούμε με αυτόν 78, παίρνουμε 78:2=39. Ο αριθμός 78 διαιρέθηκε με το 2 χωρίς υπόλοιπο, οπότε το p 1 \u003d 2 είναι ο πρώτος που βρέθηκε πρώτος διαιρέτης του αριθμού 78. Σε αυτή την περίπτωση a 1 =a:p 1 =78:2=39 . Φτάνουμε λοιπόν στην ισότητα a=p 1 ·a 1 που έχει τη μορφή 78=2·39 . Προφανώς, το 1 =39 είναι διαφορετικό από το 1, οπότε πηγαίνουμε στο δεύτερο βήμα του αλγορίθμου.

Τώρα αναζητούμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p 2 του αριθμού a 1 =39 . Ξεκινάμε την απαρίθμηση των αριθμών από τον πίνακα των πρώτων, ξεκινώντας με p 1 =2 . Διαιρούμε το 39 με το 2, παίρνουμε 39:2=19 (υπόλοιπο 1). Εφόσον το 39 δεν διαιρείται ομοιόμορφα με το 2, το 2 δεν είναι ο διαιρέτης του. Στη συνέχεια παίρνουμε τον επόμενο αριθμό από τον πίνακα των πρώτων αριθμών (τον αριθμό 3) και διαιρούμε με αυτόν 39, παίρνουμε 39:3=13. Επομένως, ο p 2 \u003d 3 είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του αριθμού 39, ενώ ο 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 39: 3=13. Έχουμε την ισότητα a=p 1 p 2 a 2 με τη μορφή 78=2 3 13 . Εφόσον το 2 =13 είναι διαφορετικό από το 1, πηγαίνουμε στο επόμενο βήμα του αλγορίθμου.

Εδώ πρέπει να βρούμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη του αριθμού a 2 =13. Αναζητώντας τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p 3 του αριθμού 13, θα ταξινομήσουμε διαδοχικά τους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων αριθμών, ξεκινώντας με p 2 =3 . Ο αριθμός 13 δεν διαιρείται με το 3, αφού 13:3=4 (υπόλοιπο 1), επίσης το 13 δεν διαιρείται με το 5, το 7 και το 11, αφού 13:5=2 (υπόλοιπο 3), 13:7=1 (απ. 6) και 13:11=1 (απ. 2) . Ο επόμενος πρώτος αριθμός είναι το 13 και το 13 διαιρείται με αυτόν χωρίς υπόλοιπο, επομένως, ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης p 3 του αριθμού 13 είναι ο ίδιος ο αριθμός 13 και a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . Εφόσον είναι 3 =1, τότε αυτό το βήμα του αλγορίθμου είναι το τελευταίο και η επιθυμητή αποσύνθεση του αριθμού 78 σε πρώτους παράγοντες έχει τη μορφή 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ) .

Απάντηση:

78=2 3 13 .

Παράδειγμα.

Να εκφράσετε τον αριθμό 83.006 ως γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Λύση.

Στο πρώτο βήμα του αλγορίθμου για την παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες, βρίσκουμε p 1 =2 και a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , από όπου 83 006=2 41 503 .

Στο δεύτερο βήμα, διαπιστώνουμε ότι το 2 , το 3 και το 5 δεν είναι πρώτοι διαιρέτες του αριθμού a 1 =41 503 , και ο αριθμός 7 είναι, αφού 41 503: 7=5 929 . Έχουμε p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . Έτσι, 83 006=2 7 5 929 .

Ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης ενός 2 =5 929 είναι το 7, αφού 5 929:7=847. Έτσι, p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847, από όπου 83 006=2 7 7 847 .

Περαιτέρω βρίσκουμε ότι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης p 4 του αριθμού a 3 =847 είναι ίσος με 7 . Τότε a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , άρα 83 006=2 7 7 7 121 .

Τώρα βρίσκουμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη του αριθμού a 4 =121, είναι ο αριθμός p 5 =11 (αφού το 121 διαιρείται με το 11 και δεν διαιρείται με το 7). Τότε a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 , και 83 006=2 7 7 7 11 11 .

Τέλος, ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης ενός 5 =11 είναι p 6 =11 . Τότε a 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . Εφόσον είναι 6 =1, τότε αυτό το βήμα του αλγορίθμου για την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες είναι το τελευταίο και η επιθυμητή αποσύνθεση έχει τη μορφή 83 006=2·7·7·7·11·11.

