Doğal sayılar. Doğal sayılar serisi
Doğal sayıların tarihi ilkel zamanlarda başlamıştır. Antik çağlardan beri insanlar nesneleri saymışlardır. Örneğin, ticarette bir mal hesabına, inşaatta ise bir malzeme hesabına ihtiyacınız vardı. Evet, günlük yaşamda bile bir şeyleri, yiyecekleri, hayvanları saymam gerekiyordu. Başlangıçta sayılar hayatta, pratikte sadece sayma amacıyla kullanılmıştı, ancak daha sonra matematiğin gelişmesiyle birlikte bilimin bir parçası haline geldi.
Doğal sayılar - bunlar nesneleri sayarken kullandığımız sayılardır.
Örneğin: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,….
Sıfır doğal bir sayı değildir.
Tüm doğal sayılar veya buna doğal sayılar kümesi diyelim, N sembolüyle gösterilir.
Doğal sayılar tablosu.
Doğal seri.
Artan düzende art arda yazılan doğal sayılar doğal serisi veya bir dizi doğal sayı.
Doğal serinin özellikleri:
- En küçük doğal sayı birdir.
- Doğal bir seride bir sonraki sayı bir öncekinden birer birer büyüktür. (1, 2, 3, ...) Sayı dizisini tamamlamak mümkün değilse üç nokta veya elips yerleştirilir.
- Doğal seri en büyük sayıya sahip değildir, sonsuzdur.
Örnek #1:
İlk 5 doğal sayıyı yazınız.
Çözüm:
Doğal sayılar birden başlar.
1, 2, 3, 4, 5
Örnek #2:
Sıfır bir doğal sayı mıdır?
Cevap: hayır.
Örnek #3:
Doğal serideki ilk sayı nedir?
Cevap: Doğal seri birden başlar.
Örnek #4:
Doğal serinin son sayısı nedir? En büyük doğal sayı nedir?
Cevap: Doğal seri bir ile başlar. Sonraki her sayı bir öncekinden birer birer büyüktür, dolayısıyla son sayı mevcut değildir. kendisi büyük sayı HAYIR.
Örnek #5:
Doğal serilerden birinin önceki bir numarası var mı?
Cevap: Hayır, çünkü bir doğal serideki ilk sayıdır.
Örnek #6:
Doğal serideki bir sonraki sayıyı adlandırın: a)5, b)67, c)9998.
Cevap: a)6, b)68, c)9999.
Örnek #7:
Doğal seride a) 1 ile 5, b) 14 ile 19 sayıları arasında kaç sayı vardır.
Çözüm:
a) 1, 2, 3, 4, 5 – 1 ile 5 sayıları arasında üç sayı bulunur.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – 14 ile 19 sayıları arasında dört sayı vardır.
Örnek #8:
11'den sonraki sayıyı söyleyin.
Cevap: 10.
Örnek #9:
Nesneleri sayarken hangi sayılar kullanılır?
Cevap: Doğal sayılar.
Basitçe söylemek gerekirse bunlar, özel bir tarife göre suda pişirilen sebzelerdir. İki başlangıç bileşenini (sebze salatası ve su) ve bitmiş sonucu - pancar çorbasını ele alacağım. Geometrik olarak bir tarafı marulu, diğer tarafı suyu temsil eden bir dikdörtgen gibi düşünülebilir. Bu iki tarafın toplamı pancar çorbasını gösterecektir. Böyle bir "pancar çorbası" dikdörtgeninin köşegeni ve alanı tamamen matematiksel kavramlardır ve asla pancar çorbası tariflerinde kullanılmaz.
Marul ve su matematiksel açıdan nasıl pancar çorbasına dönüşür? İki doğru parçasının toplamı nasıl trigonometri olabilir? Bunu anlamak için doğrusal açısal fonksiyonlara ihtiyacımız var.
Matematik ders kitaplarında doğrusal açısal fonksiyonlar hakkında hiçbir şey bulamazsınız. Ama onlar olmadan matematik olamaz. Doğa kanunları gibi matematik kanunları da onların varlığını bilsek de bilmesek de işlerler.
Doğrusal açısal fonksiyonlar toplama yasalarıdır. Cebirin nasıl geometriye, geometrinin de trigonometriye dönüştüğünü görün.
