Çok sayıda sayının asal çarpanlara ayrılması. Bir sayıyı çevrimiçi olarak asal çarpanlarına ayırma

Bu yazıda soruyu cevaplamak için gerekli tüm bilgileri bulacaksınız, bir sayıyı asal çarpanlarına nasıl ayırabilirim. Öncelikle bir sayının asal çarpanlarına ayrıştırılması hakkında genel bir fikir verilmiş ve ayrıştırma örnekleri verilmiştir. Aşağıda bir sayıyı asal çarpanlara ayırmanın kanonik biçimi gösterilmektedir. Daha sonra rastgele sayıların asal çarpanlarına ayrıştırılması için bir algoritma verilmiş ve bu algoritma kullanılarak sayıların ayrıştırılmasına ilişkin örnekler verilmiştir. Bölünebilme testleri ve çarpım tablolarını kullanarak küçük tam sayıları hızlı bir şekilde asal çarpanlara ayırmanıza olanak tanıyan alternatif yöntemler de dikkate alınır.

Sayfada gezinme.

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırmak ne anlama gelir?

Öncelikle asal faktörlerin neler olduğuna bakalım.

Bu ifadede "faktörler" kelimesi geçtiğine göre bazı sayıların çarpımı olduğu ve "basit" niteleyici kelimesinin her faktörün asal sayı olduğu anlamına geldiği açıktır. Örneğin 2·7·7·23 formundaki bir çarpımda dört asal çarpan vardır: 2, 7, 7 ve 23.

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırmak ne anlama gelir?

Bu demektir verilen numara asal faktörlerin çarpımı olarak temsil edilmeli ve bu çarpımın değeri orijinal sayıya eşit olmalıdır. Örnek olarak 2, 3 ve 5 asal sayılarının çarpımı 30'a eşittir, dolayısıyla 30 sayısının asal çarpanlara ayrıştırması 2·3·5 olur. Genellikle bir sayının asal çarpanlara ayrıştırılması eşitlik olarak yazılır; örneğimizde şu şekilde olacaktır: 30=2·3·5. Genişlemedeki asal faktörlerin tekrarlanabileceğini ayrı ayrı vurguluyoruz. Bu, aşağıdaki örnekte açıkça gösterilmektedir: 144=2·2·2·2·3·3. Ancak 45=3·15 formunun temsili asal çarpanlara ayrıştırma değildir, çünkü 15 sayısı bileşik bir sayıdır.

Şu soru ortaya çıkıyor: "Hangi sayılar asal çarpanlara ayrılabilir?"

Bunun cevabını bulmak için aşağıdaki gerekçeyi sunuyoruz. Asal sayılar tanım gereği birden büyük sayılar arasındadır. Bu gerçek göz önüne alındığında ve birkaç asal faktörün çarpımının birden büyük pozitif bir tam sayı olduğu ileri sürülebilir. Bu nedenle asal çarpanlara ayırma yalnızca 1'den büyük pozitif tam sayılar için gerçekleşir.

Ancak birden büyük tüm tam sayılar asal çarpanlara ayrılabilir mi?

Basit tam sayıları asal çarpanlara ayırmanın mümkün olmadığı açıktır. Bunun nedeni, asal sayıların yalnızca iki pozitif çarpanı (bir ve kendisi) olması ve dolayısıyla iki veya daha fazla asal sayının çarpımı olarak temsil edilememesidir. Eğer z tam sayısı, a ve b asal sayılarının çarpımı olarak temsil edilebilseydi, bölünebilirlik kavramı, z'nin hem a hem de b'ye bölünebildiği sonucuna varmamızı sağlardı ki bu, z sayısının basitliğinden dolayı imkansızdır. Ancak herhangi bir asal sayının kendisinin bir ayrıştırma olduğuna inanıyorlar.

Bileşik sayılar ne olacak? Katlanıyorlar mı? bileşik sayılar asal çarpanlara bölünebilir mi ve tüm bileşik sayılar bu tür bir ayrıştırmaya tabi midir? Aritmetiğin temel teoremi bu soruların birçoğuna olumlu yanıt verir. Aritmetiğin temel teoremi, 1'den büyük herhangi bir a tam sayısının p 1, p 2, ..., p n asal çarpanlarının çarpımına ayrıştırılabileceğini ve ayrıştırmanın a = p 1 · p 2 · biçiminde olduğunu belirtir. … · p n ve bu genişleme benzersizdir, eğer faktörlerin sırasını dikkate almazsanız

Bir sayının asal faktörlere kanonik çarpanlara ayrılması

Bir sayının açılımında asal çarpanlar tekrarlanabilir. Tekrarlanan asal faktörler kullanılarak daha kompakt bir şekilde yazılabilir. Bir sayının ayrıştırılmasında p 1 asal çarpanının s 1 kere, p 2 – s asal çarpanının 2 kere ve bu şekilde p n – s n kere meydana geldiğini varsayalım. O halde a sayısının asal çarpanlarına ayrılması şu şekilde yazılabilir: a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Bu kayıt şekline sözde Bir sayının asal faktörlere kanonik çarpanlarına ayrılması.