Το αποτέλεσμα που προκύπτει μπορεί να γραφτεί ως κανονική αποσύνθεση του αριθμού σε πρώτους παράγοντες 83 006=2·7 3 ·11 2 .

Απάντηση:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2Το 991 είναι πρώτος αριθμός. Πράγματι, δεν έχει πρώτο διαιρέτη που να μην υπερβαίνει το ( μπορεί να εκτιμηθεί χονδρικά ως , αφού είναι προφανές ότι το 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Απάντηση:

897 924 289=937 967 991 .

Χρησιμοποιώντας Δοκιμές Διαιρετότητας για Πρωταρχική Παραγοντοποίηση

Σε απλές περιπτώσεις, μπορείτε να αποσυνθέσετε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες χωρίς να χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμο αποσύνθεσης από την πρώτη παράγραφο αυτού του άρθρου. Αν οι αριθμοί δεν είναι μεγάλοι, τότε για να τους αποσυνθέσουμε σε πρώτους παράγοντες, αρκεί συχνά να γνωρίζουμε τα σημάδια της διαιρετότητας. Δίνουμε παραδείγματα για διευκρίνιση.

Για παράδειγμα, πρέπει να αποσυνθέσουμε τον αριθμό 10 σε πρώτους παράγοντες. Γνωρίζουμε από τον πίνακα πολλαπλασιασμού ότι το 2 5=10 , και οι αριθμοί 2 και 5 είναι προφανώς πρώτοι, οπότε η παραγοντοποίηση του πρώτου του 10 είναι 10=2 5 .

Ενα άλλο παράδειγμα. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα πολλαπλασιασμού, αποσυνθέτουμε τον αριθμό 48 σε πρώτους παράγοντες. Γνωρίζουμε ότι έξι οκτώ είναι σαράντα οκτώ, δηλαδή 48=6 8. Ωστόσο, ούτε το 6 ούτε το 8 είναι πρώτοι αριθμοί. Ξέρουμε όμως ότι δύο φορές τρία είναι έξι, και δύο φορές τέσσερα είναι οκτώ, δηλαδή 6=2 3 και 8=2 4 . Τότε 48=6 8=2 3 2 4 . Μένει να θυμόμαστε ότι δύο φορές το δύο είναι τέσσερα, τότε παίρνουμε την επιθυμητή αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες 48=2 3 2 2 2 . Ας γράψουμε αυτή την αποσύνθεση στην κανονική μορφή: 48=2 4 ·3 .

Αλλά κατά την αποσύνθεση του αριθμού 3400 σε πρώτους παράγοντες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα σημάδια της διαιρετότητας. Τα πρόσημα της διαιρετότητας με το 10, 100 μας επιτρέπουν να δηλώσουμε ότι το 3400 διαιρείται με το 100, ενώ το 3400=34 100 και το 100 διαιρείται με το 10, ενώ το 100=10 10, επομένως, 3400=34 10 10. Και με βάση το πρόσημο της διαιρετότητας με το 2, μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι καθένας από τους παράγοντες 34, 10 και 10 διαιρείται με το 2, παίρνουμε 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Όλοι οι παράγοντες στην επέκταση που προκύπτει είναι απλοί, επομένως αυτή η επέκταση είναι η επιθυμητή. Απομένει μόνο να αναδιατάξουμε τους συντελεστές έτσι ώστε να πηγαίνουν σε αύξουσα σειρά: 3 400=2 2 2 5 5 17 . Καταγράφουμε επίσης την κανονική αποσύνθεση αυτού του αριθμού σε πρώτους παράγοντες: 3 400=2 3 5 2 17 .

Κατά την αποσύνθεση ενός δεδομένου αριθμού σε πρώτους παράγοντες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε με τη σειρά και τα πρόσημα της διαιρετότητας και τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Ας αναπαραστήσουμε τον αριθμό 75 ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Το πρόσημο της διαιρετότητας με το 5 μας επιτρέπει να ισχυριστούμε ότι το 75 διαιρείται με το 5, ενώ παίρνουμε ότι 75=5 15. Και από τον πίνακα πολλαπλασιασμού γνωρίζουμε ότι 15=3 5 , άρα, 75=5 3 5 . Αυτή είναι η επιθυμητή αποσύνθεση του αριθμού 75 σε πρώτους παράγοντες.

