Πίνακας ψηφίων βάσης συστήματος αριθμών. Μετατροπή αριθμών σε διαφορετικά συστήματα αριθμών με λύση
ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ
ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ NOVOSIBIRSK
ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ
Τμήμα Οικονομικής Πληροφορικής
Αριθμητικά συστήματα
Εργαστήριο εργαστηρίου
Για φοιτητές όλων των ειδικοτήτων πλήρους φοίτησης
Νοβοσιμπίρσκ 2007
Εισαγωγή
Το εργαστήριο εργαστηρίου με θέμα «Αριθμητικά Συστήματα» έχει σχεδιαστεί για τη διεξαγωγή πρακτικών ασκήσεων προκειμένου να αποκτηθούν βασικές έννοιες για το πώς πραγματοποιούνται οι υπολογιστικές πράξεις σε έναν υπολογιστή.
Το εργαστήριο περιέχει τους βασικούς ορισμούς των συστημάτων αριθμών, τους τύπους και τους σκοπούς τους. Κατανοεί πώς σχηματίζονται οι ακέραιοι σε συστήματα θέσεων. Πίνακες αντιστοιχίας μεταξύ αριθμών σε διάφορα συστήματα θέσηςυπολογισμός. Δίνονται κανόνες μετάφρασης μεταξύ συστημάτων αριθμών. Δείχνεται πώς γίνονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης σε συστήματα θέσεων.
Μετά την ανάλυση κάθε θέματος, οι μαθητές καλούνται να κάνουν ανεξάρτητη εργασία στις επιλογές (η επιλογή αντιστοιχεί στον αριθμό του υπολογιστή).
Η υπεράσπιση της εργαστηριακής εργασίας πραγματοποιείται με τη μορφή ατομικής εργασίας και απάντησης σε ερωτήσεις ελέγχου.
Για να απαντήσετε στις ερωτήσεις ελέγχου, πρέπει να διαβάσετε τη σχετική βιβλιογραφία.
Η ανεξάρτητη και ατομική εργασία εκτελείται παρόμοια με τα παραδείγματα που αναλύθηκαν, δηλ. περιέχει σχήματα μετάφρασης, υπολογισμούς και ελέγξτε 1 .
Οι μεμονωμένες εργασίες συντάσσονται μέσω του επεξεργαστή κειμένου Word και περιέχουν μια σελίδα τίτλου, το κείμενο της εργασίας και μια λύση.
Σημειογραφίαείναι ένα σύστημα σημείων στο οποίο οι αριθμοί γράφονται σύμφωνα με ορισμένους κανόνες, χρησιμοποιώντας τα σύμβολα ενός συγκεκριμένου αλφαβήτου.
Οι χαρακτήρες του αλφαβήτου που χρησιμοποιούνται για την εγγραφή αριθμών καλούνται φιγούρες.
Τα συστήματα αριθμών χωρίζονται σε δύο μεγάλες ομάδες:
θέσεως
μη θέσεις
Συστήματα αριθμών χωρίς θέση
Το πιο συνηθισμένο από τα συστήματα αριθμών χωρίς θέση είναι ρωμαϊκός. Το χρησιμοποιούμε για να σηματοδοτήσουμε επετείους, για να αριθμήσουμε τις σελίδες ενός βιβλίου (για παράδειγμα, τις σελίδες ενός προλόγου), κεφάλαια σε βιβλία, στροφές σε ποιήματα κ.λπ.
Αυτό το σύστημα χρησιμοποιεί ορισμένα γράμματα ως αριθμούς. Οι λατινικοί αριθμοί μοιάζουν επί του παρόντος ως εξής:
I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000
Η τιμή ενός ψηφίου δεν εξαρτάται από τη θέση του στον αριθμό. Για παράδειγμα, στον αριθμό XXX, ο αριθμός Χ εμφανίζεται τρεις φορές και σε κάθε περίπτωση αντιπροσωπεύει το 10. Ο ίδιος ο αριθμός XXX αντιστοιχεί στο 30.
Η τιμή ενός αριθμού στο ρωμαϊκό αριθμητικό σύστημα ορίζεται ως το άθροισμα ή η διαφορά των αριθμών.
Αν ο μικρότερος αριθμός βρίσκεται στα αριστερά του μεγαλύτερου, τότε αφαιρείται, αν είναι δεξιά, προστίθεται.
Για παράδειγμα, 1998 = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1 = M CM XC V I I I
Στη σειρά, ο ίδιος αριθμός τοποθετείται όχι περισσότερο από 3 φορές. Για παράδειγμα, αν ο αριθμός 80 = LXXX, τότε το 90 γράφεται ως XC, όχι ως LXXX.
Συστήματα θέσεων αριθμών
Τα συστήματα θέσεων αριθμών χρησιμοποιούνται για μέτρηση.
Στα συστήματα αριθμών θέσης, η τιμή ενός αριθμού εξαρτάται από τη θέση του ψηφίου στον αριθμό. Για παράδειγμα, στο σύστημα δεκαδικών αριθμών, οι αριθμοί 58 και 85 δεν είναι ίσοι, αν και περιέχουν τα ίδια ψηφία.
Κάθε σύστημα αριθμών θέσης χαρακτηρίζεται από το δικό του βάση.
η βάση ενός συστήματος αριθμών θέσης είναι ο αριθμός των διαφορετικών χαρακτήρων ή συμβόλων που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση αριθμών σε ένα δεδομένο σύστημα αριθμών.
Κατ 'αρχήν, η βάση του συστήματος αριθμών μπορεί να είναι οποιαδήποτε φυσικός αριθμός- δύο τρία τέσσερα. Κατά συνέπεια, ένας άπειρος αριθμός συστημάτων αριθμών θέσης είναι δυνατός: δυαδικό, τριαδικό, τεταρτοταγές κ.λπ.
Το σχέδιο κατασκευής αριθμών θέσης έχει μαθηματική αναπαράσταση.
Ας εισάγουμε τη σημειογραφία:
q είναι η βάση του συστήματος αριθμών.
a i - οποιοδήποτε ψηφίο από το σύνολο των ψηφίων που γίνονται δεκτά στο δεδομένο σύστημα αριθμών.
i - ένας δείκτης που υποδεικνύει τον αριθμό του ψηφίου που καταλαμβάνεται από ένα ψηφίο σε έναν αριθμό,
όπου το α i ικανοποιεί την ανισότητα
και δέχεται μόνο ακέραιες τιμές σε αυτό το εύρος.
Η θέση για τους ακέραιους αριθμούς θα συμβολίζεται με τους αριθμούς 1,2,…, n και οι θέσεις στα σωστά κλάσματα με τους αριθμούς -1, -2,…, -m.
Τότε οποιοσδήποτε αριθμός Α σε ένα αυθαίρετο σύστημα αριθμών θέσης με βάση q μπορεί να γραφτεί ως εξής:
A n \u003d a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + ... + a - m q -m, (1 )
όπου q Εγώ ονομάζεται τιμή θέσης, ή ζύγισμα Εγώ- η κατηγορία.
Για το δεκαδικό σύστημα αριθμών, η έννοια του βάρους ενός ψηφίου αντιστοιχεί στα ονόματα των θέσεων - μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, δέκατα, εκατοστά κ.λπ.
