Η έννοια του αριθμού στο σύστημα αριθμών. Βασικά συστήματα αριθμών

Χρησιμοποιώντας αυτήν την ηλεκτρονική αριθμομηχανή μπορείτε να μετατρέψετε ακέραιους και κλασματικούς αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο. Δίνεται αναλυτική λύση με επεξηγήσεις. Για να μεταφράσετε, εισαγάγετε τον αρχικό αριθμό, ορίστε τη βάση του συστήματος αριθμών του αριθμού πηγής, ορίστε τη βάση του συστήματος αριθμών στο οποίο θέλετε να μετατρέψετε τον αριθμό και κάντε κλικ στο κουμπί "Μετάφραση". Δείτε το θεωρητικό μέρος και τα αριθμητικά παραδείγματα παρακάτω.

Το αποτέλεσμα έχει ήδη ληφθεί!

Μετατροπή ακεραίων και κλασμάτων από ένα σύστημα αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο - θεωρία, παραδείγματα και λύσεις

Υπάρχουν συστήματα αριθμών θέσης και μη. Το αραβικό σύστημα αριθμών, το οποίο χρησιμοποιούμε στην καθημερινή ζωή, είναι θέσιο, αλλά το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών δεν είναι. Στα συστήματα αριθμών θέσης, η θέση ενός αριθμού καθορίζει μοναδικά το μέγεθος του αριθμού. Ας το εξετάσουμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του αριθμού 6372 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Ας αριθμήσουμε αυτόν τον αριθμό από δεξιά προς τα αριστερά ξεκινώντας από το μηδέν:

Τότε ο αριθμός 6372 μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Ο αριθμός 10 καθορίζει το σύστημα αριθμών (στην περίπτωση αυτή είναι το 10). Οι τιμές της θέσης ενός δεδομένου αριθμού λαμβάνονται ως δυνάμεις.

Θεωρήστε τον πραγματικό δεκαδικό αριθμό 1287.923. Ας τον αριθμήσουμε ξεκινώντας από τη μηδενική θέση του αριθμού από την υποδιαστολή προς τα αριστερά και προς τα δεξιά:

Τότε ο αριθμός 1287.923 μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

Γενικά, ο τύπος μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

C n μικρό n +C n-1 · μικρό n-1 +...+C 1 · μικρό 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

όπου C n είναι ένας ακέραιος στη θέση του n, D -k - κλασματικός αριθμός στη θέση (-k), μικρό- σύστημα αριθμών.

Λίγα λόγια για τα συστήματα αριθμών Ένας αριθμός στο δεκαδικό σύστημα αριθμών αποτελείται από πολλά ψηφία (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), στο οκταδικό σύστημα αριθμών αποτελείται από πολλά ψηφία (0,1, 2,3,4,5,6,7), στο δυαδικό σύστημα αριθμών - από ένα σύνολο ψηφίων (0,1), στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών - από ένα σύνολο ψηφίων (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), όπου τα A,B,C,D,E,F αντιστοιχούν στους αριθμούς 10,11, 12,13,14,15 Στον πίνακα Πίν.1 παρουσιάζονται αριθμοί σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.

Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

Για να μετατρέψετε αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο, ο ευκολότερος τρόπος είναι πρώτα να μετατρέψετε τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και, στη συνέχεια, να μετατρέψετε από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο απαιτούμενο σύστημα αριθμών.

Μετατροπή αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), μπορείτε να μετατρέψετε αριθμούς από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 1011101.001 από δυαδικό σύστημα αριθμών (SS) σε δεκαδικό SS. Λύση:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Παράδειγμα2. Μετατρέψτε τον αριθμό 1011101.001 από οκταδικό σύστημα αριθμών (SS) σε δεκαδικό SS. Λύση:

Παράδειγμα 3 . Μετατρέψτε τον αριθμό AB572.CDF από δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαδικό SS. Λύση:

Εδώ ΕΝΑ-αντικαταστάθηκε από 10, σι- στις 11, ντο- στα 12, φά- έως 15.

Μετατροπή αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών

Για να μετατρέψετε αριθμούς από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών, πρέπει να μετατρέψετε το ακέραιο μέρος του αριθμού και το κλασματικό μέρος του αριθμού ξεχωριστά.

Το ακέραιο μέρος ενός αριθμού μετατρέπεται από δεκαδικό SS σε άλλο σύστημα αριθμών διαιρώντας διαδοχικά το ακέραιο μέρος του αριθμού με τη βάση του συστήματος αριθμών (για δυαδικό SS - με 2, για 8-ary SS - με 8, για 16 -ary SS - κατά 16, κ.λπ. ) έως ότου ληφθεί ένα ολόκληρο υπόλειμμα, μικρότερο από το βασικό CC.

Παράδειγμα 4 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 159 από δεκαδικό SS σε δυαδικό SS:

Όπως φαίνεται από το Σχ. 1, ο αριθμός 159 όταν διαιρείται με το 2 δίνει το πηλίκο 79 και το υπόλοιπο 1. Επιπλέον, ο αριθμός 79 όταν διαιρείται με το 2 δίνει το πηλίκο 39 και το υπόλοιπο 1, κ.λπ. Ως αποτέλεσμα, κατασκευάζοντας έναν αριθμό από υπολείμματα διαίρεσης (από δεξιά προς τα αριστερά), λαμβάνουμε έναν αριθμό σε δυαδικό SS: 10011111 . Επομένως μπορούμε να γράψουμε:

159 10 =10011111 2 .

Παράδειγμα 5 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 615 από δεκαδικό SS σε οκταδικό SS.

Όταν μετατρέπετε έναν αριθμό από δεκαδικό SS σε οκταδικό SS, πρέπει να διαιρέσετε διαδοχικά τον αριθμό με το 8 έως ότου λάβετε ένα ακέραιο υπόλοιπο μικρότερο από το 8. Ως αποτέλεσμα, κατασκευάζοντας έναν αριθμό από υπολείμματα διαίρεσης (από δεξιά προς τα αριστερά) παίρνουμε ένας αριθμός σε οκταδικό SS: 1147 (βλ. Εικ. 2). Επομένως μπορούμε να γράψουμε:

615 10 =1147 8 .

Παράδειγμα 6 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 19673 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS.