Bir sayının asal çarpanlara kanonik olarak ayrıştırılmasına bir örnek verelim. Ayrışmayı bize bildirin 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, kanonik gösterimi şu şekildedir: 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Bir sayının asal çarpanlara ayrılması, sayının tüm bölenlerini ve bölenlerin sayısını bulmanızı sağlar.

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma algoritması

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırma göreviyle başarılı bir şekilde başa çıkabilmek için asal ve bileşik sayılar makalesindeki bilgiler hakkında çok iyi bilgiye sahip olmanız gerekir.

Bir'i aşan pozitif bir tam sayı a'yı ayrıştırma sürecinin özü, aritmetiğin temel teoreminin kanıtından açıktır. Önemli olan a, a 1, a 2, ..., a n-1 sayılarının en küçük asal bölenlerini (p 1, p 2, ..., p n) sırayla bulmaktır, bu da bir dizi eşitlik elde etmemizi sağlar. a=p 1 ·a 1, burada a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , burada a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·an , burada a n =a n-1:p n . Bir n =1 ortaya çıktığında, a=p 1 · p 2 ·…·p n eşitliği bize a sayısının asal çarpanlara istenen ayrıştırılmasını verecektir. Burada şunu da belirtmek gerekir ki p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Her adımda en küçük asal çarpanların nasıl bulunacağını bulmaya devam ediyoruz ve bir sayıyı asal çarpanlara ayırmak için bir algoritmamız olacak. Asal sayılar tablosu asal çarpanları bulmamıza yardımcı olacaktır. Z sayısının en küçük asal bölenini elde etmek için bunu nasıl kullanacağımızı gösterelim.

Asal sayılar tablosundan (2, 3, 5, 7, 11 vb.) sırayla asal sayıları alıyoruz ve verilen z sayısını bunlara bölüyoruz. Z'nin eşit olarak bölündüğü ilk asal sayı, onun en küçük asal böleni olacaktır. Z sayısı asalsa, bu sayının en küçük asal böleni z sayısının kendisi olacaktır. Burada şunu da hatırlamak gerekir ki eğer z değilse asal sayı ise, en küçük asal böleni z'den itibaren olan sayıyı aşmaz. Dolayısıyla, aşmayan asal sayılar arasında z sayısının tek bir böleni yoksa, z'nin bir asal sayı olduğu sonucuna varabiliriz (bununla ilgili daha fazla bilgi teori bölümünde Bu sayı asal veya bileşiktir başlığı altında yazılmıştır). ).

Örnek olarak 87 sayısının en küçük asal böleninin nasıl bulunacağını göstereceğiz. 2 sayısını ele alalım. 87'yi 2'ye bölersek 87:2=43 elde ederiz (kalan 1) (gerekirse makaleye bakın). Yani 87'yi 2'ye böldüğümüzde kalan 1 oluyor yani 2, 87 sayısının böleni değil. Asal sayılar tablosundan bir sonraki asal sayıyı alıyoruz, bu 3 sayısıdır. 87'yi 3'e bölersek 87:3=29 sonucunu buluruz. Dolayısıyla 87, 3'e bölünebilir, dolayısıyla 3 sayısı, 87 sayısının en küçük asal böleni olur.

Genel durumda, bir a sayısını asal çarpanlara ayırmak için, 'den az olmayan bir sayıya kadar asal sayılar tablosuna ihtiyacımız olduğunu unutmayın. Her adımda bu tabloya başvurmamız gerekecek, bu yüzden onu elimizde bulundurmamız gerekiyor. Örneğin, 95 sayısını asal çarpanlara ayırmak için yalnızca 10'a kadar asal sayıların yer aldığı bir tabloya ihtiyacımız olacak (çünkü 10, 'den büyüktür). Ve 846.653 sayısını ayrıştırmak için zaten 1.000'e kadar asal sayılar tablosuna ihtiyacınız olacak (çünkü 1.000, 'den büyük).

Artık yazacak kadar bilgimiz var Bir sayıyı asal çarpanlara ayırma algoritması. A sayısını ayrıştırma algoritması aşağıdaki gibidir:

• Asal sayılar tablosundaki sayıları sırayla sıralayarak, a sayısının en küçük asal bölenini p 1 buluruz ve ardından 1 =a:p 1'i hesaplarız. Eğer a 1 =1 ise, o zaman a sayısı asaldır ve kendisi de onun asal faktörlere ayrıştırılmasıdır. Eğer a 1, 1'e eşit değilse, o zaman a=p 1 ·a 1 elde ederiz ve bir sonraki adıma geçeriz.
• a 1 sayısının en küçük asal bölenini p 2 buluruz, bunu yapmak için p 1'den başlayarak asal sayılar tablosundaki sayıları sırayla sıralarız ve ardından a 2 =a 1:p 2'yi hesaplarız. Eğer a 2 =1 ise, a sayısının asal çarpanlara gerekli ayrıştırılması a=p 1 · p 2 şeklinde olur. Eğer a 2, 1'e eşit değilse, o zaman a=p 1 ·p 2 ·a 2 elde ederiz ve bir sonraki adıma geçeriz.
• Asal sayılar tablosundaki sayıları p 2'den başlayarak inceleyerek, a 2 sayısının en küçük asal bölenini p 3 buluyoruz ve ardından a 3 =a 2:p 3'ü hesaplıyoruz. Eğer a 3 =1 ise, o zaman a sayısının asal çarpanlara gerekli ayrıştırması a=p 1 · p 2 · p 3 biçiminde olur. Eğer a 3, 1'e eşit değilse, o zaman a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 elde ederiz ve bir sonraki adıma geçeriz.
• a n-1 sayısının en küçük asal bölenini p n, p n-1'den başlayarak asal sayıları sıralayarak ve ayrıca a n =a n-1:p n ve a n eşittir 1'e göre buluruz. Bu adım, algoritmanın son adımıdır; burada a sayısının asal çarpanlara ayrıştırılması gerekir: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Açıklık sağlamak için, bir sayıyı asal faktörlere ayırma algoritmasının her adımında elde edilen tüm sonuçlar, a, a 1, a 2, ..., n sayılarının sırayla yazıldığı aşağıdaki tablo biçiminde sunulmuştur. dikey çizginin solundaki ve çizginin sağındaki bir sütunda - karşılık gelen en küçük asal bölenler p 1, p 2, ..., p n.

Geriye kalan tek şey, sayıları asal çarpanlara ayırmak için elde edilen algoritmanın uygulanmasına ilişkin birkaç örneği ele almaktır.

Asal çarpanlara ayırma örnekleri

Şimdi detaylı olarak bakacağız sayıları asal çarpanlarına ayırma örnekleri. Ayrıştırma sırasında önceki paragraftaki algoritmayı kullanacağız. Sayıları asal çarpanlara ayırırken ortaya çıkabilecek tüm olası nüanslarla karşılaşmak için basit durumlarla başlayalım ve bunları yavaş yavaş karmaşıklaştıralım.

Örnek.

78 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.

Çözüm.

a=78 sayısının ilk en küçük asal bölenini (p1) aramaya başlıyoruz. Bunu yapmak için asal sayılar tablosundan asal sayıları sırayla sıralamaya başlıyoruz. 2 sayısını alıp 78'i buna bölersek 78:2=39 sonucunu elde ederiz. 78 sayısı 2'ye kalansız olarak bölündüğünden p 1 =2, 78 sayısının ilk bulunan asal böleni olur. Bu durumda a 1 =a:p 1 =78:2=39. Böylece 78=2·39 formundaki a=p 1 ·a 1 eşitliğine ulaşıyoruz. Açıkçası, 1 =39 1'den farklıdır, dolayısıyla algoritmanın ikinci adımına geçiyoruz.

Şimdi a 1 =39 sayısının en küçük asal böleni p 2'yi arıyoruz. Sayıları asal sayılar tablosundan p 1 =2 ile başlayarak numaralandırmaya başlıyoruz. 39'u 2'ye bölersek 39:2=19 (kalan 1) sonucunu elde ederiz. 39, 2'ye tam olarak bölünemediğinden 2, bölen değildir. Daha sonra asal sayılar tablosundan bir sonraki sayıyı (3 sayısı) alıp 39'u buna bölersek 39:3=13 elde ederiz. Dolayısıyla p 2 =3, 39 sayısının en küçük asal böleni olurken, a 2 =a 1:p 2 =39:3=13 olur. 78=2·3·13 formunda a=p 1 ·p 2 ·a 2 eşitliğine sahibiz. 2 =13, 1'den farklı olduğundan algoritmanın bir sonraki adımına geçiyoruz.

Burada a 2 =13 sayısının en küçük asal bölenini bulmamız gerekiyor. 13 sayısının en küçük asal bölenini bulmak için p 2 =3'ten başlayarak asal sayılar tablosundaki sayıları sıralı olarak sıralayacağız. 13 sayısı 3'e bölünmez çünkü 13:3=4 (geri kalan 1) ve 13 sayısı da 5, 7 ve 11'e bölünmez, çünkü 13:5=2 (geri kalan 3), 13:7=1 (geri kalan 6) ve 13:11=1 (geri kalan 2). Bir sonraki asal sayı 13'tür ve 13 ona kalansız bölünebilir, dolayısıyla 13'ün en küçük asal böleni p 3 13 sayısının kendisidir ve a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. 3 =1 olduğundan, algoritmanın bu adımı son adımdır ve 78 sayısının asal çarpanlara gerekli ayrıştırması 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3) biçimindedir.