Βιβλιογραφία.

• Vilenkin N.Ya. κλπ. Μαθηματικά. 6η τάξη: εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Vinogradov I.M. Βασικές αρχές της θεωρίας αριθμών.
• Mikhelovich Sh.Kh. Θεωρία αριθμών.
• Kulikov L.Ya. και άλλα.Συλλογή προβλημάτων στην άλγεβρα και τη θεωρία αριθμών: Σχολικό βιβλίο για μαθητές του φιζ.-ματ. ειδικοτήτων παιδαγωγικών ιδρυμάτων.

Αυτή η ηλεκτρονική αριθμομηχανή αποσυνθέτει τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες απαριθμώντας πρώτους διαιρέτες. Εάν ο αριθμός είναι μεγάλος, χρησιμοποιήστε ένα διαχωριστικό ψηφίων για ευκολία στην παρουσίαση.

Το αποτέλεσμα έχει ήδη ληφθεί!

Παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες - Θεωρία, αλγόριθμος, παραδείγματα και λύσεις

Ένας από τους απλούστερους τρόπους παραγοντοποίησης ενός αριθμού είναι να ελέγξετε αν ο δεδομένος αριθμός διαιρείται με το 2, το 3, το 5,... κ.λπ. δηλ. ελέγξτε αν ένας αριθμός διαιρείται με μια σειρά πρώτων αριθμών. Εάν αριθμός nδεν διαιρείται με κανένα πρώτο αριθμό μέχρι το , τότε αυτός ο αριθμός είναι πρώτος, γιατί αν ο αριθμός είναι σύνθετος, τότε έχει τουλάχιστον δύο παράγοντες, και οι δύο δεν μπορούν να είναι μεγαλύτεροι από .

Ας φανταστούμε τον αλγόριθμο αποσύνθεσης αριθμών nσε πρωταρχικούς παράγοντες. Ετοιμάστε εκ των προτέρων έναν πίνακα με πρώτους αριθμούς μικρό=. Δηλώστε μια σειρά πρώτων αριθμών μέχρι Π 1 , Π 2 , Π 3 , ...

Αλγόριθμος για την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους διαιρέτες:

Παράδειγμα 1. Διασπάστε τον αριθμό 153 σε πρώτους παράγοντες.

Λύση. Αρκεί να έχουμε έναν πίνακα πρώτων αριθμών μέχρι , δηλ. 2, 3, 5, 7, 11.

Διαιρέστε το 153 με το 2. Το 153 δεν διαιρείται με το 2 χωρίς υπόλοιπο. Στη συνέχεια, διαιρούμε το 153 με το επόμενο στοιχείο του πίνακα των πρώτων αριθμών, δηλ. κατά 3. 153:3=51. Γέμισε το τραπέζι:

Στη συνέχεια, ελέγχουμε αν ο αριθμός 17 διαιρείται με το 3. Ο αριθμός 17 δεν διαιρείται με το 3. Δεν διαιρείται ούτε με τους αριθμούς 5, 7, 11. Ο επόμενος διαιρέτης είναι μεγαλύτερος . Επομένως, το 17 είναι ένας πρώτος αριθμός που διαιρείται μόνο με τον εαυτό του: 17:17=1. Η διαδικασία έχει διακοπεί. γέμισε το τραπέζι:

Επιλέγουμε εκείνους τους διαιρέτες στους οποίους χωρίστηκαν οι αριθμοί 153, 51, 17 χωρίς υπόλοιπο, δηλ. όλους τους αριθμούς στη δεξιά πλευρά του πίνακα. Αυτοί είναι οι διαιρέτες 3, 3, 17. Τώρα ο αριθμός 153 μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών: 153=3 3 17.

Παράδειγμα 2. Διασπάστε τον αριθμό 137 σε πρώτους παράγοντες.

Λύση. Υπολογίζω . Πρέπει λοιπόν να ελέγξουμε τη διαιρετότητα του αριθμού 137 με πρώτους αριθμούς μέχρι το 11: 2,3,5,7,11. Διαιρώντας εναλλακτικά τον αριθμό 137 με αυτούς τους αριθμούς, διαπιστώνουμε ότι ο αριθμός 137 δεν διαιρείται με κανέναν από τους αριθμούς 2,3,5,7,11. Επομένως το 137 είναι πρώτος αριθμός.