Όπως φαίνεται από το σχήμα 3, διαιρώντας διαδοχικά τον αριθμό 19673 με το 16, τα υπόλοιπα είναι 4, 12, 13, 9. Στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών, ο αριθμός 12 αντιστοιχεί στο C, ο αριθμός 13 στο D. Επομένως, ο δεκαεξαδικός αριθμός είναι 4CD9.

Για να μετατρέψετε κανονικά δεκαδικά κλάσματα (πραγματικός αριθμός με μηδενικό ακέραιο μέρος) σε σύστημα αριθμών με βάση s, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε διαδοχικά αυτόν τον αριθμό με το s έως ότου το κλασματικό μέρος περιέχει ένα καθαρό μηδέν ή να λάβουμε τον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων . Εάν κατά τον πολλαπλασιασμό προκύπτει αριθμός με ακέραιο μέρος εκτός του μηδενός, τότε αυτό το ακέραιο μέρος δεν λαμβάνεται υπόψη (περιλαμβάνονται διαδοχικά στο αποτέλεσμα).

Ας δούμε τα παραπάνω με παραδείγματα.

Παράδειγμα 7 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS.

Όπως φαίνεται από το Σχ. 4, ο αριθμός 0,214 πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το 2. Εάν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένας αριθμός με ακέραιο μέρος διαφορετικό από το μηδέν, τότε το ακέραιο μέρος γράφεται χωριστά (στα αριστερά του αριθμού). και ο αριθμός γράφεται με μηδενικό ακέραιο μέρος. Αν από τον πολλαπλασιασμό προκύπτει ένας αριθμός με μηδενικό ακέραιο μέρος, τότε γράφεται ένα μηδέν στα αριστερά του. Η διαδικασία πολλαπλασιασμού συνεχίζεται έως ότου το κλασματικό μέρος φτάσει σε ένα καθαρό μηδέν ή λάβουμε τον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων. Γράφοντας έντονους αριθμούς (Εικ. 4) από πάνω προς τα κάτω, παίρνουμε τον απαιτούμενο αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών: 0. 0011011 .

Επομένως μπορούμε να γράψουμε:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Παράδειγμα 8 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,125 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS.

Για να μετατρέψετε τον αριθμό 0,125 από δεκαδικό SS σε δυαδικό, αυτός ο αριθμός πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το 2. Στο τρίτο στάδιο, το αποτέλεσμα είναι 0. Κατά συνέπεια, προκύπτει το ακόλουθο αποτέλεσμα:

0.125 10 =0.001 2 .

Παράδειγμα 9 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS.

Ακολουθώντας τα παραδείγματα 4 και 5, παίρνουμε τους αριθμούς 3, 6, 12, 8, 11, 4. Αλλά στο δεκαεξαδικό SS, οι αριθμοί 12 και 11 αντιστοιχούν στους αριθμούς C και B. Επομένως, έχουμε:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Παράδειγμα 10 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,512 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό SS.

Πήρα:

0.512 10 =0.406111 8 .

Παράδειγμα 11 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 159.125 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε χωριστά το ακέραιο μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 4) και το κλασματικό μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 8). Συνδυάζοντας περαιτέρω αυτά τα αποτελέσματα έχουμε:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Παράδειγμα 12 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 19673.214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε ξεχωριστά το ακέραιο μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 6) και το κλασματικό μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 9). Περαιτέρω, συνδυάζοντας αυτά τα αποτελέσματα παίρνουμε.

Το σύστημα αριθμών είναι μια πολύ περίπλοκη έννοια.

Σύστημα αριθμών –αυτός είναι ένας τρόπος αναπαράστασης αριθμών και των αντίστοιχων κανόνων για τους αριθμούς λειτουργίας. Σύστημα αριθμών –Αυτό είναι ένα σύστημα σημείων στο οποίο οι αριθμοί γράφονται σύμφωνα με ορισμένους κανόνες χρησιμοποιώντας σύμβολα ενός συγκεκριμένου αλφαβήτου, που ονομάζονται αριθμοί.

Υπάρχουν πολλοί τρόποι αναπαράστασης αριθμών. Σε κάθε περίπτωση, ένας αριθμός αντιπροσωπεύεται από ένα σύμβολο ή μια ομάδα συμβόλων (μια λέξη) κάποιου αλφαβήτου. Αυτά τα σύμβολα θα ονομάζουμε αριθμούς. Χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση αριθμών μη θέσειςΚαι θέσεωςαριθμητικά συστήματα.

ΣΕ μη θέσειςσυστήματα, κάθε ψηφίο έχει το δικό του βάρος και η σημασία του δεν εξαρτάται από τη θέση του στον αριθμό - στη θέση. Ένα παράδειγμα είναι το ρωμαϊκό σύστημα. Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός 76 σε αυτό το σύστημα μοιάζει με αυτό:

LXXVI, όπου L=50, X=10, V=5, I=1.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αριθμοί εδώ είναι λατινικοί χαρακτήρες.

ΣΕ θέσεωςσυστήματα, οι έννοιες των αριθμών εξαρτώνται από τη θέση (θέση) τους στον αριθμό.

Για παράδειγμα, ένα άτομο έχει συνηθίσει να χρησιμοποιεί το δεκαδικό σύστημα θέσης - οι αριθμοί γράφονται με 10 ψηφία. Το πιο δεξί ψηφίο δηλώνει μονάδες, το αριστερό - δεκάδες, ακόμα πιο αριστερά - εκατοντάδες κ.λπ.

Σε οποιοδήποτε σύστημα θέσεων, ένας αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως πολυώνυμο.

Ας δείξουμε πώς να αναπαραστήσουμε έναν δεκαδικό αριθμό ως πολυώνυμο.

Το σύστημα αριθμών είναι μια πολύ περίπλοκη έννοια. Περιλαμβάνει όλους τους νόμους με τους οποίους γράφονται και διαβάζονται οι αριθμοί, καθώς και αυτούς με τους οποίους εκτελούνται πράξεις σε αυτούς.

Το πιο σημαντικό πράγμα που πρέπει να γνωρίζετε για το σύστημα αριθμών είναι ο τύπος του: πρόσθετοςή πολλαπλασιαστικός. Στον πρώτο τύπο, κάθε ψηφίο έχει τη δική του σημασία και για να διαβάσετε τον αριθμό πρέπει να προσθέσετε όλες τις τιμές των ψηφίων που χρησιμοποιούνται:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Στον δεύτερο τύπο, κάθε ψηφίο μπορεί να έχει διαφορετική σημασία ανάλογα με τη θέση του στον αριθμό:

(ιερογλυφικά κατά σειρά: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Εδώ το ιερογλυφικό «2» χρησιμοποιείται δύο φορές και σε κάθε περίπτωση πήρε διαφορετικές έννοιες «2000» και «20».