Doğrusal açısal fonksiyonlar olmadan yapmak mümkün mü? Bu mümkün çünkü matematikçiler hâlâ onlarsız da idare edebiliyorlar. Matematikçilerin püf noktası, bize her zaman yalnızca kendilerinin nasıl çözeceklerini bildikleri problemleri anlatmaları ve çözemedikleri problemler hakkında asla konuşmamalarıdır. Bakmak. Toplamanın ve bir terimin sonucunu biliyorsak, diğer terimi bulmak için çıkarma işlemini kullanırız. Tüm. Diğer sorunları bilmiyoruz ve bunları nasıl çözeceğimizi de bilmiyoruz. Sadece toplama işleminin sonucunu biliyorsak ve her iki terimi de bilmiyorsak ne yapmalıyız? Bu durumda toplama işleminin sonucunun doğrusal açısal fonksiyonlar kullanılarak iki terime ayrıştırılması gerekir. Daha sonra, bir terimin ne olabileceğini kendimiz seçiyoruz ve doğrusal açısal fonksiyonlar, ikinci terimin ne olması gerektiğini gösteriyor, böylece toplamanın sonucu tam olarak ihtiyacımız olan şey oluyor. Bu tür terim çiftlerinden sonsuz sayıda olabilir. İÇİNDE günlük yaşam Toplamı ayrıştırmadan da gayet iyi yapabiliriz; çıkarma bizim için yeterlidir. Ancak doğa kanunları üzerine yapılan bilimsel araştırmalarda, bir toplamı bileşenlerine ayırmak çok yararlı olabilir.
Matematikçilerin bahsetmekten hoşlanmadığı bir başka toplama kanunu (hilelerinden bir diğeri), terimlerin aynı ölçü birimlerine sahip olmasını gerektirir. Salata, su ve pancar çorbası için bunlar ağırlık, hacim, değer veya ölçü birimi olabilir.
Şekil matematik için iki seviyeli farkı göstermektedir. Birinci düzey, belirtilen sayılar alanındaki farklılıklardır. A, B, C. Matematikçilerin yaptığı da budur. İkinci düzey, köşeli parantez içinde gösterilen ve harfle gösterilen ölçü birimleri alanındaki farklılıklardır. sen. Fizikçilerin yaptığı da budur. Üçüncü seviyeyi, yani tanımlanan nesnelerin alanındaki farklılıkları anlayabiliriz. Farklı nesneler aynı sayıda aynı ölçü birimine sahip olabilir. Bunun ne kadar önemli olduğunu pancar çorbası trigonometrisi örneğinde görebiliriz. Farklı nesneler için aynı birim tanımına alt simgeler eklersek, belirli bir nesneyi tam olarak hangi matematiksel niceliğin tanımladığını ve bunun zaman içinde veya eylemlerimiz nedeniyle nasıl değiştiğini söyleyebiliriz. Mektup W Suyu harfle belirteceğim S Salatayı bir harfle belirleyeceğim B- borsch. Pancar çorbası için doğrusal açısal fonksiyonlar böyle görünecek.
Suyun bir kısmını ve salatanın bir kısmını alırsak, hepsi birlikte bir porsiyon pancar çorbasına dönüşecektir. Burada pancar çorbasına biraz ara vermenizi ve uzak çocukluğunuzu hatırlamanızı öneririm. Tavşanlarla ördekleri bir araya getirmenin bize nasıl öğretildiğini hatırlıyor musun? Kaç hayvan olacağını bulmak gerekiyordu. O zaman bize ne yapmamız öğretildi? Bize ölçü birimlerini sayılardan ayırmamız ve sayıları toplamamız öğretildi. Evet, herhangi bir sayı başka bir sayıya eklenebilir. Bu, modern matematiğin otizmine giden doğrudan bir yoldur - bunu anlaşılmaz bir şekilde, neden, anlaşılmaz bir şekilde yapıyoruz ve bunun gerçeklikle nasıl ilişkili olduğunu çok az anlıyoruz, üç fark seviyesi nedeniyle, matematikçiler yalnızca bir tanesiyle çalışırlar. Bir ölçü biriminden diğerine nasıl geçileceğini öğrenmek daha doğru olacaktır.
