Όπου εμφανίζεται ο αριθμός 2. Διδακτική ύλη στα μαθηματικά
Και κατά τον υπολογισμό των τιμών των εκφράσεων, οι ενέργειες εκτελούνται με μια συγκεκριμένη σειρά, με άλλα λόγια, πρέπει να παρατηρήσετε σειρά ενεργειών.
Σε αυτό το άρθρο, θα καταλάβουμε ποιες ενέργειες πρέπει να εκτελεστούν πρώτα και ποιες μετά από αυτές. Ας ξεκινήσουμε με τις απλούστερες περιπτώσεις, όταν η παράσταση περιέχει μόνο αριθμούς ή μεταβλητές που συνδέονται με συν, πλην, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Στη συνέχεια, θα εξηγήσουμε ποια σειρά εκτέλεσης των ενεργειών πρέπει να ακολουθείται σε εκφράσεις με αγκύλες. Τέλος, εξετάστε τη σειρά με την οποία εκτελούνται ενέργειες σε εκφράσεις που περιέχουν δυνάμεις, ρίζες και άλλες συναρτήσεις.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Πρώτα πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση
Το σχολείο παρέχει τα ακόλουθα ένας κανόνας που καθορίζει τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες σε εκφράσεις χωρίς παρένθεση:
- οι ενέργειες εκτελούνται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά,
- όπου γίνεται πρώτα ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση και μετά η πρόσθεση και η αφαίρεση.
Ο αναφερόμενος κανόνας γίνεται αντιληπτός αρκετά φυσιολογικά. Η εκτέλεση ενεργειών με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά εξηγείται από το γεγονός ότι συνηθίζεται να κρατάμε αρχεία από αριστερά προς τα δεξιά. Και το γεγονός ότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση εκτελούνται πριν από την πρόσθεση και την αφαίρεση εξηγείται από το νόημα που φέρουν αυτές οι ενέργειες από μόνες τους.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα εφαρμογής αυτού του κανόνα. Για παράδειγμα, θα πάρουμε τις απλούστερες αριθμητικές εκφράσεις, ώστε να μην μας αποσπούν οι υπολογισμοί, αλλά να επικεντρωθούμε στη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες.
Παράδειγμα.
Ακολουθήστε τα βήματα 7−3+6.
Λύση.
Η αρχική έκφραση δεν περιέχει παρενθέσεις, ούτε πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Επομένως, θα πρέπει να εκτελέσουμε όλες τις ενέργειες με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, δηλαδή, πρώτα αφαιρούμε 3 από το 7, παίρνουμε 4, μετά από το οποίο προσθέτουμε 6 στη διαφορά που προκύπτει 4, παίρνουμε 10.
Συνοπτικά, η λύση μπορεί να γραφτεί ως εξής: 7−3+6=4+6=10 .
Απάντηση:
7−3+6=10 .
Παράδειγμα.
Υποδείξτε τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες στην έκφραση 6:2·8:3.
Λύση.
Για να απαντήσουμε στην ερώτηση του προβλήματος, ας στραφούμε στον κανόνα που υποδεικνύει τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες σε εκφράσεις χωρίς αγκύλες. Η αρχική έκφραση περιέχει μόνο τις πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης και σύμφωνα με τον κανόνα, πρέπει να εκτελούνται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά.
Απάντηση:
Πρώτα 6 διαιρούμενο με 2, αυτό το πηλίκο πολλαπλασιάζεται με 8, τελικά, το αποτέλεσμα διαιρείται με 3.
Παράδειγμα.
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 17−5·6:3−2+4:2 .
Λύση.