Αυτό το άρθρο δίνει απαντήσεις στην ερώτηση σχετικά με την παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε φύλλα. Εξετάστε μια γενική ιδέα της αποσύνθεσης με παραδείγματα. Ας αναλύσουμε την κανονική μορφή της αποσύνθεσης και τον αλγόριθμό της. Όλες οι εναλλακτικές μέθοδοι θα εξεταστούν χρησιμοποιώντας τα σημάδια διαιρετότητας και τον πίνακα πολλαπλασιασμού.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Τι σημαίνει να συνυπολογίζουμε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες;

Ας ρίξουμε μια ματιά στην έννοια των πρώτων παραγόντων. Είναι γνωστό ότι κάθε πρώτος παράγοντας είναι πρώτος αριθμός. Σε ένα γινόμενο της μορφής 2 7 7 23 έχουμε ότι έχουμε 4 πρώτους παράγοντες στη μορφή 2 , 7 , 7 , 23 .

Το Factoring περιλαμβάνει την αναπαράστασή του ως προϊόντα πρώτων. Εάν πρέπει να αποσυνθέσετε τον αριθμό 30, τότε παίρνουμε 2, 3, 5. Η καταχώρηση θα έχει τη μορφή 30 = 2 3 5 . Είναι πιθανό ότι οι πολλαπλασιαστές μπορούν να επαναληφθούν. Ένας αριθμός όπως το 144 έχει 144 = 2 2 2 2 3 3 .

Δεν είναι όλοι οι αριθμοί επιρρεπείς σε αποσύνθεση. Αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από 1 και είναι ακέραιοι μπορούν να συνυπολογιστούν. Οι πρώτοι αριθμοί διαιρούνται μόνο με το 1 και τους εαυτούς τους όταν αποσυντίθενται, επομένως είναι αδύνατο να αναπαρασταθούν αυτοί οι αριθμοί ως γινόμενο.

Όταν το z αναφέρεται σε ακέραιους αριθμούς, αναπαρίσταται ως γινόμενο των a και b, όπου το z διαιρείται με τα a και b. Οι σύνθετοι αριθμοί διασπώνται σε πρώτους παράγοντες χρησιμοποιώντας το βασικό θεώρημα της αριθμητικής. Αν ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από 1, τότε η παραγοντοποίησή του p 1 , p 2 , … , p n παίρνει τη μορφή a = p 1 , p 2 , … , p n . Η αποσύνθεση υποτίθεται σε μία μόνο παραλλαγή.

Κανονική αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες

Οι παράγοντες μπορούν να επαναληφθούν κατά την αποσύνθεση. Είναι γραμμένα συμπαγή χρησιμοποιώντας πτυχίο. Αν, κατά την αποσύνθεση του αριθμού a, έχουμε έναν παράγοντα p 1 , ο οποίος εμφανίζεται s 1 φορές και ούτω καθεξής p n - s n φορές. Έτσι, η αποσύνθεση παίρνει τη μορφή a=p 1 s 1 a = p 1 s 1 p 2 s 2 … p n s n. Αυτό το λήμμα ονομάζεται κανονική αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες.

Κατά την αποσύνθεση του αριθμού 609840, παίρνουμε ότι 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11 , η κανονική του μορφή θα είναι 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 . Χρησιμοποιώντας την κανονική επέκταση, μπορείτε να βρείτε όλους τους διαιρέτες ενός αριθμού και τον αριθμό τους.

Για να παραγοντοποιήσετε σωστά, πρέπει να κατανοήσετε τους πρώτους και τους σύνθετους αριθμούς. Το θέμα είναι να λάβουμε έναν διαδοχικό αριθμό διαιρετών της μορφής p 1 , p 2 , ... , p n αριθμοί a , a 1 , a 2 , ... , a n - 1, αυτό καθιστά δυνατή την απόκτηση a = p 1 a 1, όπου a 1 \u003d a: p 1, a \u003d p 1 a 1 \u003d p 1 p 2 a 2, όπου a 2 \u003d a 1: p 2, ..., a \u003d p 1 p 2 . .. ... p n a n , όπου a n = a n - 1: p n. Κατά την παραλαβή a n = 1, μετά η ισότητα a = p 1 p 2 … p nλαμβάνουμε την απαιτούμενη αποσύνθεση του αριθμού α σε πρώτους παράγοντες. σημειώσε ότι p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Για να βρείτε τους λιγότερους κοινούς διαιρέτες, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα πρώτων αριθμών. Αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας το παράδειγμα εύρεσης του μικρότερου πρώτου διαιρέτη του αριθμού z. Όταν παίρνουμε πρώτους αριθμούς 2, 3, 5, 11 και ούτω καθεξής, και διαιρούμε τον αριθμό z με αυτούς. Επειδή το z δεν είναι πρώτος αριθμός, να έχετε κατά νου ότι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης δεν θα είναι μεγαλύτερος από το z. Μπορεί να φανεί ότι δεν υπάρχουν διαιρέτες του z , τότε είναι σαφές ότι το z είναι πρώτος αριθμός.

