Delenie párnych čísel 7. Znaky deliteľnosti, alebo že čísla neboli delené

Text práce je uverejnený bez obrázkov a vzorcov.
Plná verzia práca je dostupná v záložke "Pracovné súbory" vo formáte PDF

Úvod

Na hodinách matematiky pri štúdiu témy „Znaky deliteľnosti“, kde sme sa zoznámili so znakmi deliteľnosti 2; 5; 3; 9; 10, zaujímalo ma, či existujú znaky deliteľnosti inými číslami a či existuje univerzálna metóda deliteľnosti ľubovoľným prirodzeným číslom. Preto som začal výskumnú prácu na túto tému.

Účel štúdie:štúdium znakov deliteľnosti prirodzené čísla do 100, okrem už známych znakov deliteľnosti prirodzených čísel celými číslami, študoval v škole.

Aby sme dosiahli cieľ, stanovili sme si úlohy:

Zbierajte, študujte a systematizujte materiál o znakoch deliteľnosti prirodzených čísel pomocou rôznych zdrojov informácií.

Nájdite univerzálny test deliteľnosti ľubovoľným prirodzeným číslom.

Naučte sa používať Pascalov test deliteľnosti na určenie deliteľnosti čísel a skúste tiež sformulovať testy deliteľnosti ľubovoľným prirodzeným číslom.

Predmet štúdia: deliteľnosť prirodzených čísel.

Predmet štúdia: znaky deliteľnosti prirodzených čísel.

Výskumné metódy: zber informácií; práca s tlačenými materiálmi; analýza; syntéza; analógia; prieskum; prieskum; systematizácia a zovšeobecnenie materiálu.

Výskumná hypotéza: Ak je možné určiť deliteľnosť prirodzených čísel 2, 3, 5, 9, 10, potom musia existovať znamienka, pomocou ktorých sa dá určiť deliteľnosť prirodzených čísel inými číslami.

Novinka uskutočnené výskumná práca je, že táto práca systematizuje poznatky o znamienkach deliteľnosti a univerzálnej metóde deliteľnosti prirodzených čísel.

Praktický význam: materiál tejto výskumnej práce je možné použiť v 6. - 8. ročníku na výberových hodinách pri štúdiu témy „Deliteľnosť čísel“.

Kapitola I. Definícia a vlastnosti deliteľnosti čísel

1.1.Definície pojmov deliteľnosti a znaky deliteľnosti, vlastnosti deliteľnosti.

Teória čísel je oblasť matematiky, ktorá študuje vlastnosti čísel. Hlavným predmetom teórie čísel sú prirodzené čísla. Ich hlavnou vlastnosťou, ktorú teória čísel zvažuje, je deliteľnosť. Definícia: Celé číslo a je deliteľné celým číslom b, ktoré sa nerovná nule, ak existuje celé číslo k také, že a = bk (napríklad 56 je deliteľné 8, pretože 56 = 8x7). Test deliteľnosti- pravidlo, ktoré umožňuje určiť, či je dané prirodzené číslo deliteľné nejakými inými číslami celým číslom, t.j. bez stopy.

Vlastnosti deliteľnosti:

Každé číslo iné ako nula je deliteľné samo sebou.

Nula je deliteľná ľubovoľným b, ktoré sa nerovná nule.

Ak a je deliteľné b (b0) a b je deliteľné c (c0), potom a je deliteľné c.

Ak a je deliteľné b (b0) a b je deliteľné a (a0), potom a a b sú buď rovnaké alebo opačné čísla.

1.2. Vlastnosti deliteľnosti súčtu a súčinu:

Ak v súčte celých čísel je každý člen deliteľný určitým číslom, potom sa súčet vydelí týmto číslom.

2) Ak v rozdiele celých čísel sú minuend a podtrahend deliteľné určitým číslom, potom je aj rozdiel deliteľný určitým číslom.

3) Ak v súčte celých čísel sú všetky členy okrem jedného deliteľné určitým číslom, tak súčet nie je deliteľný týmto číslom.

4) Ak v súčine celých čísel je jeden z faktorov deliteľný určitým číslom, potom je súčin deliteľný aj týmto číslom.

5) Ak v súčine celých čísel je jeden z faktorov deliteľný m a druhý n, potom je súčin deliteľný mn.

Okrem toho som sa pri štúdiu znakov deliteľnosti čísel zoznámil s pojmom "digitálne koreňové číslo". Zoberme si prirodzené číslo. Nájdite súčet jeho číslic. Vo výsledku nájdeme aj súčet číslic a tak ďalej, až kým nedostaneme jednociferné číslo. Výsledný výsledok sa nazýva digitálny koreň čísla. Napríklad digitálny koreň čísla 654321 je 3: 6+5+4+3+2+1=21,2+1=3. A teraz sa môžete zamyslieť nad otázkou: "Aké znaky deliteľnosti existujú a existuje univerzálny znak deliteľnosti jedného čísla druhým?"

Kapitola II. Kritériá deliteľnosti prirodzených čísel.

2.1. Znaky deliteľnosti 2,3,5,9,10.

Spomedzi znakov deliteľnosti sú z kurzu matematiky pre 6. ročníkov najpohodlnejšie a najznámejšie:

Deliteľnosť 2. Ak prirodzené číslo končí párnou číslicou alebo nulou, potom je číslo deliteľné 2. Číslo 52738 je deliteľné 2, pretože posledná číslica je 8.

Deliteľnosť 3 . Ak je súčet číslic čísla deliteľný 3, potom je číslo deliteľné 3 (číslo 567 je deliteľné 3, pretože 5+6+7 = 18 a 18 je deliteľné 3.)