Cevap:

78=2·3·13.

Örnek.

83.006 sayısını asal çarpanların çarpımı olarak ifade edin.

Çözüm.

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırma algoritmasının ilk adımında, p 1 =2 ve a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503'ü buluruz, buradan 83,006=2·41,503 olur.

İkinci adımda a 1 =41,503 sayısının asal bölenleri 2, 3 ve 5 değil, 41,503:7=5,929 olduğundan 7 sayısının asal bölenleri olduğunu görüyoruz. p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929'a sahibiz. Böylece, 83.006=2 7 5 929 olur.

a 2 =5 929 sayısının en küçük asal böleni 5 929:7 = 847 olduğundan 7 sayısıdır. Böylece, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, buradan 83 006 = 2·7·7·847.

Daha sonra a3 =847 sayısının en küçük asal böleni p4'ün 7'ye eşit olduğunu buluyoruz. O halde a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, yani 83 006=2·7·7·7·121.

Şimdi a 4 =121 sayısının en küçük asal bölenini buluyoruz, bu sayı p 5 =11'dir (121, 11'e bölünebildiği ve 7'ye bölünemediği için). O halde a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 ve 83 006=2·7·7·7·11·11.

Son olarak a 5 =11 sayısının en küçük asal böleni p 6 =11 sayısıdır. O halde a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. 6 =1 olduğundan, bir sayıyı asal çarpanlara ayırma algoritmasının bu adımı son adımdır ve istenen ayrıştırma 83 006 = 2·7·7·7·11·11 biçimine sahiptir.

Elde edilen sonuç, sayının 83 006 = 2·7 3 ·11 2 asal çarpanlarına kanonik ayrıştırılması olarak yazılabilir.

Cevap:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 bir asal sayıdır. Aslında (991 olduğu açık olduğundan kabaca olarak tahmin edilebilir) değerini aşmayan tek bir asal böleni yoktur.<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Cevap:

897 924 289=937·967·991.

Asal çarpanlara ayırma için bölünebilirlik testlerini kullanma

Basit durumlarda, bu makalenin ilk paragrafındaki ayrıştırma algoritmasını kullanmadan bir sayıyı asal çarpanlara ayırabilirsiniz. Sayılar büyük değilse, onları asal çarpanlara ayırmak için genellikle bölünebilme işaretlerini bilmek yeterlidir. Açıklığa kavuşturmak için örnekler verelim.

Örneğin 10 sayısını asal çarpanlarına ayırmamız gerekiyor. Çarpım tablosundan 2·5=10 olduğunu biliyoruz ve 2 ile 5 sayıları açıkça asaldır, dolayısıyla 10 sayısının asal çarpanlarına ayrılması 10=2·5 gibi görünür.

Başka bir örnek. Çarpım tablosunu kullanarak 48 sayısını asal çarpanlarına ayıracağız. Altının sekiz - kırk sekiz olduğunu, yani 48 = 6.8 olduğunu biliyoruz. Ancak ne 6 ne de 8 asal sayı değildir. Ama iki kere üçün altı, iki kere dördün sekiz ettiğini biliyoruz, yani 6=2·3 ve 8=2·4. O halde 48=6·8=2·3·2·4. Geriye iki kere ikinin dört ettiğini hatırlamamız kalıyor, o zaman 48 = 2·3·2·2·2 asal çarpanlarına istenen ayrıştırmayı elde ederiz. Bu açılımı kanonik biçimde yazalım: 48=2 4 ·3.

Ancak 3.400 sayısını asal çarpanlara ayırırken bölünebilme kriterini kullanabilirsiniz. 10'a bölünebilme işaretleri, 100'e göre 3400'ün 100'e bölünebileceğini, 3400=34·100, 100'ün ise 10'a bölünebileceğini, 100=10·10 yani 3400=34·10·10 olduğunu ifade etmemizi sağlar. Ve 2'ye bölünebilirlik testine dayanarak 34, 10 ve 10 çarpanlarının her birinin 2'ye bölünebilir olduğunu söyleyebiliriz. 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Ortaya çıkan genişlemedeki tüm faktörler basittir, dolayısıyla bu genişleme istenen genişlemedir. Geriye kalan tek şey, faktörleri artan sırada olacak şekilde yeniden düzenlemek: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Bu sayının asal çarpanlarına kanonik ayrıştırmasını da yazalım: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Belirli bir sayıyı asal çarpanlara ayırırken sırasıyla hem bölünebilirlik işaretlerini hem de çarpım tablosunu kullanabilirsiniz. 75 sayısını asal çarpanların çarpımı olarak düşünelim. 5'e bölünebilirlik testi, 75'in 5'e bölünebilir olduğunu belirtmemizi sağlar ve 75 = 5·15 sonucunu elde ederiz. Çarpım tablosundan da 15=3·5 olduğunu biliyoruz, dolayısıyla 75=5·3·5 olur. Bu, 75 sayısının asal çarpanlarına gerekli ayrıştırılmasıdır.