Tavşanlar, ördekler ve küçük hayvanlar parça parça sayılabilir. Farklı nesneler için ortak bir ölçü birimi, onları bir araya toplamamıza olanak tanır. Bu sorunun çocuk versiyonu. Yetişkinler için benzer bir göreve bakalım. Tavşanları ve parayı eklediğinizde ne elde edersiniz? Burada iki olası çözüm var.
İlk seçenek. Tavşanların piyasa değerini belirliyoruz ve bunu mevcut para miktarına ekliyoruz. Servetimizin toplam değerini parasal olarak aldık.
İkinci seçenek. Elimizdeki banknot sayısına tavşan sayısını da ekleyebilirsiniz. Taşınır mal miktarını parça halinde alacağız.
Gördüğünüz gibi aynı toplama kanunu farklı sonuçlar elde etmenize olanak sağlıyor. Her şey tam olarak ne bilmek istediğimize bağlı.
Ama hadi pancar çorbamıza geri dönelim. Artık ne zaman olacağını görebiliriz farklı anlamlar Doğrusal açısal fonksiyonların açısı.
Açı sıfırdır. Salatamız var ama suyumuz yok. Pancar çorbası pişiremiyoruz. Pancar çorbası miktarı da sıfırdır. Bu, sıfır pancar çorbasının sıfır suya eşit olduğu anlamına gelmez. Sıfır salata ile sıfır pancar çorbası olabilir (dik açı).
Şahsen benim için bu, şu gerçeğin ana matematiksel kanıtıdır. Sıfır, eklendiğinde sayıyı değiştirmez. Bunun nedeni, yalnızca bir terim varsa ve ikinci terim eksikse toplamanın kendisinin imkansız olmasıdır. Bunu istediğiniz gibi hissedebilirsiniz, ancak unutmayın - sıfırla yapılan tüm matematiksel işlemler matematikçiler tarafından icat edilmiştir, bu yüzden mantığınızı bir kenara bırakın ve matematikçiler tarafından icat edilen tanımları aptalca tıkıştırın: "sıfıra bölmek imkansızdır", "herhangi bir sayının çarpımı" sıfır sıfıra eşittir”, “delme noktası sıfırın ötesinde” ve diğer saçmalıklar. Sıfırın bir sayı olmadığını bir kez hatırlamak yeterlidir ve bir daha asla sıfırın doğal sayı olup olmadığı sorusuyla karşılaşmazsınız çünkü böyle bir soru tüm anlamını yitirir: Sayı olmayan bir şey nasıl sayı olarak kabul edilebilir? ? Bu, görünmez bir rengin hangi renk olarak sınıflandırılması gerektiğini sormak gibidir. Bir sayıya sıfır eklemek, orada olmayan boyayla resim yapmakla aynı şeydir. Kuru bir fırça salladık ve herkese “boyama yaptık” dedik. Ama biraz dalıyorum.
Açı sıfırdan büyük ama kırk beş dereceden az. Çok fazla marulumuz var ama yeterli suyumuz yok. Sonuç olarak kalın pancar çorbası elde edeceğiz.
Açı kırk beş derecedir. Eşit miktarda su ve salatamız var. Bu mükemmel pancar çorbası (affet beni şefler, bu sadece matematik).
Açı kırk beş dereceden büyük, ancak doksan dereceden azdır. Bol suyumuz ve az salatamız var. Sıvı pancar çorbası alacaksınız.
Sağ açı. Suyumuz var. Bir zamanlar salatayı işaretleyen çizginin açısını ölçmeye devam ettiğimizde, salatadan geriye kalan tek şey anılardır. Pancar çorbası pişiremiyoruz. Pancar çorbası miktarı sıfırdır. Bu durumda tutun ve elinizde su varken için)))
Burada. Bunun gibi bir şey. Burada fazlasıyla uygun olacak başka hikayeler anlatabilirim.
İki arkadaşın ortak bir işte hisseleri vardı. Birini öldürdükten sonra her şey diğerine gitti.
Gezegenimizde matematiğin ortaya çıkışı.
Bütün bu hikayeler matematik dilinde doğrusal açısal fonksiyonlar kullanılarak anlatılıyor. Başka bir zaman size bu fonksiyonların matematiğin yapısındaki gerçek yerini göstereceğim. Bu arada pancar çorbası trigonometrisine dönelim ve projeksiyonları ele alalım.