Παράδειγμα 1

Εξετάστε το παράδειγμα του αριθμού 87. Όταν διαιρεθεί με το 2, έχουμε το 87: 2 \u003d 43 με υπόλοιπο 1. Από αυτό προκύπτει ότι το 2 δεν μπορεί να είναι διαιρέτης, η διαίρεση πρέπει να γίνει εξ ολοκλήρου. Όταν διαιρεθεί με το 3, παίρνουμε ότι 87: 3 = 29. Εξ ου και το συμπέρασμα - το 3 είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του αριθμού 87.

Κατά την αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιείται πίνακας πρώτων αριθμών, όπου α. Κατά την αποσύνθεση του 95, θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν περίπου 10 πρώτοι, και κατά την αποσύνθεση του 846653, περίπου 1000.

Εξετάστε τον πρώτο αλγόριθμο παραγοντοποίησης:

• βρίσκοντας τον μικρότερο παράγοντα με διαιρέτη p 1 ενός αριθμού έναμε τον τύπο a 1 \u003d a: p 1, όταν a 1 \u003d 1, τότε το a είναι πρώτος αριθμός και περιλαμβάνεται στην παραγοντοποίηση, όταν δεν ισούται με 1, τότε a \u003d p 1 a 1 και ακολουθήστε το παρακάτω σημείο.
• βρίσκοντας τον πρώτο διαιρέτη p 2 του 1 με διαδοχική απαρίθμηση πρώτων αριθμών, χρησιμοποιώντας a 2 = a 1: p 2 , όταν a 2 = 1 , τότε η επέκταση παίρνει τη μορφή a = p 1 p 2 , όταν a 2 \u003d 1, τότε a \u003d p 1 p 2 a 2 , και κάνουμε τη μετάβαση στο επόμενο βήμα.
• επανάληψη πάνω από πρώτους αριθμούς και εύρεση πρώτου διαιρέτη σελ 3αριθμοί Α2σύμφωνα με τον τύπο a 3 \u003d a 2: p 3 όταν ένα 3 \u003d 1 , τότε παίρνουμε ότι a = p 1 p 2 p 3 , όταν δεν είναι ίσο με 1 τότε a = p 1 p 2 p 3 a 3 και προχωρήστε στο επόμενο βήμα.
• βρείτε πρώτο διαιρέτη p nαριθμοί α ν - 1με απαρίθμηση πρώτων αριθμών με p n - 1, καθώς a n = a n - 1: p n, όπου a n = 1 , το βήμα είναι τελικό, ως αποτέλεσμα παίρνουμε ότι a = p 1 p 2 ... p n .

Το αποτέλεσμα του αλγορίθμου γράφεται με τη μορφή πίνακα με αποσυντεθειμένους παράγοντες με κάθετη ράβδο διαδοχικά σε μια στήλη. Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Ο αλγόριθμος που προκύπτει μπορεί να εφαρμοστεί με την αποσύνθεση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Κατά την παραγοντοποίηση σε πρώτους παράγοντες, θα πρέπει να ακολουθείται ο βασικός αλγόριθμος.

Παράδειγμα 2

Διασπάστε τον αριθμό 78 σε πρώτους παράγοντες.

Λύση

Για να βρεθεί ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης, είναι απαραίτητο να απαριθμήσουμε όλους τους πρώτους αριθμούς του 78 . Δηλαδή, 78: 2 = 39. Διαίρεση χωρίς υπόλοιπο, άρα αυτός είναι ο πρώτος πρώτος διαιρέτης, τον οποίο συμβολίζουμε ως p 1. Παίρνουμε ότι a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Καταλήξαμε σε μια ισότητα της μορφής a = p 1 a 1 , όπου 78 = 2 39 . Τότε a 1 = 39, δηλαδή, θα πρέπει να πάτε στο επόμενο βήμα.