Για δεκαδικό σύστημα αριθμών
Ψηφία 3 2 1 0
Αριθμός 2 1 2 4 10 \u003d 2 x 10 3 + 1 x 10 2 + 2 x 10 1 + 4 x 10 0
Για δυαδικό σύστημα αριθμών
Ψηφία 3 2 1 0 -1
Αριθμός 1 0 0 1, 1 2 \u003d 1 x 2 3 + 0 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 + 1 x 2 -1
Για οκταδικό σύστημα αριθμών
Ψηφία 3 2 1 0 -1 -2
Αριθμός 3 0 5 2, 4 1 8 \u003d 3 x 8 3 + 0 x 8 2 + 5 x 8 1 + 2 x 8 0 + 4 x 8 -1 + 1 x 8 -2
Ιστορία
Η εφεύρεση της αρίθμησης θέσης, με βάση την τοπική σημασία των ψηφίων, αποδίδεται στους Σουμέριους και τους Βαβυλώνιους. Σε μια μεταγενέστερη περίοδο, μια τέτοια αρίθμηση αναπτύχθηκε από τους Ινδουιστές και είχε ανεκτίμητες συνέπειες στην ιστορία του πολιτισμού. Αυτά τα συστήματα περιλαμβάνουν το σύστημα δεκαδικών αριθμών, η εμφάνιση του οποίου σχετίζεται με την καταμέτρηση στα δάχτυλα. Στη μεσαιωνική Ευρώπη εμφανίστηκε μέσω Ιταλών εμπόρων, οι οποίοι με τη σειρά τους το δανείστηκαν από τους Άραβες.
Ορισμοί
Το σύστημα αριθμών θέσης καθορίζεται από έναν ακέραιο b > 1 (\displaystyle b>1), που ονομάζεται βάσηαριθμητικά συστήματα. Σύστημα αριθμών βάσης b (\displaystyle b)επίσης λέγεται b (\displaystyle b)-ichny(συγκεκριμένα, δυάδικος, τριαδικός, δεκαδικόςκαι τα λοιπά.).
x = ∑ k = 0 n − 1 a k b k (\displaystyle x=\sum _(k=0)^(n-1)a_(k)b^(k)), όπου a k (\displaystyle \ a_(k))ονομάζονται ακέραιοι φιγούρες, ικανοποιώντας την ανισότητα 0 ≤ a k ≤ b − 1. (\displaystyle 0\leq a_(k)\leq b-1.) x = a n − 1 a n − 2 … a 0 . (\displaystyle x=a_(n-1)a_(n-2)\dots a_(0).)Σε μη μηδενικούς αριθμούς x(\displaystyle\x)Τα αρχικά μηδενικά συνήθως παραλείπονται.
Για να γράψετε αριθμούς σε συστήματα αριθμών με βάση έως και 36, αραβικούς αριθμούς (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) και, στη συνέχεια, γράμματα του λατινικού αλφαβήτου (a , b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z ). Σε αυτή την περίπτωση, a = 10, b = 11, κ.λπ., μερικές φορές x = 10.
Όταν εργάζεστε με πολλά συστήματα αριθμών ταυτόχρονα, για να τα διακρίνετε, η βάση του συστήματος συνήθως υποδεικνύεται ως δείκτης, ο οποίος γράφεται στο δεκαδικό σύστημα:
123 10 (\displaystyle 123_(10))είναι ο αριθμός 123 σε δεκαδικό συμβολισμό. 173 8 (\displaystyle 173_(8))- ο ίδιος αριθμός στο σύστημα οκταδικών αριθμών. 1111011 2 (\displaystyle 1111011_(2))- τον ίδιο αριθμό, αλλά στο δυαδικό σύστημα. 0001 0010 0011 10 = 000100100011 B C D (\displaystyle 0001\ 0010\ 0011_(10)=000100100011_(BCD))- τον ίδιο αριθμό, αλλά στο σύστημα δεκαδικών αριθμών με δυαδική κωδικοποίηση δεκαδικών ψηφίων (BCD). 11120 3N (\displaystyle 11120_(3N))- τον ίδιο αριθμό, αλλά σε ασύμμετρο τριαδικό σύστημα αριθμών. 1 i i i i 0 3 S = 177770 3 S = 122220 3 S = + − − − − 0 3 S (\displaystyle 1iii0_(3S)=177770_(3S)=122220_(3S)=+-----)__- ο ίδιος αριθμός, αλλά στο συμμετρικό τριαδικό σύστημα αριθμών, τα πρόσημα "i", "7", "2" και "−" αντιπροσωπεύουν "−1", τα πρόσημα "1" και "+" αντιπροσωπεύουν "+ 1".Σε ορισμένες ειδικές περιοχές, ισχύουν ειδικοί κανόνες για τον καθορισμό της βάσης. Για παράδειγμα, στον προγραμματισμό, το δεκαεξαδικό σύστημα συμβολίζεται με:
- σε assembler και γενικές σημειώσεις που δεν συνδέονται με μια συγκεκριμένη γλώσσα, το γράμμα h (από η exadecimal) στο τέλος ενός αριθμού (σύνταξη Intel).
- στο Pascal, το σύμβολο "$" στην αρχή του αριθμού.
- σε C και σε πολλές άλλες γλώσσες με τον συνδυασμό 0x ή 0X (από he Χδεκαδικός) στην αρχή.
Σε ορισμένες διαλέκτους της γλώσσας C, κατ' αναλογία με το "0x", το πρόθεμα "0b" χρησιμοποιείται για να δηλώσει δυαδικούς αριθμούς (ο συμβολισμός "0b" δεν περιλαμβάνεται στο πρότυπο ANSI C).
((… (a n − 1 ⋅ b + a n − 2) ⋅ b + a n − 3) …) ⋅ b + a 0 . (\style display ((\ldots (a_(n-1)\cdot b+a_(n-2))\cdot b+a_(n-3))\ldots)\cdot b+a_(0).)Για παράδειγμα:
101100 2 = = 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 0 2 0 = = 1 32 + 0 16 + 1 8 + 1 4 + 0 2 + 0 1 = = 32 + 8 + 4 + 0 = 44 10
Μετάφραση από δεκαδικό σύστημα αριθμών
ολόκληρο μέρος- Διαιρέστε διαδοχικά το ακέραιο μέρος του δεκαδικού αριθμού με τη βάση έως ότου ο δεκαδικός αριθμός γίνει μηδέν.
- Τα υπόλοιπα που λαμβάνονται με διαίρεση είναι τα ψηφία του επιθυμητού αριθμού. Ο αριθμός στο νέο σύστημα γράφεται ξεκινώντας από το τελευταίο υπόλοιπο.
- Πολλαπλασιάζουμε το κλασματικό μέρος του δεκαδικού αριθμού με τη βάση του συστήματος στο οποίο θέλετε να μεταφράσετε. Χωρίζουμε όλο το μέρος. Συνεχίζουμε να πολλαπλασιάζουμε το κλασματικό μέρος με τη βάση του νέου συστήματος μέχρι να γίνει 0.
- Ο αριθμός στο νέο σύστημα είναι τα ακέραια μέρη των αποτελεσμάτων του πολλαπλασιασμού με τη σειρά που αντιστοιχεί στη λήψη τους.
44 10 (\displaystyle 44_(10))Ας μετατρέψουμε σε δυαδικό:
44 διαιρούμενο με 2. πηλίκο 22, υπόλοιπο 0 22 διαιρούμενο με 2. πηλίκο 11, υπόλοιπο 0 11 διαιρούμενο με 2. πηλίκο 5, υπόλοιπο 1 5 διαιρούμενο με 2. πηλίκο 2, υπόλοιπο 1 2 διαιρούμενο με 2. πηλίκο 1, υπόλοιπο 0 1 διαιρούμενο με 2. πηλίκο 0, υπόλοιπο 1
Το πηλίκο είναι μηδέν, η διαίρεση έχει τελειώσει. Τώρα, γράφοντας όλα τα υπόλοιπα από κάτω προς τα πάνω, παίρνουμε τον αριθμό 101100 2 (\displaystyle 101100_(2))
Μετατροπή από δυαδικό σε οκταδικό και δεκαεξαδικό σύστημα
Υπάρχει ένας απλοποιημένος αλγόριθμος για αυτόν τον τύπο λειτουργίας.