26 Ekim 2019 Cumartesi
7 Ağustos 2019 Çarşamba
Konuşmayı sonlandırırken sonsuz bir kümeyi düşünmemiz gerekiyor. Mesele şu ki, "sonsuzluk" kavramı, bir boa yılanının bir tavşanı etkilemesi gibi matematikçileri de etkiliyor. Sonsuzluğun titreten dehşeti matematikçileri sağduyudan yoksun bırakıyor. İşte bir örnek:
Orijinal kaynak bulunur. Alfa gerçek sayı anlamına gelir. Yukarıdaki ifadelerde yer alan eşittir işareti, sonsuza bir sayı veya sonsuz eklediğinizde hiçbir şeyin değişmeyeceğini, sonucun aynı sonsuz olacağını belirtir. Örnek olarak sonsuz doğal sayılar kümesini alırsak, dikkate alınan örnekler aşağıdaki gibi temsil edilebilir:
Matematikçiler haklı olduklarını açıkça kanıtlamak için birçok farklı yöntem geliştirdiler. Şahsen ben tüm bu yöntemlere teflerle dans eden şamanlar gibi bakıyorum. Esasen, bunların hepsi ya bazı odaların boş olması ve yeni misafirlerin taşınması ya da bazı ziyaretçilerin misafirlere yer açmak için koridora atılması (çok insani bir şekilde) gerçeğine dayanıyor. Bu tür kararlara ilişkin görüşlerimi Sarışın hakkında fantastik bir hikaye şeklinde sundum. Benim mantığım neye dayanıyor? Sonsuz sayıda ziyaretçinin yerini değiştirmek sonsuz miktarda zaman alır. İlk odayı bir misafir için boşalttıktan sonra, ziyaretçilerden biri, zamanın sonuna kadar her zaman koridor boyunca kendi odasından diğerine yürüyecektir. Zaman faktörü elbette aptalca göz ardı edilebilir ama bu “hiçbir kanun aptallar için yazılmaz” kategorisinde olacaktır. Her şey ne yaptığımıza bağlı: gerçekliği matematiksel teorilere göre ayarlamak veya tam tersi.
“Sonsuz otel” nedir? Sonsuz otel, kaç oda dolu olursa olsun her zaman herhangi bir sayıda boş yatağa sahip olan bir oteldir. Sonsuz "ziyaretçi" koridorundaki tüm odalar doluysa, "misafir" odalarının bulunduğu başka bir sonsuz koridor daha vardır. Bu tür koridorlardan sonsuz sayıda olacak. Üstelik “sonsuz otel”, sonsuz sayıda Tanrının yarattığı sonsuz sayıda evrende, sonsuz sayıda gezegende, sonsuz sayıda binada, sonsuz sayıda kata sahiptir. Matematikçiler sıradan gündelik problemlerden uzaklaşamazlar: Her zaman tek bir Tanrı-Allah-Buda vardır, yalnızca tek bir otel vardır, yalnızca tek bir koridor vardır. Yani matematikçiler otel odalarının seri numaralarıyla hokkabazlık yaparak bizi "imkansızı itmenin" mümkün olduğuna ikna etmeye çalışıyorlar.
Akıl yürütmemin mantığını size sonsuz doğal sayılar kümesi örneğini kullanarak göstereceğim. Öncelikle çok basit bir soruyu yanıtlamanız gerekiyor: Kaç tane doğal sayı kümesi var - bir mi yoksa daha fazla mı? Sayıları kendimiz icat ettiğimiz için bu sorunun doğru bir cevabı yok; doğada sayılar yoktur. Evet, Doğa sayma konusunda harikadır ama bunun için bizim bilmediğimiz diğer matematiksel araçları kullanır. Doğanın ne düşündüğünü başka zaman anlatacağım. Sayıları icat ettiğimizden beri, kaç tane doğal sayı kümesinin olacağına kendimiz karar vereceğiz. Gerçek bilim adamlarına yakışır şekilde her iki seçeneği de ele alalım.