Kaynakça.

• Vilenkin N.Ya. ve diğerleri. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı.
• Vinogradov I.M. Sayı teorisinin temelleri.
• Mikhelovich Sh.H. Sayı teorisi.
• Kulikov L.Ya. ve diğerleri. Cebir ve sayılar teorisindeki problemlerin toplanması: Fizik ve matematik öğrencileri için ders kitabı. pedagoji enstitülerinin uzmanlık alanları.

Bu çevrimiçi hesap makinesi, asal faktörleri sıralayarak sayıları asal faktörlere ayırır. Sayı büyükse sunum kolaylığı için rakam ayırıcı kullanın.

Sonuç zaten alındı!

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırma - teori, algoritma, örnekler ve çözümler

Bir sayıyı çarpanlarına ayırmanın en basit yollarından biri, sayının 2, 3, 5 vb. ile bölünebilir olup olmadığını kontrol etmektir. Bir sayının bir dizi asal sayıya bölünüp bölünemediğini kontrol edin. eğer sayı N'ye kadar hiçbir asal sayıya bölünemiyorsa bu sayı asaldır çünkü sayı bileşik ise en az iki çarpanı vardır ve her ikisi de 'den büyük olamaz.

Sayı ayrıştırma algoritmasını hayal edelim N asal faktörlere ayrılır. Önceden asal sayılar tablosu hazırlayalım S=. Bir dizi asal sayıyı şu şekilde gösterelim: P 1 , P 2 , P 3 , ...

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırma algoritması:

Örnek 1. 153 sayısını asal çarpanlarına ayırın.

Çözüm. kadar asal sayılar tablosunun olması bizim için yeterlidir. , yani 2, 3, 5, 7, 11.

153'ü 2'ye bölün. 153, 2'ye kalansız bölünemez. Daha sonra 153'ü asal sayılar tablosunun bir sonraki elemanına bölün, yani. 3. 153:3=51'de. Tabloyu doldurun:

Daha sonra 17 sayısının 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol ediyoruz. 17 sayısı 3'e bölünmez. 5, 7, 11 sayılarına bölünmez. Sonraki bölen daha büyüktür . Dolayısıyla 17, yalnızca kendisine bölünebilen bir asal sayıdır: 17:17=1. Prosedür durduruldu. tabloyu doldurun:

153, 51, 17 sayılarının kalansız olarak bölündüğü bölenleri seçiyoruz; tüm sayılar tablonun sağ tarafındadır. Bunlar 3, 3, 17'nin bölenleridir. Artık 153 sayısı asal sayıların çarpımı olarak gösterilebilir: 153=3·3·17.

Örnek 2. 137 sayısını asal çarpanlara ayırın.

Çözüm. Hesaplıyoruz . Bu, 137 sayısının 11'e kadar asal sayılara bölünebilirliğini kontrol etmemiz gerektiği anlamına gelir: 2,3,5,7,11. 137 sayısını bu sayılara tek tek bölerek 137 sayısının 2,3,5,7,11 sayılarından hiçbirine bölünmediğini öğreniyoruz. Bu nedenle 137 asal bir sayıdır.

Bu makale, bir sayfadaki bir sayıyı çarpanlara ayırma sorusunun yanıtlarını vermektedir. Örneklerle genel ayrıştırma fikrine bakalım. Genişletmenin kanonik formunu ve algoritmasını analiz edelim. Tüm alternatif yöntemler, bölünebilme işaretleri ve çarpım tabloları kullanılarak değerlendirilecektir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırmak ne anlama gelir?

Asal faktörler kavramına bakalım. Her asal çarpanın bir asal sayı olduğu bilinmektedir. 2 · 7 · 7 · 23 formundaki bir çarpımda 2, 7, 7, 23 formunda 4 asal çarpanımız var.

Çarpanlara ayırma, asal sayıların çarpımı şeklinde temsil edilmesini içerir. 30 sayısını ayrıştırmamız gerekirse 2, 3, 5 elde ederiz. Giriş 30 = 2 · 3 · 5 formunu alacaktır. Çarpanların tekrarlanması mümkündür. 144 gibi bir sayı 144 = 2 2 2 2 3 3'tür.

Tüm sayılar çürümeye eğilimli değildir. 1'den büyük ve tam sayı olan sayılar çarpanlara ayrılabilir. Asal sayılar çarpanlara ayrıldığında yalnızca 1'e ve kendilerine bölünebildiğinden bu sayıların çarpım olarak gösterilmesi imkansızdır.

Z tam sayıları ifade ettiğinde, a ve b'nin çarpımı olarak temsil edilir; burada z, a ve b'ye bölünür. Bileşik sayılar, aritmetiğin temel teoremi kullanılarak asal çarpanlara ayrılır. Sayı 1'den büyükse çarpanlara ayrılması p 1, p 2, ..., p n a = p 1 , p 2 , … , p n formunu alır . Ayrışmanın tek bir varyantta olduğu varsayılmaktadır.