Για το οκταδικό, διαιρούμε τον μεταφρασμένο αριθμό σε έναν αριθμό ψηφίων ίσο με την ισχύ του 2 (το 2 αυξάνεται στην ισχύ που απαιτείται για να ληφθεί η βάση του συστήματος στο οποίο θέλετε να μεταφράσετε (2³ \u003d 8), σε αυτή η περίπτωση 3, δηλαδή τριάδες). Ας μετατρέψουμε τις τριάδες σύμφωνα με τον πίνακα των τριάδων:
000 0 100 4 001 1 101 5 010 2 110 6 011 3 111 7
Για δεκαεξαδικό, διαιρούμε τον μεταφρασμένο αριθμό σε έναν αριθμό ψηφίων ίσο με την ισχύ του 2 (το 2 αυξάνεται στην ισχύ που απαιτείται για να ληφθεί η βάση του συστήματος στο οποίο θέλετε να μεταφράσετε (2 4 \u003d 16), σε αυτήν την περίπτωση 4, δηλαδή τετράδες). Ας μετατρέψουμε τα τετράδια σύμφωνα με τον πίνακα των τετραδίων:
0000 0 0100 4 1000 8 1100 C 0001 1 0101 5 1001 9 1101 D 0010 2 0110 6 1010 A 1110 E
Μετατροπή 101100 2 οκταδικό - 101 100 → 54 8 δεκαεξαδικό - 0010 1100 → 2C 16
Μετατροπή από οκταδικό και δεκαεξαδικό σύστημα σε δυαδικό
Για αυτόν τον τύπο λειτουργίας, υπάρχει ένας απλοποιημένος αλγόριθμος αναστροφής.
Για οκταδικό - μετατρέψτε σύμφωνα με τον πίνακα σε τρίδυμα
0 000 4 100 1 001 5 101 2 010 6 110 3 011 7 111
Για δεκαεξαδικό - μετατρέψτε σύμφωνα με τον πίνακα σε κουαρτέτα
0 0000 4 0100 8 1000 C 1100 1 0001 5 0101 9 1001 D 1101 2 0010 6 0110 A 1010 E 1110 3 0011 7 01111 F 1
Μετασχηματισμός 54 8 → 101 100 2C 16 → 0010 1100
Μετάφραση από δυαδικό σε 8- και δεκαεξαδικό
Η μετατροπή του κλασματικού μέρους από το δυαδικό σύστημα αριθμών στα συστήματα αριθμών με βάσεις 8 και 16 πραγματοποιείται με τον ίδιο τρόπο όπως και για τα ακέραια μέρη του αριθμού, με τη μόνη εξαίρεση ότι η κατανομή σε οκτάβες και τετράδια πηγαίνει στο δεξιά της υποδιαστολής, τα ψηφία που λείπουν συμπληρώνονται με μηδενικά προς τα δεξιά. Για παράδειγμα, ο αριθμός 1100.011 2 που συζητήθηκε παραπάνω θα μοιάζει με 14.3 8 ή C.6 16 .
Μετάφραση από σύστημα αυθαίρετων αριθμών σε δεκαδικό
Εξετάστε ένα παράδειγμα μετατροπής του δυαδικού αριθμού 1100.011 2 σε δεκαδικό. Το ακέραιο μέρος αυτού του αριθμού είναι το 12 (βλ. παραπάνω), αλλά ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στη μετάφραση του κλασματικού μέρους:
0 , 011 = 0 ⋅ 2 − 1 + 1 ⋅ 2 − 2 + 1 ⋅ 2 − 3 = 0 + 0 , 25 + 0 , 125 = 0 , 375. (\displaystyle 0,011=0\cdot 2^ +1\cdot 2^(-2)+1\cdot 2^(-3)=0+0,25+0,125=0,375.)Άρα, ο αριθμός 1100.011 2 = 12.375 10.
Με τον ίδιο τρόπο, πραγματοποιείται μετάφραση από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών, μόνο αντί για "2" τοποθετείται η βάση του συστήματος.
Για ευκολία στη μετάφραση, τα ακέραια και κλασματικά μέρη του αριθμού μεταφράζονται χωριστά και το αποτέλεσμα συνενώνεται.
Μετατροπή από δεκαδικό σε αυθαίρετο
Για να μεταφράσετε το κλασματικό μέρος ενός αριθμού σε άλλα συστήματα αριθμών, πρέπει να μηδενίσετε το ακέραιο μέρος και να αρχίσετε να πολλαπλασιάζετε τον αριθμό που προκύπτει με τη βάση του συστήματος στο οποίο θέλετε να μεταφράσετε. Εάν, ως αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού, εμφανιστούν ξανά ακέραια μέρη, πρέπει να μηδενιστούν ξανά, αφού θυμηθείτε (καταγράψετε) την τιμή του ακέραιου τμήματος που προκύπτει. Η λειτουργία τελειώνει όταν το κλασματικό τμήμα εξαφανιστεί τελείως. Παρακάτω είναι ένα παράδειγμα μετατροπής του αριθμού 103.625 10 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Μεταφράζουμε το ακέραιο μέρος σύμφωνα με τους κανόνες που περιγράφονται παραπάνω, παίρνουμε 103 10 = 1100111 2 .
Πολλαπλασιάστε το 0,625 επί 2. Το κλασματικό μέρος είναι 0,250. Ακέραιο μέρος 1. 0,250 φορές 2. Κλασματικό μέρος 0,500. Το ακέραιο μέρος είναι 0. 0,500 πολλαπλασιάζεται επί 2. Το κλασματικό μέρος είναι 0,000. ολόκληρο μέρος 1.
Έτσι, από πάνω προς τα κάτω παίρνουμε τον αριθμό 101 2 . Επομένως 103.625 10 = 1100111.101 2
Με τον ίδιο τρόπο πραγματοποιείται η μετάφραση σε συστήματα αριθμών με οποιαδήποτε βάση.
Θα πρέπει να σημειωθεί αμέσως ότι αυτό το παράδειγμα είναι ειδικά επιλεγμένο, στη γενική περίπτωση είναι πολύ σπάνια δυνατόν να ολοκληρωθεί η μεταφορά του κλασματικού μέρους ενός αριθμού από το δεκαδικό σύστημα σε άλλα συστήματα αριθμών, και επομένως, στη συντριπτική πλειοψηφία των περιπτώσεις, η μεταφορά μπορεί να πραγματοποιηθεί με κάποιο βαθμό σφάλματος. Όσο περισσότερα δεκαδικά ψηφία - τόσο πιο ακριβής είναι η προσέγγιση του μεταφραστικού αποτελέσματος στην αλήθεια. Είναι εύκολο να επαληθεύσετε αυτές τις λέξεις εάν προσπαθήσετε, για παράδειγμα, να μετατρέψετε τον αριθμό 0,626 σε δυαδικό κώδικα.
Παραλλαγές και γενικεύσεις
Γράψιμο ορθολογικών αριθμών
Συμμετρικά συστήματα αριθμών
Συμμετρικά (ισορροπημένα, νοηματικά) συστήματα αριθμώνδιαφέρουν στο ότι χρησιμοποιούν αριθμούς όχι από το σύνολο ( 0 , 1 , … , b − 1 ) (\displaystyle \(0,1,\ldots ,b-1\)), και από το σετ ( 0 − (b − 1 2) , 1 − (b − 1 2) , … , (b − 1) − (b − 1 2) ) (\displaystyle \left\(0-\left((\tfrac ( b-1)(2))\right),1-\left((\tfrac (b-1)(2))\right),\ldots ,(b-1)-\left((\tfrac (b -1)(2))\δεξιά)\δεξιά\)). Για να είναι οι αριθμοί ακέραιοι, είναι απαραίτητο b (\displaystyle b)ήταν παράξενο. Στα συστήματα συμμετρικών αριθμών, δεν απαιτείται πρόσθετος συμβολισμός για το πρόσημο του αριθμού. Επιπλέον, οι υπολογισμοί σε συμμετρικά συστήματα είναι βολικοί καθώς δεν απαιτούνται ειδικοί κανόνες στρογγυλοποίησης - περιορίζεται στην απλή απόρριψη επιπλέον ψηφίων, γεγονός που μειώνει απότομα τα συστηματικά σφάλματα στους υπολογισμούς.