Deliteľnosť 5. Ak prirodzené číslo končí 5 alebo nulou, potom je číslo deliteľné 5 (čísla 130 a 275 sú deliteľné 5, pretože posledné číslice čísel sú 0 a 5, ale číslo 302 nie je deliteľné 5, od poslednej číslice čísla nie sú 0 a 5).

Deliteľné 9. Ak je súčet číslic deliteľný 9, potom je číslo deliteľné 9 (676332 je deliteľné 9, pretože 6+7+6+3+3+2=27 a 27 je deliteľné 9).

Deliteľnosť 10 . Ak prirodzené číslo končí 0, potom je toto číslo deliteľné 10 (230 je deliteľné 10, pretože posledná číslica čísla je 0).

2.2 Znaky deliteľnosti 4,6,8,11,12,13 atď.

Po práci s rôznymi zdrojmi som sa naučil ďalšie znaky deliteľnosti. Opíšem niektoré z nich.

Delenie podľa 6 . Potrebujeme skontrolovať deliteľnosť čísla, ktoré nás zaujíma, 2 a 3. Číslo je deliteľné 6 práve vtedy, ak je párne a jeho digitálny koreň je deliteľný 3. (Napríklad 678 je deliteľné 6, keďže je párne a 6 +7+8=21, 2+1=3) Ďalší znak deliteľnosti: číslo je deliteľné 6 práve vtedy, ak štvornásobok desiatok pripočítaných k počtu jednotiek je deliteľný 6. (73,7*4+3=31, 31 nie je deliteľné 6, čo znamená, že 7 nie je deliteľné 6.)

Delenie podľa 8. Číslo je deliteľné 8 práve vtedy, ak jeho posledné tri číslice tvoria číslo deliteľné 8. (12 224 je deliteľné 8, pretože 224:8=28). Trojciferné číslo je deliteľné 8 vtedy a len vtedy, ak počet jednotiek pripočítaných k dvojnásobku počtu desiatok a štvornásobku počtu stoviek je deliteľný 8. Napríklad 952 je deliteľné 8, pretože 9 * 4 + 5 * 2 + 2 = 48 je deliteľné 8 .

Delenie 4 a 25. Ak sú posledné dve číslice nuly alebo vyjadrujú číslo deliteľné 4 a/alebo 25, potom je číslo deliteľné 4 a/alebo 25 (číslo 1500 je deliteľné 4 a 25, keďže končí dvomi nulami, číslo 348 je deliteľné 4, keďže 48 je deliteľné 4, ale toto číslo nie je deliteľné 25, pretože 48 nie je deliteľné 25, číslo 675 je deliteľné 25, pretože 75 je deliteľné 25, ale nie je deliteľné 4. .k. 75 nie je deliteľné 4).

Keď poznáte základné znaky deliteľnosti prvočíslami, môžete odvodiť znaky deliteľnosti zloženými číslami:

Test deliteľnosti pre11 . Ak je rozdiel medzi súčtom číslic na párnych miestach a súčtom číslic na nepárnych miestach deliteľný 11, potom je číslo deliteľné 11 (číslo 593868 je deliteľné 11, pretože 9 + 8 + 8 = 25 a 5 + 3 + 6 = 14, ich rozdiel je 11 a 11 je delené 11).

Test deliteľnosti 12:číslo je deliteľné 12 práve vtedy, ak sú posledné dve číslice deliteľné 4 a súčet číslic je deliteľný 3.

pretože 12= 4 ∙ 3, t.j. číslo musí byť deliteľné 4 a 3.

Test deliteľnosti 13:Číslo je deliteľné 13 práve vtedy, ak je striedavý súčet čísel tvorený postupnými trojicami číslic daného čísla deliteľný 13. Ako viete, že napríklad číslo 354862625 je deliteľné 13? 625-862+354=117 je deliteľné 13, 117:13=9, čo znamená, že číslo 354862625 je deliteľné 13.

Test deliteľnosti 14:Číslo je deliteľné 14 vtedy a len vtedy, ak končí párnou číslicou a keď výsledok odčítania dvojnásobku poslednej číslice od čísla bez poslednej číslice je deliteľný 7.

pretože 14= 2 ∙ 7, t.j. číslo musí byť deliteľné 2 a 7.

Test deliteľnosti 15:Číslo je deliteľné 15 práve vtedy, ak končí 5 a 0 a súčet číslic je deliteľný 3.

pretože 15= 3 ∙ 5, t.j. číslo musí byť deliteľné 3 a 5.

Test deliteľnosti číslom 18:Číslo je deliteľné 18 vtedy a len vtedy, ak končí párnou číslicou a súčet jeho číslic je deliteľný 9.

pretože18= 2 ∙ 9, t.j. číslo musí byť deliteľné 2 a 9.

Test deliteľnosti 20:Číslo je deliteľné 20 vtedy a len vtedy, ak číslo končí nulou a predposledná číslica je párna.

pretože 20 = 10 ∙ 2 t.j. číslo musí byť deliteľné 2 a 10.

Test deliteľnosti číslom 25:číslo obsahujúce aspoň tri číslice je deliteľné 25 práve vtedy, ak je číslo tvorené poslednými dvoma číslicami deliteľné 25.

Test deliteľnosti pre30 .

Test deliteľnosti pre59 . Číslo je deliteľné číslom 59 vtedy a len vtedy, ak počet desiatok pripočítaný k počtu jednotiek vynásobený číslom 6 je deliteľný číslom 59. Napríklad číslo 767 je deliteľné číslom 59, pretože 76 + 6*7 = 118 a 11 + 6* sú deliteľné číslom 59 8 = 59.

Test deliteľnosti pre79 . Číslo je deliteľné číslom 79 práve vtedy, ak počet desiatok pripočítaný k počtu jednotiek vynásobený číslom 8 je deliteľný číslom 79. Napríklad číslo 711 je deliteľné číslom 79, pretože číslo 79 je deliteľné číslom 71 + 8*1 = 79.