Bir sayının asal faktörlere kanonik çarpanlara ayrılması

Genişleme sırasında faktörler tekrarlanabilir. Dereceler kullanılarak kompakt bir şekilde yazılırlar. Eğer a sayısını ayrıştırırken, s 1 defa meydana gelen ve p n – s n defa meydana gelen bir p 1 çarpanımız varsa. Böylece genişleme şu şekli alacaktır: a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Bu girdiye bir sayının asal çarpanlarına kanonik çarpanlara ayrılması denir.

609840 sayısını genişlettiğimizde 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11 sonucunu elde ederiz, kanonik formu 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 olacaktır. Kanonik genişletmeyi kullanarak bir sayının tüm bölenlerini ve sayılarını bulabilirsiniz.

Doğru şekilde çarpanlara ayırmak için asal ve bileşik sayıları anlamanız gerekir. Amaç p 1, p 2, ..., p n biçiminde sıralı sayıda bölen elde etmektir. sayılar a , a 1 , a 2 , … , a n - 1 bu, şunu elde etmeyi mümkün kılar: a = p 1 a 1, burada a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , burada a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · bir n , nerede a n = a n - 1: p n. Alındıktan sonra bir n = 1, o zaman eşitlik a = p 1 p 2 … p n a sayısının asal çarpanlara gerekli ayrıştırmasını elde ederiz. dikkat et ki p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

En az ortak faktörleri bulmak için asal sayılar tablosunu kullanmanız gerekir. Bu, z sayısının en küçük asal bölenini bulma örneği kullanılarak yapılır. 2, 3, 5, 11 vb. asal sayıları alıp z sayısını bunlara bölerken. Z asal sayı olmadığı için en küçük asal bölenin z'den büyük olmayacağı dikkate alınmalıdır. Z'nin bölenlerinin olmadığı görüldüğünde z'nin asal sayı olduğu açıktır.

örnek 1

87 sayısının örneğine bakalım. 2'ye bölündüğünde 87: 2 = 43 ve kalan 1 olur. Buradan 2'nin bölen olamayacağı; bölmenin tam olarak yapılması gerektiği sonucu çıkar. 3'e bölündüğünde 87:3 = 29 sonucunu elde ederiz. Buradan çıkan sonuç 3'ün 87 sayısının en küçük asal böleni olduğudur.

Asal çarpanları çarpanlara ayırırken asal sayılar tablosu kullanmalısınız; burada a. 95'i çarpanlara ayırırken yaklaşık 10 asal sayı kullanmalısınız ve 846653'ü çarpanlara ayırırken yaklaşık 1000'i kullanmalısınız.

Ayrıştırma algoritmasını asal faktörlere göre ele alalım:

• bir sayının p 1 böleninin en küçük faktörünü bulma A a 1 = a: p 1 formülüne göre, a 1 = 1 olduğunda a bir asal sayıdır ve çarpanlara ayırmaya dahil edilir, 1'e eşit olmadığında a = p 1 · a 1 ve aşağıdaki noktaya kadar takip edin;
• a 1 sayısının asal böleni p 2'yi bulma a 2 = a 1: p 2 kullanarak asal sayıları sırayla numaralandırarak , 2 = 1 olduğunda , o zaman genişleme a = p 1 p 2 formunu alacaktır , a 2 = 1 olduğunda a = p 1 p 2 a 2 , ve bir sonraki adıma geçiyoruz;
• asal sayıları arama ve asal böleni bulma sayfa 3 sayılar bir 2 formüle göre a 3 = a 2: p 3, a 3 = 1 olduğunda , o zaman şunu elde ederiz: a = p 1 p 2 p 3 , 1'e eşit olmadığında a = p 1 p 2 p 3 a 3 ve bir sonraki adıma geçin;
• asal bölen bulunur pn sayılar bir n - 1 asal sayıları numaralandırarak pn-1, Ve a n = a n - 1: p n, burada a n = 1, adım nihaidir, sonuç olarak şunu elde ederiz: a = p 1 · p 2 · … · p n .

Algoritmanın sonucu, ayrıştırılmış faktörlerin bir sütunda sıralı olarak dikey bir çubukla yer aldığı bir tablo şeklinde yazılır. Aşağıdaki şekli düşünün.

Ortaya çıkan algoritma, sayıları asal faktörlere ayrıştırarak uygulanabilir.

Asal çarpanları hesaba katarken temel algoritma takip edilmelidir.

Örnek 2

78 sayısını asal çarpanlarına ayırın.

Çözüm

En küçük asal böleni bulmak için 78'deki tüm asal sayıların üzerinden geçmeniz gerekir. Yani 78:2 = 39. Kalansız bölme, bunun ilk basit bölen olduğu anlamına gelir ve bunu p 1 olarak gösteririz. a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39 sonucunu elde ederiz. a = p 1 · a 1 biçiminde bir eşitlik elde ettik. , burada 78 = 2 39. O halde a 1 = 39 yani bir sonraki adıma geçmeliyiz.