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Για ένα πρόσθετο ("πρόσθετο") σύστημα, πρέπει να γνωρίζετε όλους τους αριθμούς και τα σύμβολα με τη σημασία τους (υπάρχουν έως και 4-5 δωδεκάδες από αυτά) και τη σειρά εγγραφής. Για παράδειγμα, στη λατινική σημείωση, εάν ένα μικρότερο ψηφίο γράφεται πριν από ένα μεγαλύτερο, τότε εκτελείται αφαίρεση και αν μετά, τότε πρόσθεση (IV = (5–1) = 4, VI ​​= (5+1) = 6) .

Για ένα πολλαπλασιαστικό σύστημα, πρέπει να γνωρίζετε την εικόνα των αριθμών και τη σημασία τους, καθώς και ρίζα.

Βάση συστήματοςΣημειογραφία είναι ο αριθμός των ψηφίων και των συμβόλων που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση ενός αριθμού. Για παράδειγμα p=10.

Ο προσδιορισμός της βάσης είναι πολύ εύκολος, απλά χρειάζεται να υπολογίσετε εκ νέου τον αριθμό των σημαντικών ψηφίων στο σύστημα. Για να το θέσω απλά, αυτός είναι ο αριθμός από τον οποίο ξεκινά το δεύτερο ψηφίο του αριθμού. Για παράδειγμα, χρησιμοποιούμε τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Υπάρχουν ακριβώς 10 από αυτούς, επομένως η βάση του συστήματος αριθμών μας είναι επίσης 10, και το σύστημα αριθμών είναι που ονομάζεται " δεκαδικός" Το παραπάνω παράδειγμα χρησιμοποιεί τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (οι βοηθητικοί 10, 100, 1000, 10000 κ.λπ. δεν υπολογίζονται). Υπάρχουν επίσης 10 κύριοι αριθμοί εδώ και το σύστημα αριθμών είναι δεκαδικό.

Βάση συστήματοςείναι μια ακολουθία ψηφίων που χρησιμοποιούνται για την εγγραφή ενός αριθμού. Δεν υπάρχει αριθμός σε κανένα σύστημα ίσος με τη βάση του συστήματος.

Όπως μπορείτε να μαντέψετε, όσοι αριθμοί υπάρχουν, μπορεί να υπάρχουν τόσες βάσεις συστημάτων αριθμών. Αλλά χρησιμοποιούνται μόνο οι πιο βολικές βάσεις συστημάτων αριθμών. Γιατί πιστεύετε ότι η βάση του πιο συχνά χρησιμοποιούμενου ανθρώπινου συστήματος αριθμών είναι το 10; Ναι, ακριβώς επειδή έχουμε 10 δάχτυλα στα χέρια μας. «Αλλά υπάρχουν μόνο πέντε δάχτυλα στο ένα χέρι», θα πουν κάποιοι και θα έχουν δίκιο. Η ιστορία της ανθρωπότητας γνωρίζει παραδείγματα πενταπλάσιων συστημάτων αριθμών. «Και με τα πόδια υπάρχουν είκοσι δάχτυλα», θα πουν άλλοι, και θα έχουν επίσης απόλυτο δίκιο. Αυτό ακριβώς πίστευαν οι Μάγια. Αυτό φαίνεται ακόμη και στους αριθμούς τους.

Στα μαθήματα πληροφορικής, ανεξαρτήτως σχολείου ή πανεπιστημίου, δίνεται ιδιαίτερη θέση σε μια τέτοια έννοια όπως τα συστήματα αριθμών. Κατά κανόνα, διατίθενται πολλά μαθήματα ή πρακτικές ασκήσεις για αυτό. Ο κύριος στόχος δεν είναι μόνο να κατακτήσετε τις βασικές έννοιες του θέματος, να μελετήσετε τους τύπους συστημάτων αριθμών, αλλά και να εξοικειωθείτε με τη δυαδική, οκταδική και δεκαεξαδική αριθμητική.

Τι σημαίνει?

Ας ξεκινήσουμε ορίζοντας τη βασική έννοια. Όπως σημειώνει το σχολικό βιβλίο «Πληροφορική», ένα αριθμητικό σύστημα είναι μια εγγραφή αριθμών που χρησιμοποιεί ένα ειδικό αλφάβητο ή ένα συγκεκριμένο σύνολο αριθμών.

Ανάλογα με το αν η τιμή ενός ψηφίου αλλάζει ανάλογα με τη θέση του στον αριθμό, υπάρχουν δύο: τα συστήματα αριθμών θέσης και τα μη θέσεις.

Στα συστήματα θέσεων, η σημασία ενός ψηφίου αλλάζει ανάλογα με τη θέση του στον αριθμό. Έτσι, αν πάρουμε τον αριθμό 234, τότε ο αριθμός 4 σε αυτόν σημαίνει μονάδες, αλλά αν λάβουμε υπόψη τον αριθμό 243, τότε θα σημαίνει ήδη δεκάδες, όχι μονάδες.

Σε συστήματα μη θέσης, η σημασία ενός ψηφίου είναι στατική, ανεξάρτητα από τη θέση του στον αριθμό. Το πιο εντυπωσιακό παράδειγμα είναι το σύστημα stick, όπου κάθε μονάδα υποδεικνύεται με μια παύλα. Δεν έχει σημασία πού θα τοποθετήσετε το ραβδί, η αξία του αριθμού θα αλλάξει μόνο κατά ένα.