Αρχικά, προσδιορίζουμε με ποια σειρά πρέπει να εκτελούνται οι ενέργειες στην αρχική έκφραση. Περιλαμβάνει και πολλαπλασιασμό και διαίρεση και πρόσθεση και αφαίρεση. Πρώτα, από αριστερά προς τα δεξιά, πρέπει να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Έτσι πολλαπλασιάζουμε το 5 με το 6, παίρνουμε 30, διαιρούμε αυτόν τον αριθμό με το 3, παίρνουμε 10. Τώρα διαιρούμε το 4 με το 2, παίρνουμε 2. Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε 10 αντί για 5 6:3 στην αρχική έκφραση και την τιμή 2 αντί για 4:2, έχουμε 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.
Δεν υπάρχει πολλαπλασιασμός και διαίρεση στην παράσταση που προκύπτει, επομένως μένει να εκτελέσουμε τις υπόλοιπες ενέργειες με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Απάντηση:
17−5 6:3−2+4:2=7 .
Αρχικά, για να μην συγχέεται η σειρά εκτέλεσης των ενεργειών κατά τον υπολογισμό της τιμής μιας έκφρασης, είναι βολικό να τοποθετούνται οι αριθμοί πάνω από τα σημάδια των ενεργειών που αντιστοιχούν στη σειρά με την οποία εκτελούνται. Για το προηγούμενο παράδειγμα, θα μοιάζει με αυτό: .
Η ίδια σειρά πράξεων - πρώτα πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση - πρέπει να ακολουθείται κατά την εργασία με κυριολεκτικές εκφράσεις.
Βήματα 1 και 2
Σε ορισμένα εγχειρίδια μαθηματικών υπάρχει μια διαίρεση αριθμητικές πράξειςγια το πρώτο και το δεύτερο βήμα. Ας ασχοληθούμε με αυτό.
Ορισμός.
Δράσεις πρώτου βήματοςλέγονται πρόσθεση και αφαίρεση και πολλαπλασιασμός και διαίρεση ενέργειες δεύτερου βήματος.
Με αυτούς τους όρους, ο κανόνας της προηγούμενης παραγράφου, ο οποίος καθορίζει τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες, θα γραφτεί ως εξής: εάν η έκφραση δεν περιέχει αγκύλες, τότε με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, οι ενέργειες του δεύτερου σταδίου ( ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση) εκτελούνται πρώτα και μετά οι ενέργειες του πρώτου σταδίου (πρόσθεση και αφαίρεση).
Σειρά εκτέλεσης αριθμητικών πράξεων σε εκφράσεις με αγκύλες
Οι εκφράσεις συχνά περιέχουν παρενθέσεις που υποδεικνύουν τη σειρά με την οποία πρέπει να εκτελεστούν οι ενέργειες. Σε αυτήν την περίπτωση ένας κανόνας που καθορίζει τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες σε εκφράσεις με αγκύλες, διατυπώνεται ως εξής: πρώτα εκτελούνται οι ενέργειες σε αγκύλες, ενώ ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση γίνονται επίσης με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, μετά πρόσθεση και αφαίρεση.
Έτσι, οι εκφράσεις σε αγκύλες θεωρούνται ως συστατικά της αρχικής έκφρασης και διατηρείται σε αυτές η σειρά των ενεργειών που είναι ήδη γνωστές σε εμάς. Εξετάστε τις λύσεις των παραδειγμάτων για μεγαλύτερη σαφήνεια.
Παράδειγμα.
Εκτελέστε τα δοσμένα βήματα 5+(7−2 3) (6−4):2 .
Λύση.
Η έκφραση περιέχει αγκύλες, οπότε ας εκτελέσουμε πρώτα τις πράξεις στις εκφράσεις που περικλείονται σε αυτές τις αγκύλες. Ας ξεκινήσουμε με την έκφραση 7−2 3 . Σε αυτό, πρέπει πρώτα να εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό, και μόνο μετά την αφαίρεση, έχουμε 7−2 3=7−6=1 . Περνάμε στη δεύτερη παράσταση στις αγκύλες 6−4 . Υπάρχει μόνο μία ενέργεια εδώ - αφαίρεση, την εκτελούμε 6−4=2 .
Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στην αρχική έκφραση: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2. Στην παράσταση που προκύπτει, πρώτα εκτελούμε πολλαπλασιασμό και διαίρεση από αριστερά προς τα δεξιά, μετά αφαίρεση, παίρνουμε 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 . Σε αυτό, ολοκληρώθηκαν όλες οι ενέργειες, τηρήσαμε την ακόλουθη σειρά εκτέλεσής τους: 5+(7−2 3) (6−4):2 .
Ας γράψουμε μια σύντομη λύση: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.
Απάντηση:
5+(7−2 3)(6−4):2=6 .
Συμβαίνει μια έκφραση να περιέχει αγκύλες μέσα σε αγκύλες. Δεν πρέπει να φοβάστε αυτό, απλά πρέπει να εφαρμόζετε με συνέπεια τον εκφρασμένο κανόνα για την εκτέλεση ενεργειών σε εκφράσεις με αγκύλες. Ας δείξουμε ένα παράδειγμα λύσης.
Παράδειγμα.
Εκτελέστε τις ενέργειες στην παράσταση 4+(3+1+4·(2+3)) .
Λύση.
Αυτή είναι μια έκφραση με αγκύλες, που σημαίνει ότι η εκτέλεση των ενεργειών πρέπει να ξεκινά με την έκφραση σε αγκύλες, δηλαδή με 3+1+4 (2+3) . Αυτή η έκφραση περιέχει επίσης παρενθέσεις, επομένως πρέπει πρώτα να εκτελέσετε ενέργειες σε αυτές. Ας κάνουμε αυτό: 2+3=5 . Αντικαθιστώντας την τιμή που βρέθηκε, παίρνουμε 3+1+4 5 . Σε αυτήν την παράσταση, κάνουμε πρώτα πολλαπλασιασμό, μετά πρόσθεση, έχουμε 3+1+4 5=3+1+20=24 . Η αρχική τιμή, αφού αντικαταστήσει αυτήν την τιμή, παίρνει τη μορφή 4+24 , και μένει μόνο να ολοκληρωθούν οι ενέργειες: 4+24=28 .
Απάντηση:
4+(3+1+4 (2+3))=28 .
Γενικά, όταν υπάρχουν παρενθέσεις εντός παρενθέσεων σε μια έκφραση, είναι συχνά βολικό να ξεκινήσετε με τις εσωτερικές παρενθέσεις και να προχωρήσετε προς τις εξωτερικές.
Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι πρέπει να εκτελέσουμε πράξεις στην παράσταση (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Αρχικά, εκτελούμε ενέργειες σε εσωτερικές αγκύλες, αφού 4−6:2=4−3=1 , μετά από αυτό η αρχική παράσταση θα πάρει τη μορφή (4+(4+1)−1)−1. Και πάλι, εκτελούμε την ενέργεια στις εσωτερικές αγκύλες, αφού 4+1=5 , τότε φτάνουμε στην παρακάτω παράσταση (4+5−1)−1 . Και πάλι, εκτελούμε τις ενέργειες σε αγκύλες: 4+5−1=8 , ενώ φτάνουμε στη διαφορά 8−1 , που είναι ίση με 7 .
Θα δούμε τρία παραδείγματα σε αυτό το άρθρο:
1. Παραδείγματα με αγκύλες (πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης)
2. Παραδείγματα με αγκύλες (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση)
3. Παραδείγματα με πολλές ενέργειες
1 Παραδείγματα με αγκύλες (πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης)
Ας δούμε τρία παραδείγματα. Σε καθένα από αυτά, η διαδικασία υποδεικνύεται με κόκκινους αριθμούς:
Βλέπουμε ότι η σειρά των ενεργειών σε κάθε παράδειγμα θα είναι διαφορετική, αν και οι αριθμοί και τα σημάδια είναι τα ίδια. Αυτό συμβαίνει γιατί το δεύτερο και το τρίτο παράδειγμα έχουν παρενθέσεις.