Asal böleni bulmaya odaklanalım p2 sayılar 1 = 39. Asal sayıları, yani 39: 2 = 19 (kalan 1) üzerinden geçmelisiniz. Kalanla bölündüğü için 2 bölen değildir. 3 sayısını seçtiğimizde 39:3=13 sonucunu elde ederiz. Bu, p 2 = 3'ün 39'un a 2 = a 1'e en küçük asal böleni olduğu anlamına gelir: p 2 = 39: 3 = 13. Formun eşitliğini elde ederiz a = p 1 p 2 a 2 78 = 2 3 13 formunda. 2 = 13'ün 1'e eşit olmadığını gördük, o zaman devam etmeliyiz.

a 2 = 13 sayısının en küçük asal böleni, 3'ten başlayarak sayılar arasında arama yapılarak bulunur. 13: 3 = 4 (kalan 1) sonucunu elde ederiz. Buradan 13'ün 5, 7, 11'e bölünmediğini görebiliriz, çünkü 13: 5 = 2 (geri kalan 3), 13: 7 = 1 (geri kalan 6) ve 13: 11 = 1 (geri kalan 2) . 13'ün asal sayı olduğunu görüyoruz. Formüle göre şu şekilde görünür: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Algoritmanın tamamlanması anlamına gelen 3 = 1'i bulduk. Şimdi çarpanlar 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) olarak yazılıyor.

Cevap: 78 = 2 3 13.

Örnek 3

83.006 sayısını asal çarpanlara ayırın.

Çözüm

İlk adım faktoringi içerir p1 = 2 Ve a 1 = a: p 1 = 83.006: 2 = 41.503, burada 83.006 = 2 · 41.503.

İkinci adım, a 1 = 41,503 sayısı için 2, 3 ve 5'in asal bölen olmadığını, ancak 41,503: 7 = 5,929 olduğundan 7'nin asal bölen olduğunu varsayar. Şunu elde ederiz: p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41,503: 7 = 5,929. Açıkçası, 83.006 = 2 7 5 929.

p 4'ün a 3 = 847 sayısına en küçük asal bölenini bulmak 7'dir. a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, yani 83 006 = 2 7 7 7 121 olduğu görülebilir.

a 4 = 121 sayısının asal bölenini bulmak için 11 sayısını kullanırız, yani p 5 = 11. Daha sonra formun bir ifadesini elde ederiz. a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11 ve 83.006 = 2 7 7 7 11 11.

Numara için 5 = 11 sayı sayfa 6 = 11 en küçük asal bölendir. Dolayısıyla a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. O halde 6 = 1. Bu algoritmanın tamamlandığını gösterir. Çarpanlar 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 olarak yazılacaktır.

Cevabın kanonik gösterimi 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2 formunu alacaktır.

Cevap: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Örnek 4

897.924.289 sayısını çarpanlarına ayırın.

Çözüm

İlk asal çarpanı bulmak için 2'den başlayarak asal sayıları arayın. Aramanın sonu 937 numarada gerçekleşir. O zaman p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 ve 897 924 289 = 937 958 297.

Algoritmanın ikinci adımı daha küçük asal sayılar üzerinde yineleme yapmaktır. Yani 937 sayısıyla başlıyoruz. 967 sayısı, a 1 = 958,297 sayısının asal böleni olduğundan asal sayı olarak değerlendirilebilir. Buradan p 2 = 967, sonra a 2 = a 1 sonucunu elde ederiz: p 1 = 958 297: 967 = 991 ve 897 924 289 = 937 967 991.

Üçüncü adım, 991'in asal sayı olduğunu söylüyor çünkü 991'i aşmayan tek bir asal çarpanı yok. Radikal ifadesinin yaklaşık değeri 991'dir< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Bu, p 3 = 991 ve a 3 = a 2 olduğunu gösterir: p 3 = 991: 991 = 1. 897 924 289 sayısının asal çarpanlarına ayrıştırılmasının 897 924 289 = 937 967 991 olduğunu görüyoruz.

Cevap: 897 924 289 = 937 967 991.

Asal çarpanlara ayırma için bölünebilirlik testlerini kullanma

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırmak için bir algoritma izlemeniz gerekir. Sayıların küçük olması halinde çarpım tablosu ve bölünebilme işaretlerinin kullanılması caizdir. Buna örneklerle bakalım.

Örnek 5

10'u çarpanlara ayırmak gerekiyorsa tablo şunu gösterir: 2 · 5 = 10. Ortaya çıkan 2 ve 5 sayıları asal sayılar olduğundan 10 sayısının asal çarpanlarıdır.