Ας επικεντρωθούμε στην εύρεση ενός πρώτου διαιρέτη p2αριθμοί a 1 = 39. Θα πρέπει να ταξινομήσετε τους πρώτους αριθμούς, δηλαδή 39: 2 = 19 (υπόλοιπο 1). Εφόσον η διαίρεση έχει υπόλοιπο, το 2 δεν είναι διαιρέτης. Όταν επιλέγουμε τον αριθμό 3, παίρνουμε ότι 39: 3 = 13. Αυτό σημαίνει ότι ο p 2 = 3 είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του 39 με ένα 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 . Λαμβάνουμε μια ισότητα της μορφής a = p 1 p 2 a 2με τη μορφή 78 = 2 3 13 . Έχουμε ότι το 2 = 13 δεν είναι ίσο με 1, τότε θα πρέπει να προχωρήσουμε.

Ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του αριθμού a 2 = 13 βρίσκεται με απαρίθμηση αριθμών, ξεκινώντας από το 3. Παίρνουμε ότι 13: 3 = 4 (υπόλοιπο 1). Αυτό δείχνει ότι το 13 δεν διαιρείται με το 5, το 7, το 11, επειδή 13: 5 = 2 (υπόλοιπο 3), 13: 7 = 1 (υπόλοιπο 6) και 13: 11 = 1 (υπόλοιπο 2). Μπορεί να φανεί ότι το 13 είναι πρώτος αριθμός. Ο τύπος μοιάζει με αυτό: a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 13: 13 \u003d 1. Πήραμε ότι a 3 = 1, που σημαίνει το τέλος του αλγορίθμου. Τώρα οι συντελεστές γράφονται ως 78 = 2 3 13 (a = p 1 p 2 p 3) .

Απάντηση: 78 = 2 3 13 .

Παράδειγμα 3

Διασπάστε τον αριθμό 83.006 σε πρώτους παράγοντες.

Λύση

Το πρώτο βήμα περιλαμβάνει την παραγοντοποίηση p 1 = 2και a 1 \u003d a: p 1 \u003d 83 006: 2 \u003d 41 503, όπου 83 006 = 2 41 503 .

Το δεύτερο βήμα προϋποθέτει ότι το 2 , το 3 και το 5 δεν είναι πρώτοι διαιρέτες για ένα 1 = 41503 αλλά το 7 είναι πρώτος διαιρέτης επειδή 41503: 7 = 5929 . Παίρνουμε ότι p 2 \u003d 7, a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 41 503: 7 \u003d 5 929. Προφανώς, 83 006 = 2 7 5 929 .

Η εύρεση του μικρότερου πρώτου διαιρέτη p 4 στον αριθμό a 3 = 847 είναι 7 . Μπορεί να φανεί ότι ένα 4 \u003d a 3: p 4 \u003d 847: 7 \u003d 121, επομένως 83 006 \u003d 2 7 7 7 121.

Για να βρούμε τον πρώτο διαιρέτη του αριθμού a 4 = 121, χρησιμοποιούμε τον αριθμό 11, δηλαδή p 5 = 11. Τότε παίρνουμε μια έκφραση της φόρμας a 5 \u003d a 4: p 5 \u003d 121: 11 \u003d 11, και 83 006 = 2 7 7 7 11 11 .

Για τον αριθμό a 5 = 11αριθμός p6 = 11είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης. Ως εκ τούτου, ένα 6 \u003d a 5: p 6 \u003d 11: 11 \u003d 1. Τότε a 6 = 1 . Αυτό υποδηλώνει το τέλος του αλγορίθμου. Οι πολλαπλασιαστές θα γραφτούν ως 83006 = 2 7 7 7 11 11 .

Ο κανονικός συμβολισμός της απάντησης θα έχει τη μορφή 83 006 = 2 7 3 11 2 .

Απάντηση: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 .

Παράδειγμα 4

Παραγοντοποιήστε τον αριθμό 897 924 289.

Λύση

Για να βρείτε τον πρώτο πρώτο παράγοντα, επαναλάβετε τους πρώτους αριθμούς, ξεκινώντας από το 2. Το τέλος της απαρίθμησης πέφτει στον αριθμό 937 . Τότε p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 και 897 924 289 = 937 958 297.