Συστήματα μη θέσης

Τα συστήματα αριθμών χωρίς θέση περιλαμβάνουν:

1. Ένα σύστημα μονάδων που θεωρείται από τα πρώτα. Χρησιμοποιούσε μπαστούνια αντί για αριθμούς. Όσο περισσότεροι ήταν, τόσο μεγαλύτερη ήταν η αξία του αριθμού. Μπορείτε να βρείτε ένα παράδειγμα αριθμών γραμμένων με αυτόν τον τρόπο σε ταινίες όπου μιλάμε για ανθρώπους χαμένους στη θάλασσα, κρατούμενους που σημειώνουν κάθε μέρα με τη βοήθεια εγκοπών σε μια πέτρα ή ένα δέντρο.
2. Roman, στην οποία χρησιμοποιήθηκαν λατινικά γράμματα αντί για αριθμούς. Χρησιμοποιώντας τα, μπορείτε να γράψετε οποιοδήποτε αριθμό. Επιπλέον, η τιμή του προσδιορίστηκε χρησιμοποιώντας το άθροισμα και τη διαφορά των ψηφίων που αποτελούσαν τον αριθμό. Εάν υπήρχε ένας μικρότερος αριθμός στα αριστερά του ψηφίου, τότε το αριστερό ψηφίο αφαιρέθηκε από το δεξί, και εάν το ψηφίο στα δεξιά ήταν μικρότερο ή ίσο με το ψηφίο στα αριστερά, τότε οι τιμές τους αθροίστηκαν. Για παράδειγμα, ο αριθμός 11 γράφτηκε ως XI και 9 - IX.
3. Αλφαβητική, στην οποία οι αριθμοί ορίστηκαν χρησιμοποιώντας το αλφάβητο μιας συγκεκριμένης γλώσσας. Ένα από αυτά θεωρείται το σλαβικό σύστημα, στο οποίο ορισμένα γράμματα είχαν όχι μόνο φωνητική, αλλά και αριθμητική σημασία.
4. στην οποία χρησιμοποιήθηκαν μόνο δύο σημειώσεις για τη γραφή - σφήνες και βέλη.
5. Η Αίγυπτος χρησιμοποίησε επίσης ειδικά σύμβολα για να αναπαραστήσει αριθμούς. Όταν γράφετε έναν αριθμό, κάθε σύμβολο μπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι περισσότερες από εννέα φορές.

Συστήματα θέσης

Στην επιστήμη των υπολογιστών δίνεται μεγάλη προσοχή στα συστήματα αριθμών θέσης. Αυτά περιλαμβάνουν τα ακόλουθα:

• δυάδικος;
• οκτάεδρος;
• δεκαδικός;
• δεκαεξαδικό?
• sexagesimal, που χρησιμοποιείται κατά τη μέτρηση του χρόνου (για παράδειγμα, υπάρχουν 60 δευτερόλεπτα σε ένα λεπτό, 60 λεπτά σε μια ώρα).

Κάθε ένα από αυτά έχει το δικό του αλφάβητο για τη γραφή, κανόνες για τη μετάφραση και την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων.

Μετρικό σύστημα

Αυτό το σύστημα είναι το πιο οικείο σε εμάς. Χρησιμοποιεί τους αριθμούς 0 έως 9 για να γράψει αριθμούς. Λέγονται και αραβικά. Ανάλογα με τη θέση του ψηφίου στον αριθμό, μπορεί να αντιπροσωπεύει διαφορετικά ψηφία - μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες ή εκατομμύρια. Το χρησιμοποιούμε παντού, γνωρίζουμε τους βασικούς κανόνες με τους οποίους εκτελούνται οι αριθμητικές πράξεις στους αριθμούς.

Δυαδικό σύστημα

Ένα από τα κύρια συστήματα αριθμών στην επιστήμη των υπολογιστών είναι το δυαδικό σύστημα. Η απλότητά του επιτρέπει στον υπολογιστή να εκτελεί περίπλοκους υπολογισμούς πολλές φορές πιο γρήγορα από ό,τι στο δεκαδικό σύστημα.

Για την εγγραφή αριθμών, χρησιμοποιούνται μόνο δύο ψηφία - 0 και 1. Επιπλέον, ανάλογα με τη θέση του 0 ή του 1 στον αριθμό, η τιμή του θα αλλάξει.

Αρχικά, με τη βοήθεια υπολογιστών έλαβαν όλες τις απαραίτητες πληροφορίες. Σε αυτήν την περίπτωση, το ένα σήμαινε την παρουσία ενός σήματος που εκπέμπεται χρησιμοποιώντας τάση και το μηδέν σήμαινε την απουσία του.

Οκταδικό σύστημα

Ένα άλλο πολύ γνωστό σύστημα αριθμών υπολογιστή, που χρησιμοποιεί αριθμούς από το 0 έως το 7. Χρησιμοποιήθηκε κυρίως σε εκείνους τους τομείς γνώσης που σχετίζονται με ψηφιακές συσκευές. Αλλά πρόσφατα χρησιμοποιείται πολύ λιγότερο συχνά, αφού έχει αντικατασταθεί από το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Δυαδικό δεκαδικό σύστημα

Η αναπαράσταση μεγάλων αριθμών σε δυαδικό σύστημα είναι μια αρκετά περίπλοκη διαδικασία για τους ανθρώπους. Για απλούστευση, αναπτύχθηκε και χρησιμοποιείται συνήθως σε ηλεκτρονικά ρολόγια και αριθμομηχανές. Σε αυτό το σύστημα, δεν μετατρέπεται ολόκληρος ο αριθμός από το δεκαδικό σύστημα σε δυαδικό, αλλά κάθε ψηφίο μετατρέπεται στο αντίστοιχο σύνολο μηδενικών και μονάδων του δυαδικού συστήματος. Η μετατροπή από δυαδικό σε δεκαδικό γίνεται με παρόμοιο τρόπο. Κάθε ψηφίο, που αντιπροσωπεύεται ως ένα τετραψήφιο σύνολο μηδενικών και μονάδων, μετατρέπεται σε ψηφίο δεκαδικού συστήματος αριθμών. Κατ 'αρχήν, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο.

Για να εργαστείτε με αριθμούς σε αυτή την περίπτωση, θα είναι χρήσιμος ένας πίνακας συστημάτων αριθμών, ο οποίος θα υποδεικνύει την αντιστοιχία μεταξύ των αριθμών και του δυαδικού τους κωδικού.

Δεκαεξαδικό σύστημα

Πρόσφατα, το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών έχει γίνει όλο και πιο δημοφιλές στον προγραμματισμό και την επιστήμη των υπολογιστών. Χρησιμοποιεί όχι μόνο αριθμούς από το 0 έως το 9, αλλά και έναν αριθμό λατινικών γραμμάτων - A, B, C, D, E, F.

Ταυτόχρονα, κάθε ένα από τα γράμματα έχει τη δική του σημασία, άρα Α=10, Β=11, Γ=12 κ.ο.κ. Κάθε αριθμός αντιπροσωπεύεται ως ένα σύνολο τεσσάρων χαρακτήρων: 001F.