Το πιο συχνά χρησιμοποιούμενο συμμετρικό τριαδικό σύστημα αριθμών με αριθμούς ( − 1 , 0 , 1 ) (\displaystyle \(-1,0,1\)). Χρησιμοποιείται στην τριμερή λογική και εφαρμόστηκε τεχνικά στον υπολογιστή Setun.
Αρνητικές βάσεις
Υπάρχουν συστήματα θέσης με αρνητικές βάσεις που ονομάζονται μη θέσεις:
- -2 - Nega-δυαδικό σύστημα αριθμών
- -3 - Αρνητικό τριαδικό σύστημα αριθμών
- -10 - Σύστημα αρνητικών δεκαδικών αριθμών
Μη ακέραιες βάσεις
Μερικές φορές τα συστήματα αριθμών θέσης με μη ακέραιες βάσεις θεωρούνται επίσης: ορθολογικά, παράλογα, υπερβατικά.
Παραδείγματα τέτοιων συστημάτων αριθμών είναι:
Σύνθετες βάσεις
Οι βάσεις των συστημάτων αριθμών θέσης μπορούν επίσης να είναι μιγαδικοί αριθμοί. Ταυτόχρονα, οι αριθμοί σε αυτούς λαμβάνουν τιμές από κάποιο πεπερασμένο σύνολο που ικανοποιεί τις συνθήκες που σας επιτρέπουν να εκτελείτε αριθμητικές πράξεις απευθείας με τις αναπαραστάσεις των αριθμών σε αυτά τα συστήματα αριθμών.
Συγκεκριμένα, μεταξύ των συστημάτων αριθμών θέσης με σύνθετες βάσεις, διακρίνονται τα δυαδικά, στα οποία χρησιμοποιούνται μόνο δύο ψηφία 0 και 1.
Παραδείγματα
Στη συνέχεια, θα γράψουμε το σύστημα αριθμών θέσης στην παρακάτω φόρμα ⟨ ρ , A ⟩ (\displaystyle \langle \rho ,A\rangle ), όπου ρ (\displaystyle \rho )είναι η βάση του συστήματος αριθμών, και ΕΝΑ- πολλά νούμερα. Ειδικότερα, πολλοί ΕΝΑμπορεί να μοιάζει με:
Παραδείγματα συστημάτων αριθμών με σύνθετες βάσεις είναι (στο εξής ι- φανταστική μονάδα):
- ⟨ ρ = j R , B R ⟩ . (\displaystyle \langle \rho =j(\sqrt (R)),B_(R)\rangle .)
- ⟨ ρ = 2 e ± j π / 2 , B 2 ⟩ . (\displaystyle \langle \rho =(\sqrt (2))e^(\pm j\pi /2),B_(2)\rangle .)
- ⟨ ρ = 2 e j π / 3 , ( 0 , 1 , e 2 j π / 3 , e − 2 j π / 3 ) ⟩ ; (\displaystyle \langle \rho =2e^(j\pi /3),\(0,1,e^(2j\pi /3),e^(-2j\pi /3)\)\rangle ;)
- ⟨ ρ = R , B R ⟩ , (\displaystyle \langle \rho =(\sqrt (R)),B_(R)\rangle ,)όπου φ = ± arccos (− β / 2 R) (\displaystyle \varphi =\pm \arccos ((-\beta /2(\sqrt (R))))), β < min { R , 2 R } {\displaystyle \beta <\min\{R,2{\sqrt {R}}\}} είναι ένας θετικός ακέραιος που μπορεί να λάβει πολλαπλές τιμές για ένα δεδομένο R;
- ⟨ ρ = − R , A R 2 ⟩ , (\displaystyle \langle \rho =-R,A_(R)^(2)\rangle ,)όπου το σετ A R 2 (\displaystyle A_(R)^(2))αποτελείται από μιγαδικούς αριθμούς της μορφής r m = α m 1 + j α m 2 (\displaystyle r_(m)=\alpha _(m)^(1)+j\alpha _(m)^(2)), και τους αριθμούς α m ∈ B R . (\displaystyle \alpha _(m)\σε B_(R).)Για παράδειγμα: ⟨ − 2 , ( 0 , 1 , j , 1 + j ) ⟩ ; (\displaystyle \langle -2,\(0,1,j,1+j\)\rangle ;)
Στο μάθημα της επιστήμης των υπολογιστών, ανεξαρτήτως σχολείου ή πανεπιστημίου, δίνεται ιδιαίτερη θέση σε μια τέτοια έννοια όπως τα συστήματα αριθμών. Κατά κανόνα, διατίθενται πολλά μαθήματα ή πρακτικές ασκήσεις για αυτό. Ο κύριος στόχος δεν είναι μόνο η εκμάθηση των βασικών εννοιών του θέματος, η μελέτη των τύπων συστημάτων αριθμών, αλλά και η εξοικείωση με τη δυαδική, οκταδική και δεκαεξαδική αριθμητική.
Τι σημαίνει?
Ας ξεκινήσουμε με τον ορισμό της κύριας έννοιας. Όπως σημειώνει το σχολικό βιβλίο «Επιστήμη Υπολογιστών», το αριθμητικό σύστημα είναι μια εγγραφή αριθμών που χρησιμοποιεί ένα ειδικό αλφάβητο ή ένα συγκεκριμένο σύνολο αριθμών.
Ανάλογα με το αν η τιμή ενός ψηφίου αλλάζει από τη θέση του στον αριθμό, διακρίνονται δύο: τα συστήματα αριθμών θέσης και τα μη θέσεις.
Στα συστήματα θέσεων, η τιμή ενός ψηφίου αλλάζει ανάλογα με τη θέση του στον αριθμό. Έτσι, αν πάρουμε τον αριθμό 234, τότε ο αριθμός 4 σε αυτό σημαίνει μονάδες, αλλά αν λάβουμε υπόψη τον αριθμό 243, τότε εδώ θα σημαίνει ήδη δεκάδες, όχι μονάδες.
Σε συστήματα μη θέσης, η τιμή ενός ψηφίου είναι στατική, ανεξάρτητα από τη θέση του στον αριθμό. Το πιο εντυπωσιακό παράδειγμα είναι το σύστημα stick, όπου κάθε μονάδα υποδεικνύεται με μια παύλα. Ανεξάρτητα από το πού εκχωρείτε το ραβδί, η τιμή του αριθμού θα αλλάξει μόνο κατά ένα.
Συστήματα μη θέσης
Τα συστήματα αριθμών χωρίς θέση περιλαμβάνουν:
- Ένα ενιαίο σύστημα, που θεωρείται από τα πρώτα. Χρησιμοποιούσε μπαστούνια αντί για αριθμούς. Όσο περισσότεροι ήταν, τόσο μεγαλύτερη ήταν η αξία του αριθμού. Μπορείτε να συναντήσετε ένα παράδειγμα αριθμών γραμμένων με αυτόν τον τρόπο σε ταινίες όπου μιλάμε για ανθρώπους χαμένους στη θάλασσα, κρατούμενους που σημειώνουν κάθε μέρα με τη βοήθεια εγκοπών σε μια πέτρα ή ένα δέντρο.