Το δεύτερο βήμα του αλγορίθμου είναι η απαρίθμηση μικρότερων πρώτων. Δηλαδή ξεκινάμε με τον αριθμό 937. Ο αριθμός 967 μπορεί να θεωρηθεί πρώτος, επειδή είναι πρώτος διαιρέτης του αριθμού a 1 = 958 297. Από εδώ παίρνουμε ότι p 2 \u003d 967, μετά a 2 \u003d a 1: p 1 \u003d 958 297: 967 \u003d 991 και 897 924 289 \u003d 937 967 991.

Το τρίτο βήμα λέει ότι το 991 είναι πρώτος αριθμός, αφού δεν έχει πρώτο διαιρέτη μικρότερο ή ίσο του 991. Η κατά προσέγγιση τιμή της έκφρασης ρίζας είναι 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Από αυτό μπορεί να φανεί ότι p 3 \u003d 991 και a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 991: 991 \u003d 1. Παίρνουμε ότι η αποσύνθεση του αριθμού 897 924 289 σε πρώτους παράγοντες προκύπτει ως 897 924 289 \u003d 937 967 991.

Απάντηση: 897 924 289 = 937 967 991 .

Χρησιμοποιώντας Δοκιμές Διαιρετότητας για Πρωταρχική Παραγοντοποίηση

Για να αποσυνθέσετε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες, πρέπει να ακολουθήσετε τον αλγόριθμο. Όταν υπάρχουν μικροί αριθμοί, επιτρέπεται η χρήση του πίνακα πολλαπλασιασμού και των σημάτων διαιρετότητας. Ας το δούμε αυτό με παραδείγματα.

Παράδειγμα 5

Εάν είναι απαραίτητο να παραγοντοποιήσετε το 10, τότε ο πίνακας δείχνει: 2 5 \u003d 10. Οι αριθμοί 2 και 5 που προκύπτουν είναι πρώτοι, επομένως είναι πρώτοι παράγοντες για τον αριθμό 10.

Παράδειγμα 6

Εάν είναι απαραίτητο να αποσυντεθεί ο αριθμός 48, τότε ο πίνακας δείχνει: 48 \u003d 6 8. Αλλά οι 6 και 8 δεν είναι πρώτοι παράγοντες, αφού μπορούν επίσης να αποσυντεθούν ως 6 = 2 3 και 8 = 2 4 . Τότε η πλήρης αποσύνθεση από εδώ προκύπτει ως 48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 . Ο κανονικός συμβολισμός θα έχει τη μορφή 48 = 2 4 3 .

Παράδειγμα 7

Κατά την αποσύνθεση του αριθμού 3400, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα σημάδια της διαιρετότητας. Στην περίπτωση αυτή, τα πρόσημα της διαιρετότητας με το 10 και με το 100 είναι σχετικά. Από εδώ παίρνουμε ότι το 3400 \u003d 34 100, όπου το 100 μπορεί να διαιρεθεί με το 10, δηλαδή γράφεται ως 100 \u003d 10 10, που σημαίνει ότι 3400 \u003d 34 10 10. Με βάση το πρόσημο της διαιρετότητας, παίρνουμε ότι 3400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5 . Όλοι οι παράγοντες είναι απλοί. Η κανονική επέκταση παίρνει τη μορφή 3400 = 2 3 5 2 17.

Όταν βρίσκουμε πρώτους παράγοντες, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσουμε τα πρόσημα της διαιρετότητας και τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Εάν αντιπροσωπεύετε τον αριθμό 75 ως γινόμενο παραγόντων, τότε πρέπει να λάβετε υπόψη τον κανόνα της διαιρετότητας με το 5. Παίρνουμε ότι 75 = 5 15 και 15 = 3 5 . Δηλαδή, η επιθυμητή αποσύνθεση είναι ένα παράδειγμα της μορφής του προϊόντος 75 = 5 · 3 · 5 .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Η παραγοντοποίηση ενός μεγάλου αριθμού δεν είναι εύκολη υπόθεση.Οι περισσότεροι άνθρωποι δυσκολεύονται να αποσυνθέσουν τετραψήφιους ή πενταψήφιους αριθμούς. Για να απλοποιήσετε τη διαδικασία, γράψτε τον αριθμό πάνω από τις δύο στήλες.

• Ας παραγοντοποιήσουμε τον αριθμό 6552.