Test deliteľnosti pre99. Číslo je deliteľné 99 vtedy a len vtedy, ak súčet čísel, ktoré tvoria skupiny dvoch číslic (začínajúc jednotkami), je deliteľný 99. Napríklad 12573 je deliteľné 99, pretože 1 + 25 + 73 = 99 je deliteľné 99.

Test deliteľnosti pre100 . Len tie čísla, ktorých posledné dve číslice sú nuly, sú deliteľné 100.

Test deliteľnosti 125:číslo obsahujúce aspoň štyri číslice je deliteľné 125 práve vtedy, ak je číslo tvorené poslednými tromi číslicami deliteľné 125.

Všetky vyššie uvedené charakteristiky sú zhrnuté vo forme tabuľky. (Príloha 1)

2.3 Testy deliteľnosti 7.

1) Zoberme si na test číslo 5236 Zapíšme toto číslo takto: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10 3 *5+10 2 *2+10*3+6 (“. systematická » forma zápisu čísla), a všade nahrádzame základ 10 základom 3); 3 3 *5 + 3 2 *2 + 3*3 + 6 = 168. Ak je výsledné číslo deliteľné (nie deliteľné) 7, potom dané číslo je deliteľné (nie je deliteľné) 7. Keďže 168 je deliteľné 7, potom 5236 je deliteľné 7. 68:7=24, 5236:7=748.

2) V tomto znamení musíte konať úplne rovnako ako v predchádzajúcom, len s tým rozdielom, že násobenie by malo začať úplne vpravo a násobiť nie 3, ale 5. (5236 je deliteľné 7, keďže 6 * 5 3 +3*5 2 +2*5+5=840, 840:7=120)

3) Toto znamenie je menej ľahké implementovať do mysle, ale je tiež veľmi zaujímavé. Zdvojnásobte poslednú číslicu a odčítajte druhú sprava, zdvojnásobte výsledok a pridajte tretiu sprava atď., pričom striedavo odčítajte a sčítajte a každý výsledok znižujte, ak je to možné, o 7 alebo násobok siedmich. Ak je konečný výsledok deliteľný (nedeliteľný) 7, potom je testované číslo deliteľné (nedeliteľné) 7. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7= 5.

4) Číslo je deliteľné 7 práve vtedy, ak je striedavý súčet čísel tvorený postupnými trojicami číslic daného čísla deliteľný 7. Ako viete, že napríklad číslo 363862625 je deliteľné 7? 625-862+363=126 je deliteľné 7, 126:7=18, čo znamená, že číslo 363862625 je deliteľné 7, 363862625:7=51980375.

5) Jeden z najstarších znakov deliteľnosti číslom 7 je nasledujúci. Číslice čísla sa musia brať v opačnom poradí, sprava doľava, vynásobením prvej číslice 1, druhej 3, tretej 2, štvrtej -1, piatej -3, šiestej - 2 atď. (ak je počet znakov väčší ako 6, postupnosť faktorov 1, 3, 2, -1, -3, -2 by sa mala opakovať toľkokrát, koľkokrát je potrebné). Výsledné produkty je potrebné sčítať. Pôvodné číslo je deliteľné 7, ak je vypočítaný súčet deliteľný 7. Tu je napríklad to, čo dáva toto znamienko pre číslo 5236. 1*6+3*3+2*2+5*(-1) = 14. 14: 7=2, čo znamená, že číslo 5236 je deliteľné 7.

6) Číslo je deliteľné 7 práve vtedy, ak trojnásobok počtu desiatok pridaných k počtu jednotiek je deliteľný 7. Napríklad 154 je deliteľné 7, keďže číslo 49 je 7, čo z tohto kritéria získame. : 15* 3 + 4 = 49.

2.4.Pascalov test.

Veľký prínos k štúdiu znakov deliteľnosti čísel mal B. Pascal (1623-1662), francúzsky matematik a fyzik. Našiel algoritmus na nájdenie znakov deliteľnosti akéhokoľvek celého čísla akýmkoľvek iným celým číslom, ktorý publikoval v pojednaní „O povahe deliteľnosti čísel“. Takmer všetky v súčasnosti známe testy deliteľnosti sú špeciálnym prípadom Pascalovho testu: „Ak súčet zvyškov pri delení číslaa podľa číslic na čísloV delenoV , potom čísloA delenoV ». Poznať ho je užitočné aj dnes. Ako môžeme dokázať vyššie formulované testy deliteľnosti (napríklad známy test deliteľnosti 7)? Na túto otázku sa pokúsim odpovedať. Najprv sa však dohodneme na spôsobe zapisovania čísel. Ak chcete zapísať číslo, ktorého číslice sú označené písmenami, súhlasíme s tým, že nad týmito písmenami nakreslíme čiaru. Takže abcdef bude označovať číslo, ktoré má f jednotiek, e desiatok, d stoviek atď.:

abcdef = a . 10 5 + b. 10 4 + c. 10 3 + d. 102 + e. 10 + f. Teraz dokážem test deliteľnosti 7 sformulovaný vyššie.

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1

1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(zvyšky z delenia 7).

Výsledkom je 5. pravidlo formulované vyššie: ak chcete zistiť zvyšok delenia prirodzeného čísla číslom 7, musíte podpísať koeficienty (zvyšky delenia) pod číslicami tohto čísla sprava doľava: potom musíte každú číslicu vynásobiť koeficientom pod ním a pridať výsledný Produkty; nájdená suma bude mať pri delení 7 rovnaký zvyšok ako prevzaté číslo.