- Roman, στην οποία χρησιμοποιήθηκαν λατινικά γράμματα αντί για αριθμούς. Χρησιμοποιώντας τα, μπορείτε να γράψετε οποιοδήποτε αριθμό. Ταυτόχρονα, η τιμή του προσδιορίστηκε χρησιμοποιώντας το άθροισμα και τη διαφορά των ψηφίων που αποτελούσαν τον αριθμό. Αν υπήρχε μικρότερος αριθμός στα αριστερά του ψηφίου, τότε το αριστερό ψηφίο αφαιρέθηκε από το δεξί και αν το ψηφίο στα δεξιά ήταν μικρότερο ή ίσο με το ψηφίο στα αριστερά, τότε οι τιμές τους αθροίζονταν πάνω. Για παράδειγμα, ο αριθμός 11 γράφτηκε ως XI και 9 - IX.
- Γράμματα, στα οποία οι αριθμοί σημειώθηκαν χρησιμοποιώντας το αλφάβητο μιας συγκεκριμένης γλώσσας. Ένα από αυτά είναι το σλαβικό σύστημα, στο οποίο ορισμένα γράμματα είχαν όχι μόνο φωνητική, αλλά και αριθμητική αξία.
- στην οποία χρησιμοποιήθηκαν μόνο δύο χαρακτηρισμοί για καταγραφή - σφήνες και βέλη.
- Στην Αίγυπτο, επίσης, χρησιμοποιήθηκαν ειδικά σύμβολα για να δηλώσουν αριθμούς. Όταν γράφετε έναν αριθμό, κάθε χαρακτήρας μπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι περισσότερες από εννέα φορές.
Συστήματα θέσης
Στην επιστήμη των υπολογιστών δίνεται μεγάλη προσοχή στα συστήματα αριθμών θέσης. Αυτά περιλαμβάνουν τα ακόλουθα:
- δυάδικος;
- οκτάεδρος;
- δεκαδικός;
- δεκαεξαδικό?
- sexagesimal, που χρησιμοποιείται κατά τη μέτρηση του χρόνου (για παράδειγμα, σε ένα λεπτό - 60 δευτερόλεπτα, σε μια ώρα - 60 λεπτά).
Κάθε ένα από αυτά έχει το δικό του αλφάβητο για τη γραφή, τους κανόνες μετάφρασης και τις αριθμητικές πράξεις.
Μετρικό σύστημα
Αυτό το σύστημα είναι το πιο οικείο σε εμάς. Χρησιμοποιεί αριθμούς από το 0 έως το 9 για να γράψει αριθμούς. Λέγονται και αραβικά. Ανάλογα με τη θέση του ψηφίου στον αριθμό, μπορεί να υποδηλώνει διαφορετικά ψηφία - μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες ή εκατομμύρια. Το χρησιμοποιούμε παντού, γνωρίζουμε τους βασικούς κανόνες με τους οποίους εκτελούνται αριθμητικές πράξεις στους αριθμούς.
Δυαδικό σύστημα
Ένα από τα κύρια συστήματα αριθμών στην επιστήμη των υπολογιστών είναι το δυαδικό σύστημα. Η απλότητά του επιτρέπει στον υπολογιστή να εκτελεί περίπλοκους υπολογισμούς πολλές φορές πιο γρήγορα από ό,τι στο δεκαδικό σύστημα.
Για την εγγραφή αριθμών, χρησιμοποιούνται μόνο δύο ψηφία - 0 και 1. Ταυτόχρονα, ανάλογα με τη θέση του 0 ή του 1 στον αριθμό, η τιμή του θα αλλάξει.
Αρχικά, με τη βοήθεια υπολογιστών έλαβαν όλες τις απαραίτητες πληροφορίες. Ταυτόχρονα, το ένα σήμαινε την παρουσία ενός σήματος που μεταδόθηκε χρησιμοποιώντας τάση και το μηδέν σήμαινε την απουσία του.
Οκταδικό σύστημα
Ένα άλλο γνωστό σύστημα αριθμών υπολογιστή στο οποίο χρησιμοποιούνται αριθμοί από το 0 έως το 7. Χρησιμοποιήθηκε κυρίως σε εκείνους τους τομείς γνώσης που σχετίζονται με ψηφιακές συσκευές. Αλλά πρόσφατα χρησιμοποιείται πολύ λιγότερο συχνά, αφού έχει αντικατασταθεί από το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
Δυαδικό δεκαδικό
Η αναπαράσταση μεγάλων αριθμών στο δυαδικό σύστημα για ένα άτομο είναι μια αρκετά περίπλοκη διαδικασία. Για να το απλοποιήσουμε, αναπτύχθηκε.Συνήθως χρησιμοποιείται σε ηλεκτρονικά ρολόγια, αριθμομηχανές. Σε αυτό το σύστημα, δεν μετατρέπεται ολόκληρος ο αριθμός από το δεκαδικό σύστημα σε δυαδικό, αλλά κάθε ψηφίο μεταφράζεται στο αντίστοιχο σύνολο μηδενικών και μονάδων στο δυαδικό σύστημα. Το ίδιο ισχύει και για τη μετατροπή από δυαδικό σε δεκαδικό. Κάθε ψηφίο, που αντιπροσωπεύεται ως ένα τετραψήφιο σύνολο μηδενικών και μονάδων, μεταφράζεται σε ένα ψηφίο στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Κατ 'αρχήν, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο.
Για να εργαστείτε με αριθμούς σε αυτήν την περίπτωση, είναι χρήσιμος ένας πίνακας συστημάτων αριθμών, ο οποίος θα υποδεικνύει την αντιστοιχία μεταξύ των αριθμών και του δυαδικού τους κωδικού.
Δεκαεξαδικό σύστημα
Πρόσφατα, το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών έχει γίνει όλο και πιο δημοφιλές στον προγραμματισμό και την επιστήμη των υπολογιστών. Χρησιμοποιεί όχι μόνο αριθμούς από το 0 έως το 9, αλλά και έναν αριθμό λατινικών γραμμάτων - A, B, C, D, E, F.
Ταυτόχρονα, κάθε ένα από τα γράμματα έχει τη δική του σημασία, άρα Α=10, Β=11, Γ=12 κ.ο.κ. Κάθε αριθμός αντιπροσωπεύεται ως ένα σύνολο τεσσάρων χαρακτήρων: 001F.
Μετατροπή αριθμών: από δεκαδικό σε δυαδικό
Η μετάφραση σε συστήματα αριθμών γίνεται σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Η πιο συνηθισμένη μετατροπή είναι από δυαδικό σε δεκαδικό και αντίστροφα.
Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δεκαδικό σε δυαδικό, είναι απαραίτητο να τον διαιρέσετε με συνέπεια με τη βάση του συστήματος αριθμών, δηλαδή τον αριθμό δύο. Σε αυτή την περίπτωση, το υπόλοιπο κάθε διαίρεσης πρέπει να καθοριστεί. Αυτό θα συνεχιστεί έως ότου το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι μικρότερο ή ίσο με ένα. Είναι καλύτερο να κάνετε τους υπολογισμούς σε μια στήλη. Στη συνέχεια, τα υπόλοιπα διαίρεσης που προκύπτουν γράφονται στη συμβολοσειρά με αντίστροφη σειρά.
Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε τον αριθμό 9 σε δυαδικό:
Διαιρούμε το 9, αφού ο αριθμός δεν διαιρείται ομοιόμορφα, τότε παίρνουμε τον αριθμό 8, το υπόλοιπο θα είναι 9 - 1 = 1.