Μετατροπή αριθμών: από δεκαδικό σε δυαδικό

Η μετάφραση σε συστήματα αριθμών γίνεται σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Η πιο κοινή μετατροπή είναι από δυαδικό σε δεκαδικό σύστημα και αντίστροφα.

Για να μετατρέψουμε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα στο δυαδικό σύστημα, είναι απαραίτητο να τον διαιρέσουμε διαδοχικά με τη βάση του συστήματος αριθμών, δηλαδή τον αριθμό δύο. Σε αυτή την περίπτωση, το υπόλοιπο κάθε διαίρεσης πρέπει να καταγράφεται. Αυτό θα συμβεί έως ότου το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι μικρότερο ή ίσο με ένα. Είναι καλύτερο να κάνετε τους υπολογισμούς σε μια στήλη. Τα υπόλοιπα διαίρεσης που προκύπτουν γράφονται στη γραμμή με αντίστροφη σειρά.

Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε τον αριθμό 9 σε δυαδικό:

Διαιρούμε το 9, αφού ο αριθμός δεν διαιρείται με ένα σύνολο, τότε παίρνουμε τον αριθμό 8, το υπόλοιπο θα είναι 9 - 1 = 1.

Αφού διαιρέσουμε το 8 με το 2, παίρνουμε 4. Διαιρέστε το ξανά, αφού ο αριθμός διαιρείται με έναν ακέραιο - παίρνουμε υπόλοιπο 4 - 4 = 0.

Κάνουμε την ίδια πράξη με το 2. Το υπόλοιπο είναι 0.

Ως αποτέλεσμα της διαίρεσης παίρνουμε 1.

Ανεξάρτητα από το τελικό σύστημα αριθμών, η μετατροπή των αριθμών από δεκαδικό σε οποιοδήποτε άλλο θα γίνει σύμφωνα με την αρχή της διαίρεσης του αριθμού με τη βάση του συστήματος θέσεων.

Μετατροπή αριθμών: από δυαδικό σε δεκαδικό

Είναι αρκετά εύκολο να μετατρέψετε αριθμούς σε δεκαδικό σύστημα αριθμών από δυαδικό. Για να γίνει αυτό, αρκεί να γνωρίζετε τους κανόνες για την αύξηση των αριθμών σε δυνάμεις. Σε αυτή την περίπτωση, στη δύναμη των δύο.

Ο αλγόριθμος μετάφρασης είναι ο εξής: κάθε ψηφίο από τον κωδικό ενός δυαδικού αριθμού πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί δύο και τα δύο πρώτα θα είναι στη δύναμη του m-1, το δεύτερο - m-2 και ούτω καθεξής, όπου m είναι το αριθμός ψηφίων στον κωδικό. Στη συνέχεια, προσθέστε τα αποτελέσματα της πρόσθεσης για να λάβετε έναν ακέραιο.

Για τους μαθητές, αυτός ο αλγόριθμος μπορεί να εξηγηθεί πιο απλά:

Αρχικά, παίρνουμε και σημειώνουμε κάθε ψηφίο πολλαπλασιασμένο επί δύο και μετά βάζουμε τη δύναμη του δύο από το τέλος, ξεκινώντας από το μηδέν. Στη συνέχεια αθροίζουμε τον αριθμό που προκύπτει.

Για παράδειγμα, θα αναλύσουμε τον αριθμό 1001 που λήφθηκε νωρίτερα, μετατρέποντάς τον στο δεκαδικό σύστημα και ταυτόχρονα θα ελέγξουμε την ορθότητα των υπολογισμών μας.

Θα μοιάζει με αυτό:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Όταν μελετάτε αυτό το θέμα, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε έναν πίνακα με δυνάμεις δύο. Αυτό θα μειώσει σημαντικά τον χρόνο που απαιτείται για την εκτέλεση των υπολογισμών.

Άλλες επιλογές μετάφρασης

Σε ορισμένες περιπτώσεις, η μετάφραση μπορεί να πραγματοποιηθεί μεταξύ δυαδικών και οκταδικών συστημάτων αριθμών, δυαδικών και δεκαεξαδικών. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ειδικούς πίνακες ή να εκκινήσετε μια εφαρμογή αριθμομηχανής στον υπολογιστή σας επιλέγοντας την επιλογή «Προγραμματιστής» στην καρτέλα Προβολή.

Αριθμητικές πράξεις

Ανεξάρτητα από τη μορφή με την οποία παρουσιάζεται ο αριθμός, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη διενέργεια υπολογισμών που είναι γνωστοί σε εμάς. Αυτό μπορεί να είναι διαίρεση και πολλαπλασιασμός, αφαίρεση και πρόσθεση στο σύστημα αριθμών που έχετε επιλέξει. Φυσικά, το καθένα από αυτά έχει τους δικούς του κανόνες.

Έτσι, για το δυαδικό σύστημα, έχουν αναπτυχθεί οι δικοί του πίνακες για κάθε μια από τις λειτουργίες. Οι ίδιοι πίνακες χρησιμοποιούνται και σε άλλα συστήματα θέσης.

Δεν χρειάζεται να τα απομνημονεύσετε - απλώς εκτυπώστε τα και έχετε στη διάθεσή σας. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή στον υπολογιστή σας.

Ένα από τα πιο σημαντικά θέματα στην επιστήμη των υπολογιστών είναι το σύστημα αριθμών. Η γνώση αυτού του θέματος, η κατανόηση αλγορίθμων για τη μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα σε άλλο είναι το κλειδί για το γεγονός ότι θα μπορείτε να κατανοήσετε πιο σύνθετα θέματα, όπως ο αλγόριθμος και ο προγραμματισμός, και θα μπορείτε να γράψετε μόνοι σας το πρώτο σας πρόγραμμα.

Υπάρχουν συστήματα αριθμών θέσης και μη.

Σε συστήματα μη θέσεων αριθμώντο βάρος ενός ψηφίου (δηλαδή, η συμβολή του στην τιμή του αριθμού) δεν εξαρτάται από τη θέση τηςγραπτώς τον αριθμό. Έτσι, στο ρωμαϊκό σύστημα αριθμών στον αριθμό XXXII (τριάντα δύο), το βάρος του αριθμού Χ σε οποιαδήποτε θέση είναι απλώς δέκα.