Vezmime si čísla 4591 a 4907 ako príklad a ak budeme konať tak, ako je uvedené v pravidle, nájdeme výsledok:

-1 2 3 1

4+10+27+1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (zvyšok 6) (nie je deliteľné 7)

-1 2 3 1

4+18+0+7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (deliteľné 7)

Týmto spôsobom môžete nájsť test deliteľnosti ľubovoľným číslom T. Musíte len nájsť, ktoré koeficienty (zvyšky po delení) by mali byť podpísané pod číslicami prevzatého čísla A. Aby ste to dosiahli, musíte nahradiť každú mocninu desiatich číslom 10, ak je to možné, rovnakým zvyškom pri delení číslom A. T, rovnako ako číslo 10. Keď T= 3 alebo t = 9 sa tieto koeficienty ukázali ako veľmi jednoduché: všetky sú rovné 1. Preto sa test deliteľnosti 3 alebo 9 ukázal ako veľmi jednoduchý. O T= 11, koeficienty tiež neboli zložité: striedavo sa rovnajú 1 a - 1. A keď t = 7 koeficienty sa ukázali byť komplikovanejšie; Preto sa test deliteľnosti 7 ukázal ako zložitejší. Po preskúmaní znakov delenia do 100 som sa presvedčil, že najzložitejšie koeficienty pre prirodzené čísla sú 23 (od 10 23 sa koeficienty opakujú), 43 (od 10 39 sa koeficienty opakujú).

Všetky uvedené znaky deliteľnosti prirodzených čísel možno rozdeliť do 4 skupín:

1 skupina- keď je deliteľnosť čísel určená poslednou číslicou (číslicami) - sú to znaky deliteľnosti 2, 5, jednotkou číslice, 4, 8, 25, 50.

2. skupina- keď je deliteľnosť čísel určená súčtom číslic čísla - sú to znaky deliteľnosti 3, 9, 7, 37, 11 (1 znamienko).

3 skupina- keď je deliteľnosť čísel určená po vykonaní niektorých akcií s číslicami čísla - sú to znaky deliteľnosti 7, 11 (1 znak), 13, 19.

4 skupina- ak sa na určenie deliteľnosti čísla použijú iné znaky deliteľnosti - sú to znaky deliteľnosti 6, 15, 12, 14.

experimentálna časť

Prieskum

Prieskum sa uskutočnil medzi žiakmi 6. a 7. ročníka. Prieskumu sa zúčastnilo 58 študentov mestskej vzdelávacej inštitúcie Karaidel strednej školy č. 1 okresu MR Karaidel Bieloruskej republiky. Boli požiadaní, aby odpovedali na nasledujúce otázky:

Myslíte si, že existujú iné znaky deliteľnosti odlišné od tých, ktoré sa študujú v triede?

Existujú nejaké znaky deliteľnosti pre iné prirodzené čísla?

Chceli by ste poznať tieto znaky deliteľnosti?

Poznáte nejaké znaky deliteľnosti prirodzených čísel?

Výsledky prieskumu ukázali, že 77 % opýtaných sa domnieva, že existujú aj iné znaky deliteľnosti okrem tých, ktoré študovali v škole; 9 % si to nemyslí, 13 % opýtaných ťažko odpovedalo. Na druhú otázku: „Chceli by ste vedieť testy deliteľnosti pre iné prirodzené čísla? 33 % odpovedalo kladne, 17 % respondentov odpovedalo „nie“ a pre 50 % bolo ťažké odpovedať. Na tretiu otázku odpovedalo 100 % opýtaných kladne. Na štvrtú otázku odpovedalo kladne 89 % a „Nie“ odpovedalo 11 % študentov, ktorí sa zúčastnili prieskumu počas výskumnej práce.

Záver

Počas práce sa teda vyriešili tieto úlohy:

bol preštudovaný teoretický materiál k tejto problematike;

okrem známych znakov pre 2, 3, 5, 9 a 10 som sa dozvedel, že existujú aj znaky deliteľnosti 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 atď. .;

3) Bol študovaný Pascalov test - univerzálny test deliteľnosti ľubovoľným prirodzeným číslom;

Pri práci s rôznymi zdrojmi, pri analýze materiálu nájdeného na skúmanú tému som sa presvedčil, že existujú znaky deliteľnosti inými prirodzenými číslami. Napríklad na 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, čo potvrdilo správnosť mojej hypotézy o existencii ďalších znakov deliteľnosti prirodzených čísel. Tiež som zistil, že existuje univerzálne kritérium deliteľnosti, ktorého algoritmus našiel francúzsky matematik Pascal Blaise a publikoval ho vo svojom pojednaní „O povahe deliteľnosti čísel“. Pomocou tohto algoritmu môžete získať test deliteľnosti ľubovoľným prirodzeným číslom.

Výsledok výskumnej práce sa stal systematizovaným materiálom vo forme tabuľky „Znaky deliteľnosti čísel“, ktorý možno využiť na hodinách matematiky, v r. mimoškolské aktivity s cieľom pripraviť študentov na riešenie úloh olympiády, pri príprave študentov na jednotnú štátnu skúšku a jednotnú štátnu skúšku.

V budúcnosti plánujem pokračovať v práci na aplikácii testov deliteľnosti čísel pri riešení úloh.

Zoznam použitých zdrojov

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika. 6. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie /— 25. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 288 s.

Vorobiev V.N. Známky deliteľnosti.-M.: Nauka, 1988.-96 s.

Vygodsky M.Ya. Príručka elementárnej matematiky. - Elista.: Dzhangar, 1995. - 416 s.

Gardner M. Matematický voľný čas. / Pod. Ed. Y.A. - M.: Onyx, 1995. - 496 s.