Αφού διαιρέσουμε το 8 με το 2, παίρνουμε 4. Το ξαναμοιράζουμε, αφού ο αριθμός διαιρείται με δύο - παίρνουμε 4 - 4 = 0 στο υπόλοιπο.
Κάνουμε την ίδια πράξη με το 2. Το υπόλοιπο είναι 0.
Ως αποτέλεσμα της διαίρεσης, παίρνουμε 1.
Ανεξάρτητα από το τελικό σύστημα αριθμών, η μεταφορά αριθμών από δεκαδικό σε οποιοδήποτε άλλο θα γίνει σύμφωνα με την αρχή της διαίρεσης του αριθμού με τη βάση του συστήματος θέσεων.
Μετατροπή αριθμών: από δυαδικό σε δεκαδικό
Είναι αρκετά εύκολο να μετατρέψετε αριθμούς σε δεκαδικό από δυαδικό. Για να γίνει αυτό, αρκεί να γνωρίζουμε τους κανόνες για την αύξηση των αριθμών σε μια δύναμη. Σε αυτή την περίπτωση, σε δύναμη δύο.
Ο αλγόριθμος μετάφρασης έχει ως εξής: κάθε ψηφίο από τον κωδικό δυαδικού αριθμού πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί δύο και τα δύο πρώτα θα είναι στην ισχύ του m-1, το δεύτερο - m-2 και ούτω καθεξής, όπου m είναι ο αριθμός των ψηφίων στον κωδικό. Στη συνέχεια, προσθέστε τα αποτελέσματα της πρόσθεσης, παίρνοντας έναν ακέραιο.
Για τους μαθητές, αυτός ο αλγόριθμος μπορεί να εξηγηθεί πιο απλά:
Αρχικά, παίρνουμε και γράφουμε κάθε ψηφίο πολλαπλασιασμένο επί δύο, μετά βάζουμε τη δύναμη του δύο από το τέλος, ξεκινώντας από το μηδέν. Στη συνέχεια, προσθέστε τον αριθμό που προκύπτει.
Για παράδειγμα, ας αναλύσουμε μαζί σας τον αριθμό 1001 που λήφθηκε νωρίτερα, μετατρέποντάς τον στο δεκαδικό σύστημα και ταυτόχρονα ας ελέγξουμε την ορθότητα των υπολογισμών μας.
Θα μοιάζει με αυτό:
1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.
Όταν μελετάτε αυτό το θέμα, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε έναν πίνακα με δυνάμεις δύο. Αυτό θα μειώσει σημαντικά τον χρόνο που απαιτείται για τους υπολογισμούς.
Άλλες επιλογές μετάφρασης
Σε ορισμένες περιπτώσεις, η μετάφραση μπορεί να πραγματοποιηθεί μεταξύ δυαδικού και οκταδικού, δυαδικού και δεκαεξαδικού. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ειδικούς πίνακες ή να εκτελέσετε την εφαρμογή αριθμομηχανής στον υπολογιστή σας επιλέγοντας την επιλογή «Προγραμματιστής» στην καρτέλα προβολής.
Αριθμητικές πράξεις
Ανεξάρτητα από τη μορφή με την οποία αναπαρίσταται ο αριθμός, είναι δυνατό να πραγματοποιήσουμε υπολογισμούς που είναι εξοικειωμένοι με αυτόν. Αυτό μπορεί να είναι διαίρεση και πολλαπλασιασμός, αφαίρεση και πρόσθεση στο σύστημα αριθμών που έχετε επιλέξει. Φυσικά, το καθένα από αυτά έχει τους δικούς του κανόνες.
Έτσι για το δυαδικό σύστημα ανέπτυξε τους δικούς του πίνακες για κάθε μία από τις πράξεις. Οι ίδιοι πίνακες χρησιμοποιούνται και σε άλλα συστήματα θέσης.
Δεν είναι απαραίτητο να τα απομνημονεύσετε - απλώς εκτυπώστε και έχετε στο χέρι. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε την αριθμομηχανή στον υπολογιστή σας.
Ένα από τα πιο σημαντικά θέματα στην επιστήμη των υπολογιστών είναι το σύστημα αριθμών. Η γνώση αυτού του θέματος, η κατανόηση των αλγορίθμων για τη μετάφραση αριθμών από ένα σύστημα σε άλλο αποτελεί εγγύηση ότι θα μπορείτε να κατανοήσετε πιο σύνθετα θέματα, όπως ο αλγόριθμος και ο προγραμματισμός, και θα μπορείτε να γράψετε μόνοι σας το πρώτο σας πρόγραμμα.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Σημειογραφίαείναι ένα σύνολο κανόνων για τη γραφή αριθμών χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο σύνολο χαρακτήρων (αριθμούς).
Τα αριθμητικά συστήματα είναι:
- μη θέσεων (σε αυτά τα συστήματα, η τιμή ενός ψηφίου δεν εξαρτάται από τη θέση του - τη θέση στην καταχώριση αριθμού).
- θέσης (η τιμή του ψηφίου εξαρτάται από τη θέση).
Συστήματα αριθμών χωρίς θέση
Παραδείγματα: unary, Roman, Old Russian, κ.λπ.
Συστήματα θέσεων αριθμών
Η βάση ενός αριθμητικού συστήματος είναι ο αριθμός των διαφορετικών ψηφίων που χρησιμοποιούνται σε αυτό το σύστημα. Βάρος ψηφίου - ο λόγος του ποσοτικού ισοδυνάμου ενός ψηφίου σε αυτό το ψηφίο προς το ποσοτικό ισοδύναμο του ίδιου ψηφίου στο μηδενικό ψηφίοp i = s i,
Τα ψηφία του αριθμού αριθμούνται από τα δεξιά προς τα αριστερά και το λιγότερο σημαντικό ψηφίο του ακέραιου μέρους (πριν από το διαχωριστικό - κόμμα ή τελεία) έχει τον αριθμό μηδέν. Τα κλασματικά ψηφία έχουν αρνητικούς αριθμούς:
Μετατροπή σε δεκαδικό σύστημα αριθμών
Με τον προσδιορισμό του βάρους της εκκένωσης
p i = s i,
όπου i είναι ο ψηφίος αριθμός και s είναι η βάση του συστήματος αριθμών.
Στη συνέχεια, δηλώνοντας τα ψηφία του αριθμού ως i, μπορούμε να αναπαραστήσουμε οποιονδήποτε αριθμό γραμμένο στο σύστημα αριθμών θέσης ως:
x = a n s n + a n-1 s n-1 + ... + a 2 s 2 + a 1 s 1 + a 0 s 0 + a -1 s -1 + ...
Για παράδειγμα, για ένα σύστημα αριθμών με βάση 4:
1302.2 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1
Αφού ολοκληρώσουμε τους υπολογισμούς, θα πάρουμε την τιμή του αρχικού αριθμού, γραμμένη στο δεκαδικό σύστημα αριθμών (ακριβέστερα, σε αυτό στο οποίο κάνουμε τους υπολογισμούς). Σε αυτήν την περίπτωση:
1302.2 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =
= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =
= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5
Έτσι, για να μετατρέψετε έναν αριθμό από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό, θα πρέπει:
- αριθμήστε τα ψηφία του αρχικού αριθμού.
- Σημειώστε το άθροισμα, οι όροι του οποίου λαμβάνονται ως το γινόμενο του επόμενου ψηφίου και της βάσης του συστήματος αριθμών, αυξημένο σε ισχύ ίση με τον αριθμό της κατηγορίας.
- εκτελέστε υπολογισμούς και σημειώστε το αποτέλεσμα (υποδεικνύοντας τη βάση του νέου συστήματος αριθμών - 10).