*Αυτός ο κανόνας είναι για παραδείγματα χωρίς πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Κανόνες για παραδείγματα με αγκύλες, συμπεριλαμβανομένων των πράξεων πολλαπλασιασμού και διαίρεσης, θα εξετάσουμε στο δεύτερο μέρος αυτού του άρθρου.
Για να μην μπερδευτείτε στο παράδειγμα με αγκύλες, μπορείτε να το μετατρέψετε σε κανονικό παράδειγμα, χωρίς αγκύλες. Για να γίνει αυτό, γράφουμε το αποτέλεσμα που λήφθηκε σε αγκύλες πάνω από τις αγκύλες, μετά ξαναγράφουμε ολόκληρο το παράδειγμα, γράφοντας αυτό το αποτέλεσμα αντί για αγκύλες και, στη συνέχεια, εκτελούμε όλες τις ενέργειες με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά:
Σε απλά παραδείγματα, όλες αυτές οι λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν στο μυαλό. Το κύριο πράγμα είναι να εκτελέσετε πρώτα τη δράση σε αγκύλες και να θυμάστε το αποτέλεσμα και στη συνέχεια να μετρήσετε με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά.
Και τώρα - εκπαιδευτές!
1) Παραδείγματα με αγκύλες έως 20. Online προσομοιωτής.
2) Παραδείγματα με αγκύλες έως 100. Online προσομοιωτής.
3) Παραδείγματα με αγκύλες. Προπονητής #2
4) Εισαγάγετε τον αριθμό που λείπει - παραδείγματα με αγκύλες. Συσκευή εκπαίδευσης
2 Παραδείγματα με αγκύλες (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση)
Εξετάστε τώρα παραδείγματα στα οποία, εκτός από την πρόσθεση και την αφαίρεση, υπάρχει πολλαπλασιασμός και διαίρεση.
Ας δούμε πρώτα παραδείγματα χωρίς παρένθεση:
Υπάρχει ένα κόλπο, πώς να μην μπερδεύεστε όταν λύνετε παραδείγματα σχετικά με τη σειρά των ενεργειών. Εάν δεν υπάρχουν αγκύλες, τότε εκτελούμε τις πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης, τότε ξαναγράφουμε το παράδειγμα, σημειώνοντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν αντί για αυτές τις ενέργειες. Στη συνέχεια κάνουμε πρόσθεση και αφαίρεση με τη σειρά:
Εάν το παράδειγμα περιέχει αγκύλες, τότε πρώτα πρέπει να απαλλαγείτε από τις αγκύλες: ξαναγράψτε το παράδειγμα, γράφοντας το αποτέλεσμα που προέκυψε σε αυτές αντί για αγκύλες. Στη συνέχεια, πρέπει να επισημάνετε νοερά τα μέρη του παραδείγματος, που χωρίζονται με τα σημάδια "+" και "-" και να μετρήσετε κάθε μέρος ξεχωριστά. Στη συνέχεια, κάντε πρόσθεση και αφαίρεση με τη σειρά:
3 Παραδείγματα με πολλή δράση
Εάν υπάρχουν πολλές ενέργειες στο παράδειγμα, τότε θα είναι πιο βολικό να μην τακτοποιήσετε τη σειρά των ενεργειών σε ολόκληρο το παράδειγμα, αλλά να επιλέξετε μπλοκ και να λύσετε κάθε μπλοκ ξεχωριστά. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τα ελεύθερα σημάδια "+" και "-" (ελεύθερα σημαίνει όχι σε αγκύλες, που φαίνονται με βέλη στο σχήμα).