Gelfman E.G., Beck E.F. atď. Prípad deliteľnosti a iné príbehy: Návod z matematiky pre 6. ročník. - Tomsk: Vydavatestvo univerzity Tomsk, 1992. - 176 s.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika: Referencia. materiály: Kniha. pre študentov. - 2. vyd. - M.: Vzdelávanie, 1990. - 416 s.

Gusev V.A., Orlov A.I., Rosenthal A.V. Mimoškolská práca v matematike v ročníkoch 6.-8. Moskva: Vzdelávanie, 1984. - 289 s.

Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. M.: Školstvo, 1989. - 97 s.

Kulanin E.D. Adresár. -M.: EKSMO-Press, 1999-224 s.

Perelman Ya.I. Zábavná algebra. M.: Triada-Litera, 1994. -199 rokov.

Tarasov B.N. Pascal. -M.: Mol. Stráž, 1982.-334 s.

http://dic.academic.ru/ (Wikipedia - bezplatná encyklopédia).

http://www.bymath.net (encyklopédia).

Príloha 1

TABUĽKA VÝZNAMNÝCH ZNAKOV

	Podpísať	Príklad
	Číslo končí párnou číslicou.	………………2(4,6,8,0)
	Súčet čísel je deliteľný 3.	3+7+8+0+1+5 = 24. 24:3
	Číslo, ktorého posledné dve číslice sú nuly alebo deliteľné 4.	………………12
	Číslo končí číslom 5 alebo 0.	………………0(5)
	Číslo končí párnou číslicou a súčet číslic je deliteľný tromi.	375018: 8-párne číslo 3+7+5+0+1+8 = 24. 24:3
	Výsledok dvojitého odčítania poslednej číslice od tohto čísla bez poslednej číslice sa vydelí 7.	36 - (2 x 4) = 28, 28:7
	Jeho posledné tri číslice sú nuly alebo tvoria číslo, ktoré je deliteľné 8.	……………..064
	Súčet jej číslic je deliteľný 9.	3+7+8+0+1+5+3=27. 27:9
	Číslo končí nulou	………………..0
	Súčet číslic čísla so striedavými znamienkami je deliteľný 11.	1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22
	Posledné dve číslice čísla sú deliteľné 4 a súčet číslic je deliteľný 3.	2+1+6=9, 9:3 a 16:4
	Počet desiatok daného čísla pripočítaný k štvornásobku počtu jednotiek je násobkom 13.	84 + (4 × 5) = 104,
	Číslo končí párnou číslicou a keď výsledok odčítania dvojnásobku poslednej číslice od čísla bez poslednej číslice je deliteľný 7.	364: 4 - párne číslo 36 - (2 x 4) = 28, 28:7
	Číslo 5 je delené 0 a súčet číslic je deliteľný 3.	6+3+4+8+0=21, 21:3
	Jeho posledné štyri číslice sú nuly alebo tvoria číslo, ktoré je deliteľné 16.	…………..0032
	Počet desiatok daného čísla pripočítaný k 12-krát zvýšenému počtu jednotiek je násobkom 17.	29053→2905+36=2941→294+12= 306→30+72=102→10+24=34. Pretože 34 je deliteľné 17, potom 29053 je deliteľné 17
	Číslo končí párnou číslicou a súčet jeho číslic je deliteľný 9.	2034: 4 - párne číslo
	Počet desiatok daného čísla pripočítaný k dvojnásobku počtu jednotiek je násobkom 19	64 + (6 × 2) = 76,
	Číslo končí nulou a predposledná číslica je párna	…………………40
	Číslo pozostávajúce z posledných dvoch číslic je deliteľné 25	…………….75
	Číslo je deliteľné 30 práve vtedy, ak končí 0 a súčet všetkých číslic je deliteľný 3.	……………..360
	Číslo je deliteľné 59 vtedy a len vtedy, ak počet desiatok pripočítaný k počtu jednotiek vynásobený 6 je deliteľný 59.	Napríklad 767 je deliteľné 59, pretože 76 + 6*7 = 118 a 11 + 6*8 = 59 sú deliteľné 59.
	Číslo je deliteľné 79 vtedy a len vtedy, ak počet desiatok pripočítaný k počtu jednotiek vynásobený 8 je deliteľný 79.	Napríklad 711 je deliteľné 79, pretože 79 je deliteľné 71 + 8*1 = 79
	Číslo je deliteľné 99 vtedy a len vtedy, ak súčet čísel, ktoré tvoria skupiny dvoch číslic (začínajúc jednotkami), je deliteľný 99.	Napríklad 12573 je deliteľné 99, pretože 1 + 25 + 73 = 99 je deliteľné 99.
na 125	Číslo pozostávajúce z posledných troch číslic je deliteľné 125	……………375

Známky deliteľnosti

Poznámka 2

Znaky deliteľnosti sa zvyčajne nepoužívajú na samotné číslo, ale na čísla pozostávajúce z číslic, ktoré sa podieľajú na písaní tohto čísla.

Testy deliteľnosti pre čísla $2, 5$ a $10$ vám umožňujú skontrolovať deliteľnosť čísla iba pomocou poslednej číslice čísla.

Ďalšie znaky deliteľnosti zahŕňajú analýzu posledných dvoch, troch alebo viacerých číslic čísla. Napríklad test deliteľnosti $4$ vyžaduje analýzu dvojciferného čísla, ktoré sa skladá z posledných dvoch číslic čísla; Test deliteľnosti 8 vyžaduje analýzu čísla, ktoré je tvorené poslednými tromi číslicami čísla.

Pri použití iných znakov deliteľnosti je potrebné analyzovať všetky číslice čísla. Napríklad pri použití testu deliteľnosti 3 $ a testu deliteľnosti 9 $ musíte nájsť súčet všetkých číslic čísla a potom skontrolovať deliteľnosť nájdeného súčtu 3 $ alebo 9 $, resp.