Birinci seçenek. Rafta sakin bir şekilde duran tek bir doğal sayı dizisi "bize verilsin". Bu seti raftan alıyoruz. İşte bu, rafta başka doğal sayı kalmadı ve onları alacak yer yok. Bu sete zaten sahip olduğumuz için ekleyemiyoruz. Peki ya gerçekten istersen? Sorun değil. Almış olduğumuz setten bir adet alıp rafa geri koyabiliriz. Daha sonra raftan bir tane alıp elimizde kalanlara ekleyebiliriz. Sonuç olarak yine sonsuz bir doğal sayılar kümesi elde edeceğiz. Tüm manipülasyonlarımızı şu şekilde yazabilirsiniz:
Eylemleri cebirsel gösterimde ve küme teorisi gösteriminde, kümenin elemanlarının ayrıntılı bir listesiyle birlikte yazdım. Alt simge, tek ve tek bir doğal sayı kümesine sahip olduğumuzu gösterir. Doğal sayılar kümesinin ancak ondan bir çıkarılıp aynı birim eklenirse değişmeden kalacağı ortaya çıktı.
İkinci seçenek. Rafımızda birçok farklı sonsuz doğal sayı kümesi var. Pratik olarak ayırt edilemez olmalarına rağmen - FARKLI olduğunu vurguluyorum. Bu setlerden birini alalım. Daha sonra başka bir doğal sayı kümesinden birini alıp daha önce almış olduğumuz kümeye ekliyoruz. Hatta iki doğal sayı kümesini bile toplayabiliriz. Elde ettiğimiz şey bu:
"Bir" ve "iki" alt simgeleri bu elemanların farklı kümelere ait olduğunu gösterir. Evet sonsuz bir kümeye bir eklerseniz sonuç yine sonsuz küme olur ama orijinal kümeyle aynı olmaz. Bir sonsuz kümeye başka bir sonsuz küme eklerseniz sonuç, ilk iki kümenin elemanlarından oluşan yeni bir sonsuz küme olur.
Doğal sayılar kümesi sayma için, cetvelin ölçme için kullanılmasıyla aynı şekilde kullanılır. Şimdi cetvele bir santimetre eklediğinizi hayal edin. Bu orijinaline eşit olmayan farklı bir çizgi olacaktır.
Benim mantığımı kabul edebilir veya kabul etmeyebilirsiniz; bu sizin kendi işinizdir. Ancak eğer matematik problemleriyle karşılaşırsanız, nesiller boyu matematikçilerin izlediği yanlış akıl yürütme yolunu takip edip etmediğinizi düşünün. Sonuçta, matematik çalışmak her şeyden önce içimizde istikrarlı bir düşünce stereotipi oluşturur ve ancak o zaman zihinsel yeteneklerimize katkıda bulunur (veya tam tersine bizi özgür düşünceden mahrum bırakır).
pozg.ru
4 Ağustos 2019 Pazar
Hakkında bir makalenin ekini bitiriyordum ve Wikipedia'da şu harika metni gördüm:
Okuduk: "... zengin teorik temel Babil'in matematiği bütünsel bir karaktere sahip değildi ve ortak bir sistem ve kanıt temelinden yoksun, bir dizi farklı tekniğe indirgenmişti."
Vay! Ne kadar akıllıyız ve başkalarının eksikliklerini ne kadar iyi görebiliyoruz. Modern matematiğe aynı bağlamda bakmak bizim için zor mu? Yukarıdaki metni biraz değiştirerek, kişisel olarak aşağıdakileri elde ettim:
Modern matematiğin zengin teorik temeli doğası gereği bütünsel değildir ve ortak bir sistem ve kanıt tabanından yoksun bir dizi farklı bölüme indirgenmiştir.
Sözlerimi doğrulamak için fazla uzağa gitmeyeceğim; matematiğin diğer birçok dalının dilinden ve kurallarından farklı bir dili ve kuralları var. Matematiğin farklı dallarındaki aynı isimler farklı anlamlara gelebilir. Bir dizi yayını modern matematiğin en bariz hatalarına adamak istiyorum. Yakında görüşürüz.
3 Ağustos 2019 Cumartesi
Bir küme alt kümelere nasıl bölünür? Bunu yapmak için seçilen setin bazı öğelerinde mevcut olan yeni bir ölçü birimi girmeniz gerekir. Bir örneğe bakalım.