Σε συστήματα θέσεων αριθμώντο βάρος κάθε ψηφίου ποικίλλει ανάλογα με τη θέση (θέση) του στην ακολουθία των ψηφίων που αντιπροσωπεύουν τον αριθμό. Για παράδειγμα, στον αριθμό 757,7, το πρώτο επτά σημαίνει 7 εκατοντάδες, το δεύτερο - 7 μονάδες και το τρίτο - 7 δέκατα μιας μονάδας.

Η ίδια η σημείωση του αριθμού 757.7 σημαίνει μια συντομευμένη σημείωση της έκφρασης

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Κάθε σύστημα αριθμών θέσης χαρακτηρίζεται από το βάση.

Οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να ληφθεί ως βάση του συστήματος - δύο, τρία, τέσσερα κ.λπ. Ως εκ τούτου, αναρίθμητα δυνατά συστήματα θέσης: δυαδικό, τριαδικό, τεταρτοταγές κ.λπ. Γράψιμο αριθμών σε κάθε σύστημα αριθμών με βάση qσημαίνει συντομογραφία

ένα n-1 q n-1 +α n-2 q n-2 + ... +α 1 q 1 +α 0 q 0 +α -1 q -1 + ... +α -Μ q -Μ ,

Οπου ένα Εγώ - αριθμοί του συστήματος αριθμών. n Και Μ - τον αριθμό των ακεραίων και κλασματικών ψηφίων, αντίστοιχα. Για παράδειγμα:

Ποια συστήματα αριθμών χρησιμοποιούν οι ειδικοί για να επικοινωνούν με έναν υπολογιστή;

Εκτός από το δεκαδικό, συστήματα με βάση που είναι ακέραια δύναμη 2 χρησιμοποιούνται ευρέως, και συγκεκριμένα:

δυάδικος(χρησιμοποιούνται τα ψηφία 0, 1).

οκτάεδρος(χρησιμοποιούνται τα ψηφία 0, 1, ..., 7).

δεκαεξαδικό(για τους πρώτους ακέραιους από το μηδέν έως το εννέα χρησιμοποιούνται τα ψηφία 0, 1, ..., 9 και για τους επόμενους αριθμούς - από δέκα έως δεκαπέντε - χρησιμοποιούνται τα σύμβολα A, B, C, D, E, F ως ψηφία).

Είναι χρήσιμο να θυμάστε τη σημείωση σε αυτά τα συστήματα αριθμών για τις δύο πρώτες δεκάδες ακεραίων:

Από όλα τα συστήματα αριθμών ιδιαίτερα απλόκαι ως εκ τούτου Το δυαδικό σύστημα αριθμών είναι ενδιαφέρον για τεχνική εφαρμογή σε υπολογιστές.

Υπάρχουν πολλοί τρόποι αναπαράστασης αριθμών. Σε κάθε περίπτωση, ένας αριθμός αντιπροσωπεύεται από ένα σύμβολο ή μια ομάδα συμβόλων (μια λέξη) κάποιου αλφαβήτου. Τέτοια σύμβολα ονομάζονται αριθμοί.

Αριθμητικά συστήματα

Τα συστήματα αριθμών μη θέσεων και θέσεων χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση αριθμών.

Συστήματα αριθμών χωρίς θέση

Μόλις οι άνθρωποι άρχισαν να μετρούν, άρχισαν να χρειάζεται να γράφουν αριθμούς. Τα ευρήματα των αρχαιολόγων σε τοποθεσίες πρωτόγονων ανθρώπων δείχνουν ότι αρχικά ο αριθμός των αντικειμένων εμφανιζόταν από ίσο αριθμό εικονιδίων (ετικέτες): εγκοπές, παύλες, τελείες. Αργότερα, για να διευκολυνθεί η καταμέτρηση, αυτά τα εικονίδια άρχισαν να ομαδοποιούνται σε ομάδες των τριών ή πέντε. Αυτό το σύστημα γραφής αριθμών ονομάζεται μονάδα (μοναδική), αφού οποιοσδήποτε αριθμός σε αυτόν σχηματίζεται με την επανάληψη ενός σημείου, συμβολίζοντας ένα. Απόηχοι του συστήματος αριθμών μονάδας βρίσκονται ακόμη και σήμερα. Έτσι, για να μάθετε σε ποιο μάθημα σπουδάζει ένας δόκιμος στρατιωτικής σχολής, πρέπει να μετρήσετε πόσες ρίγες είναι ραμμένες στο μανίκι του. Χωρίς να το καταλαβαίνουν, τα παιδιά χρησιμοποιούν το σύστημα αριθμών μονάδας, δείχνοντας την ηλικία τους στα δάχτυλά τους και μετρώντας ραβδιά χρησιμοποιούνται για να διδάξουν στους μαθητές της 1ης τάξης πώς να μετρούν. Ας δούμε διαφορετικά συστήματα αριθμών.

Το σύστημα μονάδων δεν είναι ο πιο βολικός τρόπος για να γράψετε αριθμούς. Η εγγραφή μεγάλων ποσοτήτων με αυτόν τον τρόπο είναι κουραστική και οι ίδιοι οι δίσκοι είναι πολύ μεγάλοι. Με τον καιρό, προέκυψαν άλλα, πιο βολικά συστήματα αριθμών.

Αρχαίο αιγυπτιακό δεκαδικό σύστημα μη θέσεων. Γύρω στην τρίτη χιλιετία π.Χ., οι αρχαίοι Αιγύπτιοι βρήκαν το δικό τους αριθμητικό σύστημα, στο οποίο οι αριθμοί κλειδιών ήταν 1, 10, 100 κ.λπ. χρησιμοποιήθηκαν ειδικά εικονίδια - ιερογλυφικά. Όλοι οι άλλοι αριθμοί συντάχθηκαν από αυτούς τους βασικούς αριθμούς χρησιμοποιώντας τη λειτουργία της πρόσθεσης. Το σύστημα αριθμών της Αρχαίας Αιγύπτου είναι δεκαδικό, αλλά μη θέσεων. Σε συστήματα μη θέσεων αριθμών, το ποσοτικό ισοδύναμο κάθε ψηφίου δεν εξαρτάται από τη θέση του (τόπος, θέση) στην εγγραφή αριθμών. Για παράδειγμα, για να απεικονιστεί το 3252, σχεδιάστηκαν τρία άνθη λωτού (τρεις χιλιάδες), δύο τυλιγμένα φύλλα φοίνικα (δύο εκατοντάδες), πέντε τόξα (πέντε δεκάδες) και δύο στύλοι (δύο μονάδες). Το μέγεθος του αριθμού δεν εξαρτιόταν από τη σειρά με την οποία βρίσκονταν τα συστατικά του σημεία: μπορούσαν να γραφτούν από πάνω προς τα κάτω, από δεξιά προς τα αριστερά ή να παρεμβάλλονται.