Znaky deliteľnosti zloženými číslami kombinujú niekoľko ďalších znakov. Napríklad znak deliteľnosti $6$ je kombináciou znakov deliteľnosti číslami $2$ a $3$ a znaku deliteľnosti $12$ – číslami $3$ a $4$.

Aplikácia niektorých kritérií deliteľnosti si vyžaduje značnú výpočtovú prácu. V takýchto prípadoch môže byť jednoduchšie priamo deliť číslo $a$ $b$, čo povedie k otázke, či je možné dané číslo $a$ bezo zvyšku deliť číslom $b$.

Otestujte deliteľnosť 2 dolármi

Poznámka 3

Ak je posledná číslica celého čísla bezo zvyšku deliteľná 2 $, potom je číslo bezo zvyšku deliteľné 2 $. V ostatných prípadoch dané celé číslo nie je deliteľné $2$.

Príklad 1

Určte, ktorý z navrhovanéčísla deliteľné 2 $: 10, 6 349, –765 386, 29 567, $

Riešenie.

Používame kritérium deliteľnosti $2$, podľa ktorého môžeme usúdiť, že čísla $10$ a $–765\386$ sú bezo zvyšku deliteľné $2$, pretože posledná číslica týchto čísel je číslo $0$ a $6$. Čísla $6\3494$ a $29\567$ nie sú bezo zvyšku deliteľné $2$, pretože posledná číslica čísla je 9 $ a 7 $.

Odpoveď: $10$ a $–765\386$ sú deliteľné $2$, $6\349$ a ​​$29\567$ nie sú deliteľné $2$.

Poznámka 4

Celé čísla založené na ich deliteľnosti $2$ sú delené dokonca A zvláštny.

Otestujte deliteľnosť 3 dolármi

Poznámka 5

Ak je súčet číslic celého čísla deliteľný $3$, potom samotné číslo je deliteľné $3$, v ostatných prípadoch číslo nie je deliteľné $3$.

Príklad 2

Skontrolujte, či je číslo $123$ deliteľné $3$.

Riešenie.

Nájdite súčet číslic čísla $123=1+2+3=6$. Pretože výsledná suma $6$ sa vydelí $3$, potom sa podľa kritéria deliteľnosti $3$ číslo 123$ vydelí $3$.

Odpoveď: $123⋮3$.

Príklad 3

Skontrolujte, či je číslo $58$ deliteľné $3$.

Riešenie.

Nájdite súčet číslic čísla $58=5+8=13$. Pretože výsledná suma $13$ nie je deliteľná $3$, potom deliteľnosťou $3$ nie je číslo $58$ deliteľné $3$.

Odpoveď: $58$ nie je deliteľné $3$.

Niekedy, aby ste skontrolovali, či je číslo deliteľné 3, musíte niekoľkokrát použiť test deliteľnosti 3 $. Zvyčajne sa tento prístup používa pri aplikácii testov deliteľnosti na veľmi veľké čísla.

Príklad 4

Skontrolujte, či je číslo $999\675\444$ deliteľné 3 $.

Riešenie.

Nájdite súčet číslic čísla 999 $ \ 675 \ 444 = 9 + 9 + 9 + 6 + 7 + 5 + 4 + 4 + 4 = 27 + 18 + 12 = 57 $. Ak je z prijatej sumy ťažké zistiť, či je deliteľná 3 $, musíte znova použiť test deliteľnosti a nájsť súčet číslic výslednej sumy $57=5+7=12$. Pretože výsledná suma $12$ sa vydelí $3$, potom podľa testu deliteľnosti $3$ sa číslo $999\675\444$ vydelí $3$.

Odpoveď: $999 \ 675 \ 444 ⋮3$.

Test deliteľnosti za 4 doláre

Poznámka 6

Celé číslo je deliteľné $4$, ak číslo, ktoré sa skladá z posledných dvoch číslic daného čísla (v poradí, v akom sa objavujú), je deliteľné $4$. V opačnom prípade toto číslo nie je deliteľné 4 $.

Príklad 5

Skontrolujte, či sú čísla $123\567$ a $48\612$ deliteľné $4$.

Riešenie.

Dvojmiestne číslo, ktoré sa skladá z posledných dvoch číslic $123\567$, je $67$. Číslo $67$ nie je deliteľné $4$, pretože $67\div 4=16 (zostávajúce 3)$. To znamená, že číslo $123\567$ podľa testu deliteľnosti $4$ nie je deliteľné $44,44.

Dvojmiestne číslo, ktoré sa skladá z posledných dvoch číslic $48\612$, je $12$. Číslo $12$ je deliteľné $4$, pretože $12\div 4=3$. To znamená, že číslo $48\612$ je podľa testu deliteľnosti $4$ deliteľné aj $4$.

Odpoveď: $123\567$ nie je deliteľné $4, 48\612$ je deliteľné $4$.

Poznámka 7

Ak sú posledné dve číslice daného čísla nuly, potom je číslo deliteľné 4 $.

Tento záver je urobený v dôsledku skutočnosti, že toto číslo je deliteľné 100 $ a od 100 $ je deliteľné 4 $, potom je číslo deliteľné 4 $.

Test deliteľnosti za 5 $

Poznámka 8

Ak je posledná číslica celého čísla $0$ alebo $5$, potom je toto číslo deliteľné $5$ a nie je deliteľné $5$ vo všetkých ostatných prípadoch.

Príklad 6

Určte, ktoré z daných čísel sú deliteľné 5 $: 10, 6 349, –765 385, 29 567, $

Riešenie.