Bolluğumuz olsun A dört kişiden oluşuyor. Bu set “kişiler” esas alınarak oluşturulmuştur. Bu setin elemanlarını harfle gösterelim. A numaralı alt simge, bu setteki her kişinin seri numarasını gösterecektir. Yeni bir ölçü birimi olan "cinsiyet"i tanıtalım ve bunu harfle belirtelim B. Cinsel özellikler tüm insanlarda doğal olduğundan, kümenin her bir öğesini çarpıyoruz A cinsiyete dayalı B. “İnsanlar” grubumuzun artık “cinsiyet özelliklerine sahip insanlar” kümesi haline geldiğine dikkat edin. Bundan sonra cinsel özellikleri erkeklere ayırabiliriz. BM ve kadınların siyah kadın cinsel özellikler. Şimdi matematiksel bir filtre uygulayabiliriz: Hangisi olursa olsun bu cinsel özelliklerden birini seçiyoruz: erkek ya da kadın. Bir kişide varsa onu bir ile çarparız, eğer böyle bir işaret yoksa sıfırla çarparız. Ve sonra normal okul matematiğini kullanıyoruz. Bak ne oldu.
Çarpma, azaltma ve yeniden düzenlemeden sonra iki alt küme elde ettik: Erkeklerin alt kümesi BM ve kadınların bir alt kümesi siyah. Matematikçiler küme teorisini pratikte uygularken yaklaşık olarak aynı şekilde mantık yürütürler. Ancak bize ayrıntıları söylemiyorlar, ancak bize nihai sonucu veriyorlar: "birçok insan, erkeklerden ve kadınlardan oluşan bir alt gruptan oluşuyor." Doğal olarak aklınıza şu soru gelebilir: Yukarıda özetlenen dönüşümlerde matematik ne kadar doğru uygulandı? Sizi temin ederim ki dönüşümler özünde doğru yapıldı; aritmetiğin matematiksel temellerini, Boole cebirini ve matematiğin diğer dallarını bilmek yeterlidir. Nedir? Başka bir zaman sana bundan bahsedeceğim.
Süper kümelere gelince, bu iki kümenin elemanlarında bulunan ölçü birimini seçerek iki kümeyi tek bir süper kümede birleştirebilirsiniz.
Gördüğünüz gibi ölçü birimleri ve sıradan matematik, küme teorisini geçmişin kalıntısı haline getiriyor. Küme teorisinde her şeyin yolunda olmadığının bir işareti, matematikçilerin küme teorisi için kendi dillerini ve gösterimlerini geliştirmiş olmalarıdır. Matematikçiler bir zamanlar şamanların yaptığı gibi hareket ediyorlardı. Yalnızca şamanlar "bilgilerini" nasıl "doğru" şekilde uygulayacaklarını bilirler. Bize bu “bilgiyi” öğretiyorlar.
Sonuç olarak size matematikçilerin nasıl manipüle ettiğini göstermek istiyorum.
7 Ocak 2019 Pazartesi
MÖ beşinci yüzyılda Antik Yunan filozofu Elea'lı Zenon, en ünlüsü "Aşil ve Kaplumbağa" aporia'sı olan ünlü aporialarını formüle etti. İşte kulağa nasıl geliyor:
Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi koştuğu süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.
Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zenon'un açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ...paradoksların özü hakkında ortak bir görüşe varmak için tartışmalar bugün de devam ediyor bilimsel toplulukşu ana kadar mümkün olmadı... konunun incelenmesine matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.
Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz düşüncenin ataleti nedeniyle karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel açıdan bakıldığında bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil artık kaplumbağadan daha fazla koşamaz.
Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit hızla koşar. Yolunun her bir sonraki bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak o zaman “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı birimlere geçmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:
Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.
Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Ancak bu soruna tam bir çözüm değildir. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözümün sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranması gerekiyor.
Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:
Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.
Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun uzayın farklı noktalarında hareketsiz olduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Bir arabaya olan mesafeyi belirlemek için, uzayın farklı noktalarından aynı anda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak bunlardan hareketin gerçeğini belirleyemezsiniz (tabii ki hesaplamalar için yine de ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) ). Belirtmek istediğim şey özel ilgi Zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın karıştırılmaması gereken farklı şeyler olduğu, çünkü araştırma için farklı fırsatlar sundukları.