Ρωμαϊκό σύστημα αριθμών. Ένα παράδειγμα ενός συστήματος μη θέσης που έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα είναι το σύστημα αριθμών που χρησιμοποιήθηκε πριν από δυόμισι χιλιάδες χρόνια στην Αρχαία Ρώμη. Το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών βασίστηκε στα σημάδια I (ένα δάχτυλο) για τον αριθμό 1, V (ανοιχτή παλάμη) για τον αριθμό 5, X (δύο διπλωμένες παλάμες) για το 10 και τα πρώτα γράμματα των αντίστοιχων λατινικών λέξεων άρχισαν να είναι χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των αριθμών 100, 500 και 1000 (Centum – εκατό, Demimille – μισή χίλια, Mille – χίλια). Για να γράψουν έναν αριθμό, οι Ρωμαίοι τον αποσυνέθεσαν σε άθροισμα χιλιάδων, μισών χιλιάδων, εκατοντάδων, πενήντα, δεκάδων, τακουνιών, μονάδων. Για παράδειγμα, ο δεκαδικός αριθμός 28 αντιπροσωπεύεται ως εξής:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (δύο δεκάδες, τακούνια, τρία ένα).

Για την καταγραφή των ενδιάμεσων αριθμών, οι Ρωμαίοι χρησιμοποιούσαν όχι μόνο πρόσθεση, αλλά και αφαίρεση. Σε αυτήν την περίπτωση, εφαρμόστηκε ο ακόλουθος κανόνας: κάθε μικρότερο σύμβολο που τοποθετείται στα δεξιά του μεγαλύτερου προστίθεται στην αξία του και κάθε μικρότερο σύμβολο που τοποθετείται στα αριστερά του μεγαλύτερου αφαιρείται από αυτό. Για παράδειγμα, IX σημαίνει 9, XI σημαίνει 11.

Ο δεκαδικός αριθμός 99 έχει την εξής παράσταση:

XCIХ = –10+100–1+10.

Οι ρωμαϊκοί αριθμοί χρησιμοποιούνται εδώ και πολύ καιρό. Ακόμη και πριν από 200 χρόνια, στα επαγγελματικά έγγραφα, οι αριθμοί έπρεπε να συμβολίζονται με λατινικούς αριθμούς (πιστευόταν ότι οι συνηθισμένοι αραβικοί αριθμοί ήταν εύκολο να παραποιηθούν). Το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών χρησιμοποιείται σήμερα κυρίως για την ονομασία σημαντικών ημερομηνιών, τόμων, ενοτήτων και κεφαλαίων σε βιβλία.

Αλφαβητικά συστήματα αριθμών. Τα αλφαβητικά συστήματα ήταν πιο προηγμένα συστήματα αριθμών χωρίς θέση. Τέτοια αριθμητικά συστήματα περιελάμβαναν ελληνικά, σλαβικά, φοινικικά και άλλα. Σε αυτά, οι αριθμοί από το 1 έως το 9, οι ακέραιοι αριθμοί των δεκάδων (από το 10 έως το 90) και οι ακέραιοι αριθμοί των εκατοντάδων (από το 100 έως το 900) προσδιορίστηκαν με γράμματα του αλφαβήτου. Στο αλφαβητικό αριθμητικό σύστημα της Αρχαίας Ελλάδας οι αριθμοί 1, 2, ..., 9 προσδιορίζονταν από τα πρώτα εννέα γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου κ.λπ. Τα ακόλουθα 9 γράμματα χρησιμοποιήθηκαν για να δηλώσουν τους αριθμούς 10, 20, ..., 90 και τα τελευταία 9 γράμματα χρησιμοποιήθηκαν για να δηλώσουν τους αριθμούς 100, 200, ..., 900.

Μεταξύ των σλαβικών λαών, οι αριθμητικές τιμές των γραμμάτων καθορίστηκαν με τη σειρά του σλαβικού αλφαβήτου, το οποίο χρησιμοποιούσε πρώτα το γλαγολιτικό αλφάβητο και μετά το κυριλλικό αλφάβητο.

Στη Ρωσία, η σλαβική αρίθμηση διατηρήθηκε μέχρι τα τέλη του 17ου αιώνα. Επί Πέτρου Α' επικρατούσε η λεγόμενη αραβική αρίθμηση, την οποία χρησιμοποιούμε ακόμα και σήμερα. Η σλαβική αρίθμηση διατηρήθηκε μόνο σε λειτουργικά βιβλία.

Τα συστήματα αριθμών χωρίς θέση έχουν μια σειρά από σημαντικά μειονεκτήματα:

• Υπάρχει διαρκής ανάγκη εισαγωγής νέων συμβόλων για την καταγραφή μεγάλων αριθμών.

• Είναι αδύνατο να αναπαραστήσουμε κλασματικούς και αρνητικούς αριθμούς.

• Είναι δύσκολο να εκτελεστούν αριθμητικές πράξεις γιατί δεν υπάρχουν αλγόριθμοι για την εκτέλεσή τους.

Συστήματα θέσεων αριθμών

Στα συστήματα αριθμών θέσης, το ποσοτικό ισοδύναμο κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση (θέση) του στον κωδικό (εγγραφή) του αριθμού. Σήμερα έχουμε συνηθίσει να χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα θέσης - οι αριθμοί γράφονται με 10 ψηφία. Το πιο δεξί ψηφίο δηλώνει μονάδες, το αριστερό - δεκάδες, ακόμα πιο αριστερά - εκατοντάδες κ.λπ.