Používame test deliteľnosti $5$, podľa ktorého môžeme usúdiť, že čísla $10$ a $–765,385$ sú bezo zvyšku deliteľné $5$, pretože posledná číslica týchto čísel je číslo $0$ a $5$. Čísla $6\349$ a ​​$29\567$ nie sú bezo zvyšku deliteľné $5$, pretože posledná číslica čísla je 9 $ a 7 $.

Znaky deliteľnosti čísel- ide o pravidlá, ktoré umožňujú pomerne rýchlo bez delenia zistiť, či je toto číslo bezo zvyšku deliteľné daným číslom.
Niektorí z znaky deliteľnosti celkom jednoduché, niektoré zložitejšie. Na tejto stránke nájdete oba znaky deliteľnosti základné čísla, ako je napríklad 2, 3, 5, 7, 11, a znaky deliteľnosti zložených čísel, ako napríklad 6 alebo 12.
Dúfam, že tieto informácie budú pre vás užitočné.
Príjemné učenie!

Test deliteľnosti 2

Toto je jeden z najjednoduchších znakov deliteľnosti. Znie to takto: ak sa zápis prirodzeného čísla končí párnou číslicou, potom je párne (deliteľné bezo zvyšku 2) a ak sa zápis prirodzeného čísla končí nepárnou číslicou, potom je toto číslo nepárne .
Inými slovami, ak je posledná číslica čísla 2 , 4 , 6 , 8 alebo 0 - číslo je deliteľné 2, ak nie, tak nie je deliteľné
Napríklad čísla: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 sú deliteľné 2, pretože sú párne.
A čísla: 23 5 , 137 , 2303
Nie sú deliteľné 2, pretože sú nepárne.

Test deliteľnosti 3

Tento znak deliteľnosti má úplne iné pravidlá: ak je súčet číslic čísla deliteľný 3, potom je číslo deliteľné 3; Ak súčet číslic čísla nie je deliteľný 3, potom číslo nie je deliteľné 3.
To znamená, že aby ste pochopili, či je číslo deliteľné 3, stačí sčítať čísla, ktoré ho tvoria.
Vyzerá to takto: 3987 a 141 sú deliteľné 3, pretože v prvom prípade 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - deliteľné 3), a v druhom 1+4+1= 6 (6:3=2 - tiež deliteľné 3).
Ale čísla: 235 a 566 nie sú deliteľné 3, pretože 2+3+5= 10 a 5+6+6= 17 (a vieme, že ani 10, ani 17 nie sú bezo zvyšku deliteľné 3).

Test deliteľnosti 4

Tento znak deliteľnosti bude komplikovanejší. Ak posledné 2 číslice čísla tvoria číslo deliteľné 4 alebo je 00, potom je číslo deliteľné 4, inak dané číslo nie je bezo zvyšku deliteľné 4.
Napríklad: 1 00 a 3 64 sú deliteľné 4, pretože v prvom prípade číslo končí na 00 a v druhom na 64 , ktorý je zase deliteľný 4 bezo zvyšku (64:4=16)
Čísla 3 57 a 8 86 nie sú deliteľné 4, pretože ani jedno 57 ani jedno 86 nie sú deliteľné 4, čo znamená, že nezodpovedajú tomuto kritériu deliteľnosti.

Test deliteľnosti 5

A opäť tu máme celkom jednoduchý znak deliteľnosti: ak sa zápis prirodzeného čísla končí číslom 0 alebo 5, potom je toto číslo deliteľné bezo zvyšku 5. Ak sa zápis čísla končí inou číslicou, potom číslo nie je bezo zvyšku deliteľné 5.
To znamená, že akékoľvek čísla končiace číslicami 0 A 5 , napríklad 1235 5 a 43 0 , spadajú pod pravidlo a sú deliteľné 5.
A napríklad 1549 3 a 56 4 nekončia číslom 5 alebo 0, čo znamená, že ich nemožno deliť 5 bezo zvyšku.

Test deliteľnosti číslom 6

Pred nami zložené číslo 6, ktoré je súčinom čísel 2 a 3. Preto je aj znak deliteľnosti číslom 6 zložený: aby bolo číslo deliteľné číslom 6, musí zodpovedať dvom znakom deliteľnosti súčasne: znamienko deliteľnosti 2 a znamienko deliteľnosti 3. Upozorňujeme, že také zložené číslo ako 4 má individuálne znamienko deliteľnosti, pretože je súčinom samotného čísla 2. Ale vráťme sa k testu deliteľnosti 6.
Čísla 138 a 474 sú párne a spĺňajú kritériá deliteľnosti 3 (1+3+8=12, 12:3=4 a 4+7+4=15, 15:3=5), čo znamená, že sú deliteľné. 6. Ale 123 a 447, sú síce deliteľné 3 (1+2+3=6, 6:3=2 a 4+4+7=15, 15:3=5), ale sú nepárne, čo znamená, že nezodpovedajú kritériu deliteľnosti 2, a preto nezodpovedajú kritériu deliteľnosti 6.

Test deliteľnosti 7

Tento test deliteľnosti je zložitejší: číslo je deliteľné 7, ak výsledok odčítania dvojnásobku poslednej číslice od počtu desiatok tohto čísla je deliteľný 7 alebo rovný 0.
Znie to dosť zmätočne, no v praxi je to jednoduché. Presvedčte sa sami: číslo 95 9 je deliteľné 7, pretože 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 sa vydelí 7 bez zvyšku). Okrem toho, ak sa vyskytnú ťažkosti s číslom získaným počas transformácie (kvôli jeho veľkosti je ťažké pochopiť, či je deliteľné 7 alebo nie, potom tento postup môže pokračovať toľkokrát, koľkokrát považujete za potrebné).
Napríklad, 45 5 a 4580 1 majú vlastnosti deliteľnosti 7. V prvom prípade je všetko celkom jednoduché: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. V druhom prípade urobíme toto: 4580 -2*1=4580-2=4578. Je pre nás ťažké pochopiť, či 457 8 x 7, takže postup zopakujeme: 457 -2*8=457-16=441. A opäť použijeme znak deliteľnosti, keďže máme ešte pred sebou trojciferné číslo 44 1. Takže, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, t.j. 42 je deliteľné 7 bezo zvyšku, čo znamená, že 45801 je deliteľné 7.
Tu sú čísla 11 1 a 34 5 nie je deliteľné 7, pretože 11 -2*1=11-2=9 (9 nie je deliteľné 7) a 34 -2*5=34-10=24 (24 nie je bezo zvyšku deliteľné 7).