Αυτά τα σημάδια θα χωρίσουν το παράδειγμά μας σε μπλοκ:
Εκτελώντας τις ενέργειες σε κάθε μπλοκ, μην ξεχνάτε τη διαδικασία που αναφέρεται παραπάνω στο άρθρο. Αφού λύσουμε κάθε μπλοκ, εκτελούμε πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης με τη σειρά.
Και τώρα διορθώνουμε τη λύση των παραδειγμάτων με τη σειρά των ενεργειών στους προσομοιωτές!
Chuksina Irina Vladimirovna
ΜΑΔΟΥ ΝηπιαγωγείοΠεριοχή "Mashenka" Tambov, σ. Stroitel
Γνωστική λειτουργία. Σχηματισμός στοιχειωδών μαθηματικών παραστάσεων. Περίληψη μαθήματοςΘέμα: "Αριθμός 2"
Περιεχόμενο προγράμματος:
Παρουσιάστε στα παιδιά τον αριθμό 2.
Ενισχύστε τις δεξιότητες μέτρησης.
Εδραίωση γνώσεων για γεωμετρικά σχήματα.
Μάθε να καταλαβαίνεις μαθησιακό έργοκαι κάντε το μόνοι σας.
Αναπτύξτε τη σκέψη, τις λεπτές κινητικές δεξιότητες
Καθήκοντα :
Εκπαιδευτικός:
Εδραίωση γνώσεων για γεωμετρικά σχήματα.
Μάθετε να λύνετε προβλήματα για ευφυΐα.
Ανάπτυξη:
Αναπτύξτε τη λογική σκέψη. Εφευρετικότητα, φαντασία.
Αναπτύξτε συνεκτική ομιλία, μνήμη, προσοχή.
Εκπαιδευτικός:
Καλλιεργήστε την περιέργεια, τη δραστηριότητα, τη σκοπιμότητα,
καλλιεργούν την επιμονή, την ικανότητα να εργάζονται σε ομάδα.
Εξοπλισμός:
Υλικό επίδειξης: αριθμός "2", θεματικές εικόνες, μαγνητικός πίνακας.
Φυλλάδιο: τετράδια ή φύλλα χαρτιού, στυλό, ταμειακές μηχανές αριθμών ή οπαδοί των «αριθμών», χρωματιστά μολύβια, φύλλα από χαρτόνι, πλαστελίνη.
Πρόοδος μαθήματος:
Προσκαλέστε τα παιδιά να λύσουν τον γρίφο:
Πόσα αυτιά από πάνω
Πόσα πόδια έχει ένας μισός βάτραχος
Πόσα μουστάκια έχει ένα γατόψαρο
Στον πλανήτη των πόλων,
Πόσα μισά συνολικά
Σε ένα ζευγάρι ολοκαίνουργια παπούτσια
Και τα μπροστινά πόδια ενός λιονταριού
Μόνο ο αριθμός ξέρει...
(δύο).
Σωστά παιδιά, είναι το νούμερο δύο. Ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτό
Και εδώ είναι ο αριθμός δύο.
Λατρεύω αυτό που είναι:
καμάρες δυάριλαιμός
Η ουρά σέρνεται πίσω της.
Διδακτική άσκηση "Κύκλωσε και χρωματίστε τον αριθμό"
Τα παιδιά κυκλώνουν τον αριθμό με ένα στυλό και τον ζωγραφίζουν με ένα χρωματιστό μολύβι.
Φυσική Αγωγή "Πινόκιο"- Κινήσεις στο κείμενο του ποιήματος.
Ο Πινόκιο τεντώθηκε,
Μια φορά σκυφτός, δύο φορές σκυφτός,
Τα χέρια στα πλάγια απλώνονται_
Προφανώς το κλειδί δεν βρέθηκε.
Για να μας πάρει το κλειδί
Πρέπει να ανέβεις στις μύτες των ποδιών σου
Διδακτικό παιχνίδι "Αστείες εργασίες".
Ένα κουτάβι κάθεται στη βεράντα
Ζεσταίνει την αφράτη πλευρά του.