Παραδείγματα:
Μετάφραση από δεκαδικό σύστημα αριθμών
Ας θυμηθούμε ένα παράδειγμα μετατροπής από σύστημα αριθμών με βάση 4 σε δεκαδικό:
1302 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114
Διαφορετικά μπορεί να γραφτεί ως εξής:
114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302 4
Αυτό δείχνει ότι όταν το 114 διαιρείται με το 4, το υπόλοιπο θα πρέπει να είναι 2 - αυτό είναι το λιγότερο σημαντικό ψηφίο όταν γράφεται στο τεταρτοταγές σύστημα. Το πηλίκο θα είναι ίσο
(1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0
Διαιρώντας το με το 4 θα δώσει το υπόλοιπο - το επόμενο ψηφίο (0) και το πηλίκο 1 ⋅ 4 + 3. Συνεχίζοντας τα βήματα, παίρνουμε τα υπόλοιπα ψηφία με τον ίδιο τρόπο.
Στη γενική περίπτωση, για να μετατρέψετε το ακέραιο μέρος ενός αριθμού από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε ένα σύστημα με κάποια άλλη βάση, πρέπει:
- Εκτελέστε διαδοχική διαίρεση με το υπόλοιποτον αρχικό αριθμό και κάθε πηλίκο που προκύπτει με βάση το νέο σύστημα αριθμών.
- Καταγράψτε τα υπολογιζόμενα υπόλοιπα ξεκινώντας από το τελευταίο (δηλαδή με αντίστροφη σειρά)
Παραδείγματα:
Αριθμητικά συστήματα με πολλαπλές βάσεις
Όταν εργάζεστε με υπολογιστές, το σύστημα δυαδικών αριθμών χρησιμοποιείται ευρέως (καθώς η αναπαράσταση πληροφοριών σε έναν υπολογιστή βασίζεται σε αυτό), καθώς και οκταδικό και δεκαεξαδικό, ο συμβολισμός στον οποίο είναι πιο συμπαγής και βολικός για τον άνθρωπο. Από την άλλη πλευρά, λόγω του γεγονότος ότι το 8 και το 16 είναι δυνάμεις του 2, η μετάβαση μεταξύ της γραφής σε δυαδικό και ενός από αυτά τα συστήματα πραγματοποιείται χωρίς υπολογισμούς.
Αρκεί να αντικαταστήσουμε κάθε bit του δεκαεξαδικού συμβολισμού με τέσσερα (16=24) bit του δυαδικού (και αντίστροφα) σύμφωνα με τον πίνακα.
| δεκαεξαδικός -> δυαδικός | |||
| ΕΝΑ | 3 | 2 | μι |
| 1010 | 0011 | 0010 | 1110 |
| δυαδικός -> δεκαεξαδικός | |||
| (00)10 | 1010 | 0111 | 1101 |
| 2 | ΕΝΑ | 7 | ρε |
Ομοίως, πραγματοποιείται η μετάφραση μεταξύ δυαδικών και οκταδικών συστημάτων, μόνο το οκταδικό ψηφίο αντιστοιχεί σε τρία δυαδικά ψηφία (8=2 3)
| οκταδική -> δυαδική | ||||
| 5 | 3 | 2 | 1 | |
| 101 | 011 | 010 | 001 | |
| δυαδικό -> οκταδ | ||||
| (0)10 | 101 | 001 | 111 | 101 |
| 2 | 5 | 1 | 7 | 5 |
Αριθμητική
Οι αριθμητικές πράξεις σε ένα σύστημα θέσης με οποιαδήποτε βάση εκτελούνται σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες: πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός "σε μια στήλη" και διαίρεση - "γωνία". Εξετάστε ένα παράδειγμα εκτέλεσης πράξεων πρόσθεσης και αφαίρεσης σε δυαδικά, οκταδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών.
Πρόσθεση
Δυαδικό σύστημα:
| (ΜΕΤΑΦΟΡΑ) | ||||||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
| |
||||||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (ψηφιακοί αριθμοί) |
Σε μηδενικό ψηφίο: 1 + 0 = 0
Στο πρώτο ψηφίο: 1 + 1 = 2. Το 2 μεταφέρεται στο πιο σημαντικό (2ο) ψηφίο, μετατρέποντας σε μονάδα μεταφοράς. Το πρώτο ψηφίο παραμένει 2 - 2 = 0.
Στο δεύτερο ψηφίο: 0 + 1 + 1 (μεταφορά) = 2; Μετακίνηση σε ανώτερο επίπεδο
Συνεχίζοντας τους υπολογισμούς παίρνουμε:
10011011 2 + 1001110 2 = 11101001 2
Οκταδικό σύστημα:
| | (ΜΕΤΑΦΟΡΑ) | ||||
| 3 | 4 | 2 | 6 | 1 | |
| | 4 | 4 | 3 | 5 | |
| |
|||||
| 4 | 0 | 7 | 1 | 6 | |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (ψηφιακοί αριθμοί) |
Εκτελούμε υπολογισμούς παρόμοια με το δυαδικό σύστημα, αλλά μεταφέρουμε το 8 στο υψηλότερο ψηφίο. Παίρνουμε:
34261 8 + 4435 8 = 40716 8
Δεκαεξαδικό σύστημα:
| | | (ΜΕΤΑΦΟΡΑ) | |||
| | ΕΝΑ | 3 | 9 | 1 | |
| | 8 | 5 | 3 | 4 | |
| |
|||||
| 1 | 2 | 8 | ντο | 5 | |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (ψηφιακοί αριθμοί) |
A391 16 + 8534 16 = 128C5 16
Αφαίρεση
Δυαδικό σύστημα:
| | | (ΜΕΤΑΦΟΡΑ) | ||||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
| |
||||||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | ||
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (ψηφιακοί αριθμοί) |
Ας αναλύσουμε ένα από τα πιο σημαντικά θέματα στην επιστήμη των υπολογιστών -. Στο σχολικό πρόγραμμα αποκαλύπτεται μάλλον «σεμνά», πιθανότατα λόγω της έλλειψης ωρών που διατίθενται για αυτό. Γνώσεις για αυτό το θέμα, ειδικά για μετάφραση αριθμητικών συστημάτων, αποτελούν προϋπόθεση για επιτυχής παράδοσηΕνιαία Κρατική Εξέταση και εισαγωγή στα ΑΕΙ στις αρμόδιες σχολές. Παρακάτω, έννοιες όπως συστήματα αριθμών θέσης και μη, δίνονται παραδείγματα αυτών των συστημάτων αριθμών, κανόνες για τη μετατροπή ακεραίων δεκαδικών αριθμών, κανονικών δεκαδικών κλασμάτων και μικτών δεκαδικών αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών, μετατροπή αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό, μετατροπή από οκταδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών σε δυαδικό σύστημα αριθμών είναι παρουσιάζεται. Οι εξετάσεις περιέχουν μεγάλο αριθμό προβλημάτων σχετικά με αυτό το θέμα. Η ικανότητα επίλυσής τους είναι μία από τις απαιτήσεις για τους αιτούντες. Προσεχώς: Για κάθε θέμα της ενότητας, εκτός από το αναλυτικό θεωρητικό υλικό, θα παρουσιαστούν σχεδόν όλες οι πιθανές επιλογές καθήκονταγια ανεξάρτητη μελέτη. Επιπλέον, θα έχετε την ευκαιρία να κατεβάσετε έτοιμα αρχεία από την υπηρεσία κοινής χρήσης αρχείων εντελώς δωρεάν. λεπτομερείς λύσειςσε αυτές τις εργασίες, επεξηγώντας διάφορους τρόπουςνα πάρει τη σωστή απάντηση.
συστήματα αριθμών θέσης.
Συστήματα αριθμών χωρίς θέση- συστήματα αριθμών στα οποία η ποσοτική τιμή ενός ψηφίου δεν εξαρτάται από τη θέση του στον αριθμό.