Test deliteľnosti 8

Test deliteľnosti 8 znie takto: ak posledné 3 číslice tvoria číslo deliteľné 8, alebo je to 000, potom je dané číslo deliteľné 8.
Čísla 1 000 alebo 1 088 deliteľné 8: prvý končí na 000 , druhy 88 :8=11 (deliteľné 8 bezo zvyšku).
A tu sú čísla 1 100 alebo 4 757 nie sú deliteľné 8, pretože čísla 100 A 757 nie sú bezo zvyšku deliteľné 8.

Test deliteľnosti 9

Tento znak deliteľnosti je podobný znaku deliteľnosti 3: ak je súčet číslic čísla deliteľný 9, potom je číslo deliteľné 9; Ak súčet číslic čísla nie je deliteľný 9, potom číslo nie je deliteľné 9.
Napríklad: 3987 a 144 sú deliteľné 9, pretože v prvom prípade 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - deliteľné 9 bezo zvyšku), a v druhom 1+4+4= 9 (9:9=1 - tiež deliteľné 9).
Ale čísla: 235 a 141 nie sú deliteľné 9, pretože 2+3+5= 10 a 1+4+1= 6 (a vieme, že ani 10, ani 6 nie sú bezo zvyšku deliteľné 9).

Znaky deliteľnosti 10, 100, 1000 a iné jednotky číslic

Tieto znaky deliteľnosti som skombinoval, pretože ich možno opísať rovnakým spôsobom: číslo sa delí jednotkou číslice, ak počet núl na konci čísla je väčší alebo rovný počtu núl na danej jednotke číslice. .
Inými slovami, máme napríklad tieto čísla: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . z ktorých všetky sú deliteľné 1 0 ; 46400 a 867 000 sú tiež deliteľné 1 00 ; a iba jeden z nich je 867 000 deliteľné 1 000 .
Akékoľvek čísla, ktoré majú menej koncových núl ako jednotka číslice, nie sú deliteľné touto jednotkou číslice, napríklad 600 30 a 7 93 nedeliteľné 1 00 .

Test deliteľnosti do 11

Aby ste zistili, či je číslo deliteľné 11, musíte získať rozdiel medzi súčtom párnych a nepárnych číslic tohto čísla. Ak sa tento rozdiel rovná 0 alebo je bezo zvyšku deliteľný 11, potom samotné číslo je bezo zvyšku deliteľné 11.
Aby to bolo jasnejšie, navrhujem pozrieť si príklady: 2 35 4 je deliteľné 11, pretože ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 je tiež deliteľné 11, pretože ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Tu je 1 1 1 alebo 4 35 4 nie je deliteľné 11, pretože v prvom prípade dostaneme (1+1)- 1 =1 a v druhom ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Test deliteľnosti 12

Číslo 12 je zložené. Jeho znakom deliteľnosti je súlad so znakmi deliteľnosti 3 a 4 súčasne.
Napríklad 300 a 636 zodpovedajú znakom deliteľnosti 4 (posledné 2 číslice sú nuly alebo sú deliteľné 4), ako aj znakom deliteľnosti 3 (súčet číslic prvého aj tretieho čísla je deliteľný 3), ale napokon sú bezo zvyšku deliteľné 12.
Ale 200 alebo 630 nie sú deliteľné 12, pretože v prvom prípade číslo spĺňa iba kritérium deliteľnosti 4 av druhom prípade iba kritérium deliteľnosti 3, ale nie obe kritériá súčasne.

Test deliteľnosti do 13

Znakom deliteľnosti 13 je, že ak počet desiatok čísla pripočítaného k jednotkám tohto čísla vynásobeným 4 je násobkom 13 alebo rovným 0, potom samotné číslo je deliteľné 13.
Vezmime si príklad 70 2. Takže, 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 je bezo zvyšku deliteľné 13), čo znamená 70 2 je deliteľné 13 bezo zvyšku. Ďalším príkladom je číslo 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Číslo 130 je bezo zvyšku deliteľné 13, čo znamená, že dané číslo zodpovedá kritériu deliteľnosti 13.
Ak vezmeme čísla 12 5 resp 21 2, potom dostaneme 12 +4*5=32 a 21 +4*2=29 a ani 32, ani 29 nie sú bezo zvyšku deliteľné 13, čo znamená, že dané čísla nie sú bezo zvyšku deliteľné 13.

Deliteľnosť čísel

Ako je zrejmé z vyššie uvedeného, ​​dá sa predpokladať, že pre ktorékoľvek z prirodzených čísel si môžete vybrať svoj vlastný individuálny znak deliteľnosti alebo „zložený“ znak, ak je číslo násobkom niekoľkých rôznych čísel. Ale ako ukazuje prax, hlavne ako väčšie číslo, čím je jeho znak zložitejší. Je možné, že čas strávený kontrolou kritéria deliteľnosti môže byť rovnaký alebo dlhší ako samotné delenie. Preto zvyčajne používame najjednoduchšie znaky deliteľnosti.

Facebook

Twitter

V kontakte s

Spolužiaci

Google+