Κάθε φυσικός αριθμός εκτός από έναν έχει δύο ή περισσότερους διαιρέτες. Για παράδειγμα, ο αριθμός 7 διαιρείται μόνο με το 1 και το 7 χωρίς υπόλοιπο, δηλαδή έχει δύο διαιρέτες. Και ο αριθμός 8 έχει διαιρέτες 1, 2, 4, 8, δηλαδή όσο 4 διαιρέτες ταυτόχρονα.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ πρώτων και σύνθετων αριθμών

Οι αριθμοί που έχουν περισσότερους από δύο παράγοντες ονομάζονται σύνθετοι αριθμοί. Οι αριθμοί που έχουν μόνο δύο διαιρέτες, τον έναν και τον ίδιο τον αριθμό, ονομάζονται πρώτοι αριθμοί.

Ο αριθμός 1 έχει μόνο μία διαίρεση, δηλαδή τον ίδιο τον αριθμό. Η μονάδα δεν ισχύει για πρώτους ή σύνθετους αριθμούς.

• Για παράδειγμα, ο αριθμός 7 είναι πρώτος και ο αριθμός 8 είναι σύνθετος.

Οι 10 πρώτοι πρώτοι: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Ο αριθμός 2 είναι ο μόνος άρτιος πρώτος αριθμός, όλοι οι άλλοι πρώτοι αριθμοί είναι περιττοί.

Ο αριθμός 78 είναι σύνθετος, γιατί εκτός από το 1 και τον εαυτό του, διαιρείται και με το 2. Όταν διαιρεθεί με το 2, παίρνουμε 39. Δηλαδή, 78 = 2 * 39. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ο αριθμός λέγεται ότι συνυπολογίστηκε με το 2 και το 39.

Οποιοσδήποτε σύνθετος αριθμός μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο παράγοντες, καθένας από τους οποίους είναι μεγαλύτερος από 1. Με έναν πρώτο αριθμό, ένα τέτοιο κόλπο δεν θα λειτουργήσει. Ετσι πάει.

Αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες

Όπως σημειώθηκε παραπάνω, οποιοσδήποτε σύνθετος αριθμός μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο παράγοντες. Πάρτε, για παράδειγμα, τον αριθμό 210. Αυτός ο αριθμός μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο παράγοντες 21 και 10. Αλλά οι αριθμοί 21 και 10 είναι επίσης σύνθετοι, ας τους αποσυνθέσουμε σε δύο παράγοντες. Παίρνουμε 10 = 2*5, 21=3*7. Και ως αποτέλεσμα, ο αριθμός 210 έχει ήδη αποσυντεθεί σε 4 παράγοντες: 2,3,5,7. Αυτοί οι αριθμοί είναι ήδη πρώτοι και δεν μπορούν να αποσυντεθούν. Δηλαδή, αποσυνθέσαμε τον αριθμό 210 σε πρώτους παράγοντες.

Κατά την αποσύνθεση των σύνθετων αριθμών σε πρώτους παράγοντες, συνήθως γράφονται με αύξουσα σειρά.

Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι οποιοσδήποτε σύνθετος αριθμός μπορεί να αποσυντεθεί σε πρώτους παράγοντες και επιπλέον με μοναδικό τρόπο, μέχρι μια μετάθεση.

• Συνήθως, κατά την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες, χρησιμοποιούνται τα σημάδια της διαιρετότητας.

Ας αποσυνθέσουμε τον αριθμό 378 σε πρώτους παράγοντες

Θα γράψουμε αριθμούς, χωρίζοντάς τους με μια κάθετη μπάρα. Ο αριθμός 378 διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 8. Κατά τη διαίρεση, παίρνουμε τον αριθμό 189. Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού 189 διαιρείται με το 3, που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός 189 διαιρείται με το 3. Όπως ως αποτέλεσμα, παίρνουμε 63.

Ο αριθμός 63 διαιρείται επίσης με το 3, με βάση τη διαιρετότητα. Παίρνουμε 21, ο αριθμός 21 μπορεί και πάλι να διαιρεθεί με το 3, παίρνουμε 7. Το επτά διαιρείται μόνο από μόνο του, παίρνουμε ένα. Αυτό ολοκληρώνει τη διαίρεση. Δεξιά μετά τη γραμμή, πήραμε πρώτους παράγοντες στους οποίους αποσυντίθεται ο αριθμός 378.

378|2
189|3
63|3
21|3