Örnek 6

48 sayısını ayrıştırmak gerekirse tablo şunu gösterir: 48 = 6 8. Ancak 6 ve 8 asal çarpanlar değildir, çünkü 6 = 2 3 ve 8 = 2 4 olarak da açılabilirler. Daha sonra buradan tam açılım 48 = 6 8 = 2 3 2 4 olarak elde edilir. Kanonik gösterim 48 = 2 4 · 3 formunu alacaktır.

Örnek 7

3400 sayısını ayrıştırırken bölünebilme işaretlerini kullanabilirsiniz. Bu durumda 10 ve 100'e bölünebilme işaretleri geçerlidir. Buradan 3,400 = 34 · 100 sonucunu elde ederiz, burada 100, 10'a bölünebilir, yani 100 = 10 · 10 şeklinde yazılır, yani 3,400 = 34 · 10 · 10 olur. Bölünebilme testine dayanarak 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5 olduğunu bulduk. Tüm faktörler asaldır. Kanonik genişleme şu şekli alır: 3 400 = 2 3 5 2 17.

Asal çarpanları bulurken bölünebilme testlerinden ve çarpım tablosundan faydalanmamız gerekir. 75 sayısını çarpanların çarpımı olarak düşünürseniz 5'e bölünebilme kuralını dikkate almanız gerekir. 75 = 5 15 ve 15 = 3 5 sonucunu elde ederiz. Yani istenilen genişleme 75 = 5 · 3 · 5 çarpımının formuna bir örnektir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Büyük bir sayıyı çarpanlara ayırmak kolay bir iş değildir.Çoğu insan dört veya beş basamaklı sayıları bulmakta zorluk çeker. İşlemi kolaylaştırmak için iki sütunun üzerindeki sayıyı yazın.

• 6552 sayısını çarpanlarına ayıralım.

Bir hariç her doğal sayının iki veya daha fazla böleni vardır. Örneğin 7 sayısı yalnızca 1 ve 7'ye kalansız bölünebilir, yani iki böleni vardır. Ve 8 sayısının 1, 2, 4, 8 bölenleri vardır, yani aynı anda 4'e kadar böleni vardır.

Asal ve bileşik sayılar arasındaki fark nedir?

İkiden fazla böleni olan sayılara bileşik sayılar denir. Yalnızca iki böleni olan sayılara: Bir ve sayının kendisi asal sayılar olarak adlandırılır.

1 sayısının tek bir bölümü vardır, o da sayının kendisidir. Bir ne asal ne de bileşik sayıdır.

• Örneğin 7 sayısı asal, 8 sayısı bileşiktir.

İlk 10 asal sayı: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. 2 sayısı tek çift asal sayıdır, diğer tüm asal sayılar tektir.

78 sayısı bileşiktir, çünkü 1 ve kendisinin yanı sıra 2'ye de bölünebilir. 2'ye bölündüğünde 39 elde edilir. Yani 78 = 2*39 olur. Bu gibi durumlarda sayının 2 ve 39'un çarpanlarına ayrıldığını söylüyorlar.

Herhangi bir bileşik sayı, her biri 1'den büyük olan iki faktöre ayrıştırılabilir. Bu hile asal sayılarda işe yaramaz. O zaman o gider.

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma

Yukarıda belirtildiği gibi, herhangi bir bileşik sayı iki faktöre ayrılabilir. Mesela 210 sayısını ele alalım. Bu sayı 21 ve 10 olmak üzere iki çarpana ayrıştırılabilir. Ama 21 ve 10 sayıları da bileşiktir, onları da iki çarpana ayıralım. 10 = 2*5, 21=3*7 elde ederiz. Ve sonuç olarak 210 sayısı 4 faktöre ayrıştırıldı: 2,3,5,7. Bu sayılar zaten asaldır ve genişletilemez. Yani 210 sayısını asal çarpanlarına ayırdık.

Bileşik sayıları asal çarpanlara ayırırken genellikle artan sırada yazılırlar.

Herhangi bir bileşik sayının permütasyona kadar asal faktörlere ve benzersiz bir şekilde ayrıştırılabileceği unutulmamalıdır.

• Genellikle bir sayıyı asal çarpanlara ayırırken bölünebilme kriterleri kullanılır.

378 sayısını asal çarpanlarına ayıralım

Sayıları dikey bir çizgiyle ayırarak yazacağız. 378 sayısı 8 ile bittiği için 2'ye tam bölünür. Bölündüğünde 189 sayısını elde ederiz. 189 sayısının rakamlarının toplamı 3'e bölünebilir yani 189 sayısı 3'e bölünebilir. Sonuç 63'tür.

63 sayısı da bölünebilme kuralına göre 3'e bölünür. 21 elde ederiz, 21 sayısını yine 3'e bölebiliriz, 7 elde ederiz. Yedi sadece kendisine bölünürse bir elde ederiz. Bu bölünmeyi tamamlar. Çizginin sağında 378 sayısının ayrıştırıldığı asal çarpanlar yer alıyor.

378|2
189|3
63|3
21|3