Τα συστήματα αριθμών χωρίς θέση περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, το ρωμαϊκό, όπου αντί για αριθμούς υπάρχουν λατινικά γράμματα.
| Εγώ | 1 (ένα) |
| V | 5 (πέντε) |
| Χ | 10 (δέκα) |
| μεγάλο | 50 (πενήντα) |
| ντο | 100 (εκατό) |
| ρε | 500 (πεντακόσια) |
| Μ | 1000 (χίλια) |
Εδώ, το γράμμα V σημαίνει 5, ανεξάρτητα από τη θέση του. Ωστόσο, αξίζει να αναφέρουμε ότι αν και το ρωμαϊκό αριθμητικό σύστημα είναι ένα κλασικό παράδειγμα ενός μη θέσεων αριθμητικού συστήματος, δεν είναι εντελώς μη θέσιο, γιατί. ο μικρότερος αριθμός πριν αφαιρεθεί από αυτόν ο μεγαλύτερος:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| ΜΙ | 1001 (1000+1=1001) |
συστήματα αριθμών θέσης.
Συστήματα θέσεων αριθμών- συστήματα αριθμών στα οποία η ποσοτική τιμή ενός ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του στον αριθμό.
Για παράδειγμα, αν μιλάμε για το δεκαδικό σύστημα αριθμών, τότε στον αριθμό 700 ο αριθμός 7 σημαίνει "επτακόσια", αλλά ο ίδιος αριθμός στον αριθμό 71 σημαίνει "επτά δεκάδες" και στον αριθμό 7020 - "επτά χιλιάδες" .
Καθε σύστημα αριθμών θέσηςέχει το δικό του βάση. Η βάση είναι ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του δύο. Είναι ίσο με τον αριθμό των ψηφίων που χρησιμοποιούνται σε αυτό το σύστημα αριθμών.
- Για παράδειγμα:
- Δυάδικος- σύστημα αριθμών θέσης με βάση 2.
- Τετραδικός- σύστημα αριθμών θέσης με βάση 4.
- πενταπλάσια- σύστημα αριθμών θέσης με βάση 5.
- οκτάεδρος- σύστημα αριθμών θέσης με βάση 8.
- Δεκαεξαδικό- σύστημα αριθμών θέσης με βάση 16.
Για την επιτυχή επίλυση προβλημάτων στο θέμα "Συστήματα Αριθμών", ο μαθητής πρέπει να γνωρίζει από καρδιάς την αντιστοιχία δυαδικών, δεκαδικών, οκταδικών και δεκαεξαδικών αριθμών έως το 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | ΕΝΑ |
| 11 | 1011 | 13 | σι |
| 12 | 1100 | 14 | ντο |
| 13 | 1101 | 15 | ρε |
| 14 | 1110 | 16 | μι |
| 15 | 1111 | 17 | φά |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε πώς λαμβάνονται οι αριθμοί σε αυτά τα συστήματα αριθμών. Μπορείτε να μαντέψετε ότι σε οκταδικό, δεκαεξαδικό, τριαδικό και άλλα συστήματα αριθμών θέσηςόλα συμβαίνουν παρόμοια με το γνωστό σε εμάς δεκαδικό σύστημα:
Ένα προστίθεται στον αριθμό και προκύπτει ένας νέος αριθμός. Εάν το μέρος των μονάδων γίνει ίσο με τη βάση του συστήματος αριθμών, αυξάνουμε τον αριθμό των δεκάδων κατά 1 και ούτω καθεξής.
Αυτή η «μετάβαση του ενός» είναι ακριβώς αυτό που φοβίζει τους περισσότερους μαθητές. Στην πραγματικότητα, όλα είναι πολύ απλά. Μια μετάβαση συμβαίνει εάν το ψηφίο των μονάδων γίνει ίσο με βάση του αριθμητικού συστήματος, αυξάνουμε τον αριθμό των δεκάδων κατά 1. Πολλοί, ενθυμούμενοι το παλιό καλό δεκαδικό σύστημα, μπερδεύονται αμέσως στην εκφόρτιση και σε αυτή τη μετάβαση, επειδή οι δεκαδικές και, για παράδειγμα, οι δυαδικές δεκάδες είναι διαφορετικά πράγματα.
Ως εκ τούτου, οι πολυμήχανοι μαθητές έχουν «τις μεθόδους τους» (παραδόξως... λειτουργούν) όταν συμπληρώνουν, για παράδειγμα, πίνακες αλήθειας, οι πρώτες στήλες (τιμές μεταβλητών) των οποίων, στην πραγματικότητα, είναι γεμάτες με δυαδικούς αριθμούς σε αύξουσα σειρά. .
Για παράδειγμα, ας ρίξουμε μια ματιά στη λήψη αριθμών οκταδικό σύστημα: Προσθέτουμε 1 στον πρώτο αριθμό (0), παίρνουμε 1. Μετά προσθέτουμε 1 στο 1, παίρνουμε 2 κ.λπ. μέχρι το 7. Αν προσθέσουμε ένα στο 7, παίρνουμε έναν αριθμό ίσο με τη βάση του συστήματος αριθμών, δηλ. 8. Στη συνέχεια, πρέπει να αυξήσετε το ψηφίο των δεκάδων κατά ένα (λαμβάνουμε ένα οκταδικό δέκα - 10). Στη συνέχεια, προφανώς, είναι οι αριθμοί 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...
κανόνες για τη μετατροπή από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο.
1 Μετατρέψτε ακέραιους δεκαδικούς αριθμούς σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών.
Ο αριθμός πρέπει να διαιρεθεί με νέα αριθμητική βάση. Το πρώτο υπόλοιπο της διαίρεσης είναι το πρώτο λιγότερο σημαντικό ψηφίο του νέου αριθμού. Αν το πηλίκο της διαίρεσης είναι μικρότερο ή ίσο με τη νέα βάση, τότε αυτό (το πηλίκο) πρέπει να διαιρεθεί ξανά με τη νέα βάση. Η διαίρεση πρέπει να συνεχιστεί μέχρι να πάρουμε το πηλίκο μικρότερο από τη νέα βάση. Αυτό είναι το υψηλότερο ψηφίο του νέου αριθμού (πρέπει να θυμάστε ότι, για παράδειγμα, στο δεκαεξαδικό σύστημα, τα γράμματα ακολουθούν μετά το 9, δηλαδή, εάν έχετε 11 στο υπόλοιπο, πρέπει να το γράψετε ως Β).
Παράδειγμα ("διαίρεση με μια γωνία"): Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 173 10 στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Έτσι, 173 10 \u003d 255 8
2 Μετατροπή σωστών δεκαδικών κλασμάτων σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών.
Ο αριθμός πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τη νέα βάση του συστήματος αριθμών. Το ψηφίο που έχει περάσει στο ακέραιο μέρος είναι το υψηλότερο ψηφίο του κλασματικού μέρους του νέου αριθμού. Για να ληφθεί το επόμενο ψηφίο, το κλασματικό μέρος του προκύπτοντος γινόμενου πρέπει και πάλι να πολλαπλασιαστεί με τη νέα βάση του συστήματος αριθμών μέχρι να γίνει η μετάβαση στο ακέραιο μέρος. Συνεχίζουμε τον πολλαπλασιασμό έως ότου το κλασματικό μέρος γίνει ίσο με μηδέν ή μέχρι να φτάσουμε στην ακρίβεια που καθορίζεται στο πρόβλημα ("...υπολογίστε με ακρίβεια, για παράδειγμα, δύο δεκαδικά ψηφία").
Παράδειγμα: Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 0,65625 10 στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Σχετικά Άρθρα