Ένας άλλος ήρθε τρέχοντας
Και κάθισε δίπλα του.
(Πόσα κουτάβια ήταν εκεί;
Η Μάσα έχει ένα μολύβι,
Ο Grisha έχει ένα μολύβι.
Πόσα μολύβια
Και τα δύο μωρά;
Προσκαλέστε τα παιδιά να ζωγραφίσουν τον απαιτούμενο αριθμό μολυβιών στο έτοιμο υλικό.
Δυναμική παύση "Στρατιώτες"
Μείνε στο ένα πόδι
Σαν να είσαι σταθερός στρατιώτης.
Αριστερό πόδι - στο στήθος,
Κοίτα μην πέσεις...
Τώρα μείνε στα δεξιά
Αν είσαι γενναίος στρατιώτης.
Τώρα μείνετε στα αριστερά
Αν είσαι γενναίος στρατιώτης.
Ένα - σηκωθείτε, τεντώστε.
Δύο - λυγίστε, ξελυγίστε.
Τρία - στα χέρια τριών παλαμάκια,
Τρία νεύματα κεφαλιού.
Τέσσερις - φαρδύτεροι βραχίονες.
Πέντε - κουνήστε τα χέρια σας.
Έξι - καθίστε ήσυχα στη θέση τους.
Διδακτική άσκηση "Γεωμετρικά σχήματα"
Εδώ είναι οι φιγούρες - fidgets,
Τους αρέσει να παίζουν κρυφτό.
Ας τα πάρουμε λοιπόν παιδιά
Ας δούμε με τα μάτια μας.
Κοίτα αριστερά, κοίτα δεξιά
Κοίτα? Πού είναι ο κύκλος;
Και σε βρήκαμε.
Εκεί είναι, αγαπητέ φίλε.
Ας ρίξουμε μια ματιά στα αριστερά.
Τι είναι εκεί? Πού είναι η πλατεία
Μην σε αφήσεις φαρσέρ
Από τα αδιάκριτα μάτια των τύπων.
Ας ρίξουμε τα μάτια μας προς τα κάτω
Εκεί θα βρούμε ένα τρίγωνο.
Αυτό είναι ένα τρίγωνο.
Πού είναι το ορθογώνιο;
Ψάξτε στα τετράδιά σας και βρείτε αυτές τις φιγούρες σε αυτά.
Πόσα νούμερα υπάρχουν συνολικά;
Ποιο είναι το πρώτο σχήμα;
Χρωματίστε το τετράγωνο κίτρινο.
Ποιο σχήμα είναι το επόμενο; Ποιος είναι ο λογαριασμός της; Δεύτερος.
Χρωματίστε τον κύκλο κόκκινο.
Ποιο σχήμα είναι το επόμενο; Ποιος είναι ο λογαριασμός της; Τρίτος.
Χρωματίστε το τρίγωνο μπλε.
Ποιο σχήμα είναι το επόμενο; Ποιος είναι ο λογαριασμός της; Τέταρτος.
Χρωματίστε το ορθογώνιο σε όποιο χρώμα σας αρέσει.
Προθέρμανση για τα δάχτυλα "μετρώντας με ένα παπούτσι"
Μια φορά! Δύο! Τρία! Τέσσερα!
Τρέχω στο μονοπάτι.
Μια φορά! Δύο! Τρία! Τέσσερα!
Μαθαίνω να πηδάω ένα παπούτσι.
Μια φορά! Δύο! Τρία! Τέσσερα!
Η φτέρνα έσπασε.
Μια φορά! Δύο! Τρία! Τέσσερα!
Το παπούτσι χάθηκε.
Παιδιά, το όνομα του οποίου το παραμύθι μας θυμίζει τον αριθμό γ που γνωρίσαμε σήμερα.
Σωστά, «Two Greedy Bears». Διαβάζοντας ένα παραμύθι.
Σχετικά Άρθρα