Για παράδειγμα: 1) sexagesimal (Αρχαία Βαβυλώνα) – το πρώτο σύστημα αριθμών θέσης. Μέχρι τώρα, κατά τη μέτρηση του χρόνου, χρησιμοποιείται μια βάση 60 (1min = 60s, 1h = 60min). 2) δωδεκαδικό σύστημα αριθμών (ο αριθμός 12 - «ντουζίνα» - χρησιμοποιήθηκε ευρέως τον 19ο αιώνα: υπάρχουν δύο δωδεκάδες ώρες την ημέρα). Μετρώντας όχι με τα δάχτυλα, αλλά με τις αρθρώσεις. Κάθε δάχτυλο, εκτός από τον αντίχειρα, έχει 3 αρθρώσεις - 12 συνολικά. 3) επί του παρόντος τα πιο κοινά συστήματα αριθμών θέσης είναι δεκαδικά, δυαδικά, οκταδικά και δεκαεξαδικά (χρησιμοποιούνται ευρέως στον προγραμματισμό χαμηλού επιπέδου και γενικά στην τεκμηρίωση υπολογιστών, καθώς στους σύγχρονους υπολογιστές η ελάχιστη μονάδα μνήμης είναι ένα byte 8 bit, οι τιμές εκ των οποίων είναι βολικά γραμμένα σε δύο δεκαεξαδικά ψηφία).

Σε οποιοδήποτε σύστημα θέσεων, ένας αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως πολυώνυμο.

Ας δείξουμε πώς να αναπαραστήσουμε έναν δεκαδικό αριθμό ως πολυώνυμο:

Τύποι αριθμητικών συστημάτων

Το πιο σημαντικό πράγμα που πρέπει να γνωρίζετε για το σύστημα αριθμών είναι ο τύπος του: προσθετικό ή πολλαπλασιαστικό. Στον πρώτο τύπο, κάθε ψηφίο έχει τη δική του σημασία και για να διαβάσετε τον αριθμό πρέπει να προσθέσετε όλες τις τιμές των ψηφίων που χρησιμοποιούνται:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Στον δεύτερο τύπο, κάθε ψηφίο μπορεί να έχει διαφορετική σημασία ανάλογα με τη θέση του στον αριθμό:

(ιερογλυφικά κατά σειρά: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Εδώ το ιερογλυφικό «2» χρησιμοποιείται δύο φορές και σε κάθε περίπτωση πήρε διαφορετικές έννοιες «2000» και «20».

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Για ένα πρόσθετο ("πρόσθετο") σύστημα, πρέπει να γνωρίζετε όλους τους αριθμούς και τα σύμβολα με τη σημασία τους (υπάρχουν έως και 4-5 δωδεκάδες από αυτά) και τη σειρά εγγραφής. Για παράδειγμα, στη λατινική σημείωση, εάν ένα μικρότερο ψηφίο γράφεται πριν από ένα μεγαλύτερο, τότε εκτελείται αφαίρεση και αν μετά, τότε πρόσθεση (IV = (5–1) = 4, VI ​​= (5+1) = 6) .

Για ένα πολλαπλασιαστικό σύστημα, πρέπει να γνωρίζετε την εικόνα των αριθμών και τη σημασία τους, καθώς και τη βάση του συστήματος αριθμών. Ο προσδιορισμός της βάσης είναι πολύ εύκολος, απλά χρειάζεται να υπολογίσετε εκ νέου τον αριθμό των σημαντικών ψηφίων στο σύστημα. Για να το θέσω απλά, αυτός είναι ο αριθμός από τον οποίο ξεκινά το δεύτερο ψηφίο του αριθμού. Για παράδειγμα, χρησιμοποιούμε τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Υπάρχουν ακριβώς 10 από αυτούς, επομένως η βάση του συστήματος αριθμών μας είναι επίσης 10, και το σύστημα αριθμών είναι ονομάζεται «δεκαδικός». Το παραπάνω παράδειγμα χρησιμοποιεί τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (οι βοηθητικοί 10, 100, 1000, 10000 κ.λπ. δεν υπολογίζονται). Υπάρχουν επίσης 10 κύριοι αριθμοί εδώ και το σύστημα αριθμών είναι δεκαδικό.

Όπως μπορείτε να μαντέψετε, όσοι αριθμοί υπάρχουν, μπορεί να υπάρχουν τόσες βάσεις συστημάτων αριθμών. Αλλά χρησιμοποιούνται μόνο οι πιο βολικές βάσεις συστημάτων αριθμών. Γιατί πιστεύετε ότι η βάση του πιο συχνά χρησιμοποιούμενου ανθρώπινου συστήματος αριθμών είναι το 10; Ναι, ακριβώς επειδή έχουμε 10 δάχτυλα στα χέρια μας. «Αλλά υπάρχουν μόνο πέντε δάχτυλα στο ένα χέρι», θα πουν κάποιοι και θα έχουν δίκιο. Η ιστορία της ανθρωπότητας γνωρίζει παραδείγματα πενταπλάσιων συστημάτων αριθμών. «Και με τα πόδια υπάρχουν είκοσι δάχτυλα», θα πουν άλλοι, και θα έχουν επίσης απόλυτο δίκιο. Αυτό ακριβώς πίστευαν οι Μάγια. Αυτό φαίνεται ακόμη και στους αριθμούς τους.

Η έννοια της «ντουζίνας» είναι πολύ ενδιαφέρουσα. Όλοι γνωρίζουν ότι πρόκειται για 12, αλλά λίγοι γνωρίζουν από πού προήλθε αυτός ο αριθμός. Κοιτάξτε τα χέρια σας, ή μάλλον, το ένα χέρι. Πόσες φάλαγγες υπάρχουν σε όλα τα δάχτυλα του ενός χεριού, χωρίς να υπολογίζουμε τον αντίχειρα; Σωστά, δώδεκα. Και ο αντίχειρας προορίζεται να σημαδέψει τις μετρημένες φάλαγγες.

Και αν από την άλλη σημαδέψουμε με τα δάχτυλά μας τον αριθμό των πλήρεις δεκάδες, θα πάρουμε το γνωστό σεξουαλικό βαβυλωνιακό σύστημα.

Διαφορετικοί πολιτισμοί μετρούσαν διαφορετικά, αλλά ακόμα και τώρα μπορείτε να βρείτε στη γλώσσα, στα ονόματα και τις εικόνες των αριθμών, τα υπολείμματα τελείως διαφορετικών συστημάτων αριθμών που χρησιμοποιούσαν κάποτε αυτοί οι άνθρωποι.

Έτσι οι Γάλλοι είχαν κάποτε ένα σύστημα αριθμών βάσης-20, αφού το 80 στα γαλλικά ακούγεται σαν «τέσσερις επί είκοσι».

Οι Ρωμαίοι, ή οι προκάτοχοί τους, χρησιμοποιούσαν κάποτε το πενταπλό σύστημα, αφού το V δεν είναι τίποτα άλλο από την εικόνα μιας παλάμης με τον αντίχειρα σε έκταση και το Χ είναι δύο από τα ίδια χέρια.