Size süreci bir örnekle göstereceğim. "Sivilce içindeki kırmızı katı" seçiyoruz - bu bizim "bütünümüz". Aynı zamanda bunların fiyonklu olduğunu ve fiyonksuz olduğunu da görüyoruz. Bundan sonra “bütünün” bir kısmını seçip “yaylı” bir set oluşturuyoruz. Şamanlar, yerleşik teorilerini gerçekliğe bağlayarak yiyeceklerini bu şekilde elde ederler.
Şimdi küçük bir numara yapalım. “Fiyonklu sivilceli katı”yı alalım ve bu “bütünleri” kırmızı unsurları seçerek renklerine göre birleştirelim. Bir sürü "kırmızı"mız var. Şimdi son soru: Sonuçta ortaya çıkan “fiyonklu” ve “kırmızı” kümeler aynı küme mi, yoksa iki farklı küme mi? Bunun cevabını yalnızca şamanlar biliyor. Daha doğrusu kendileri hiçbir şey bilmiyorlar ama dedikleri gibi öyle olacak.
Bu basit örnek, konu gerçekliğe geldiğinde küme teorisinin tamamen işe yaramaz olduğunu gösteriyor. İşin sırrı nedir? "Sivilce ve fiyonklu kırmızı katı" bir set oluşturduk. Oluşum dört farklı ölçü biriminde gerçekleşti: renk (kırmızı), sağlamlık (katı), pürüzlülük (sivilceli), dekorasyon (yaylı). Yalnızca bir dizi ölçü birimi, gerçek nesneleri matematik dilinde yeterince tanımlamamıza izin verir.. Görünüşe göre bu.
Farklı endekslere sahip "a" harfi, farklı ölçü birimlerini belirtir. Başlangıç aşamasında “bütün”ün ayırt edildiği ölçü birimleri parantez içinde vurgulanmıştır. Setin oluşturulduğu ölçü birimi parantezlerden çıkarılır. Son satır nihai sonucu gösterir - kümenin bir öğesi. Gördüğünüz gibi, bir küme oluşturmak için ölçü birimlerini kullanırsak sonuç, eylemlerimizin sırasına bağlı değildir. Ve bu matematiktir, şamanların teflerle dansı değil. Şamanlar, ölçüm birimlerinin onların "bilimsel" cephaneliğinin bir parçası olmaması nedeniyle bunun "açık" olduğunu savunarak "sezgisel olarak" aynı sonuca varabilirler.
Ölçü birimlerini kullanarak bir seti bölmek veya birkaç seti tek bir süper sette birleştirmek çok kolaydır. Bu sürecin cebirine daha yakından bakalım.
Doğal sayılar nesneleri sayarken kullanılan sayılardır. Doğal sayılar şunları içermez:
- Negatif sayılar (örneğin -1, -2, -100).
- Kesirli sayılar (örneğin, 1,1 veya 6/89).
- 0 numara.
5'ten küçük doğal sayıları yazınız
Böyle birkaç sayı olacak:
1, 2, 3, 4 - bunların hepsi 5'ten küçük doğal sayılardır. Başka böyle sayı yoktur.
Şimdi bulunan doğal sayıların tersi olan sayıları yazmaya devam ediyor. Verilerin karşıtları, zıt işaretli sayılardır (yani sayıların -1 ile çarpılmasıdır). 1, 2, 3, 4 sayılarının zıt sayılarını bulmamız için bu sayıların tamamını ters işaretle yazmamız (-1 ile çarpmamız) gerekir. Hadi şunu yapalım:
-1, -2, -3, -4 - bunların hepsi 1, 2, 3, 4 rakamlarının karşısındaki sayılardır. Cevabı yazalım.
Cevap: 5'ten küçük doğal sayılar 1, 2, 3, 4;
Bulunan sayıların karşısındaki sayılar -1, -2, -3, -4 sayılarıdır.
En basit sayı doğal sayı. Günlük hayatta saymak için kullanılırlar. nesneler, yani sayısını ve sırasını hesaplamak için.
Doğal sayı nedir: doğal sayılar kullanılan sayıları adlandırın Öğeleri saymak veya tüm homojen öğelerden herhangi bir öğenin seri numarasını belirtmek içinöğeler.
Doğal sayılar- bunlar birden başlayan sayılardır. Sayarken doğal olarak oluşurlar.Örneğin, 1,2,3,4,5... -ilk doğal sayılar.
En küçük doğal sayı- bir. En büyük doğal sayı yoktur. Sayıyı sayarken Sıfır kullanılmadığından sıfır bir doğal sayıdır.
Doğal sayı serisi tüm doğal sayıların dizisidir. Doğal sayıların yazılması:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
Doğal seride her sayı bir öncekinden birer birer büyüktür.
Doğal seride kaç sayı vardır? Doğal seri sonsuzdur; en büyük doğal sayı mevcut değildir.
Herhangi bir rakamın 10 birimi en yüksek rakamın 1 birimini oluşturduğundan ondalık sayı. Konumsal olarak öyle Bir rakamın anlamının sayı içindeki yerine nasıl bağlı olduğu, yani. yazıldığı kategoriden.
Doğal sayıların sınıfları.
Herhangi bir doğal sayı 10 Arap rakamı kullanılarak yazılabilir:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Doğal sayıları okumak için sağdan başlayarak 3'er basamaklı gruplara ayrılırlar. ilk 3 sağdaki sayılar birim sınıfını, sonraki 3 tanesi binlik sınıfını, ardından milyonluk, milyarlık ve milyarlık sınıfları göstermektedir.yakında. Sınıf basamaklarının her birine onun adı verilir.deşarj.
Doğal sayıların karşılaştırılması.
2 doğal sayıdan küçük olanı sayarken daha önce çağrılan sayıdır. Örneğin, sayı 7 az 11 (şu şekilde yazılmıştır:7 < 11 ). Bir sayı ikinciden büyük olduğunda şu şekilde yazılır:386 > 99 .
Rakam tablosu ve sayı sınıfları.
|
1. sınıf ünitesi |
Birimin 1. rakamı 2. rakam onlar 3. sırada yüzlerce |
|
2. sınıf bin |
Binlik biriminin 1. basamağı 2. hane onbinler 3. kategori yüz binlerce |
|
3. sınıf milyonlar |
Milyonlar biriminin 1. rakamı 2. kategori on milyonlarca 3. kategori yüz milyonlarca |
|
4. sınıf milyarlar |
Milyarlar biriminin 1. basamağı 2. kategori on milyarlarca 3. kategori yüz milyarlarca |
|
5. sınıf ve üzeri sayılar büyük sayılar. 5. sınıfın birimleri trilyonlar, 6. sınıf - katrilyonlar, 7. sınıf - kentilyonlar, 8. sınıf - sekstilyonlar, 9. sınıf - eptillionlar. Doğal sayıların temel özellikleri.
Doğal sayılarla ilgili işlemler. 4. Doğal sayıların bölünmesi çarpma işleminin tersidir. Eğer b ∙ c = bir, O Bölme formülleri: bir: 1 = bir a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (A∙ b) : c = (a:c) ∙ b (A∙ b) : c = (b:c) ∙ a Sayısal ifadeler ve sayısal eşitlikler. Sayıların eylem işaretleriyle bağlandığı bir gösterim sayısal ifade. Örneğin, 10∙3+4; (60-2∙5):10. 2 sayısal ifadenin eşittir işaretiyle birleştirildiği kayıtlar sayısal eşitlikler. Eşitliğin sağ ve sol tarafları vardır. Aritmetik işlemleri gerçekleştirme sırası. Sayılarda toplama ve çıkarma birinci dereceden işlemler, çarpma ve bölme ise ikinci dereceden işlemlerdir. Sayısal bir ifade yalnızca bir derecelik eylemlerden oluştuğunda bunlar sırayla gerçekleştirilir. soldan sağa. İfadeler yalnızca birinci ve ikinci dereceden eylemlerden oluştuğunda, eylemler ilk önce gerçekleştirilir. ikinci derece ve ardından birinci derecenin eylemleri. Bir ifadede parantez varsa önce parantez içindeki işlemler gerçekleştirilir. Örneğin, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |
Konuyla ilgili makaleler
