Fattorizzare un numero elevato in fattori primi. Scomporre online un numero in fattori primi

In questo articolo troverai tutte le informazioni necessarie per rispondere alla domanda, come scomporre un numero in fattori primi. Innanzitutto, viene fornita un'idea generale della scomposizione di un numero in fattori primi e vengono forniti esempi di scomposizioni. Quanto segue mostra la forma canonica di scomposizione di un numero in fattori primi. Successivamente, viene fornito un algoritmo per decomporre i numeri arbitrari in fattori primi e vengono forniti esempi di scomposizione dei numeri utilizzando questo algoritmo. Vengono anche presi in considerazione metodi alternativi che consentono di fattorizzare rapidamente piccoli numeri interi in fattori primi utilizzando test di divisibilità e tabelle di moltiplicazione.

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Cosa significa scomporre un numero in fattori primi?

Per prima cosa, vediamo quali sono i fattori primi.

È chiaro che poiché in questa frase è presente la parola "fattori", allora esiste un prodotto di alcuni numeri e la parola qualificante "semplice" significa che ciascun fattore è un numero primo. Ad esempio, in un prodotto della forma 2·7·7·23 ci sono quattro fattori primi: 2, 7, 7 e 23.

Cosa significa scomporre un numero in fattori primi?

Significa che dato numero deve essere rappresentato come un prodotto di fattori primi e il valore di questo prodotto deve essere uguale al numero originale. Ad esempio, consideriamo il prodotto di tre numeri primi 2, 3 e 5, è uguale a 30, quindi la scomposizione del numero 30 in fattori primi è 2·3·5. Solitamente la scomposizione di un numero in fattori primi si scrive come un'uguaglianza, nel nostro esempio sarà così: 30=2·3·5; Sottolineiamo separatamente che i fattori primi nell’espansione possono essere ripetuti. Ciò è chiaramente illustrato dal seguente esempio: 144=2·2·2·2·3·3. Ma una rappresentazione della forma 45=3·15 non è una scomposizione in fattori primi, poiché il numero 15 è un numero composto.

Sorge la seguente domanda: “Quali numeri possono essere scomposti in fattori primi?”

Alla ricerca di una risposta, presentiamo il seguente ragionamento. I numeri primi, per definizione, sono tra quelli maggiori di uno. Considerando questo fatto e , si può sostenere che il prodotto di più fattori primi è un intero positivo maggiore di uno. Pertanto la fattorizzazione avviene solo per gli interi positivi maggiori di 1.

Ma tutti gli interi maggiori di uno possono essere scomposti in fattori primi?

È chiaro che non è possibile scomporre gli interi semplici in fattori primi. Questo perché i numeri primi hanno solo due fattori positivi: uno e se stessi, quindi non possono essere rappresentati come il prodotto di due o più numeri primi. Se l'intero z potesse essere rappresentato come il prodotto dei numeri primi a e b, allora il concetto di divisibilità ci consentirebbe di concludere che z è divisibile sia per a che per b, il che è impossibile a causa della semplicità del numero z. Tuttavia, credono che qualsiasi numero primo sia esso stesso una scomposizione.

E i numeri compositi? Si piegano? numeri compositi in fattori primi, e tutti i numeri composti sono soggetti a tale scomposizione? Il teorema fondamentale dell’aritmetica dà una risposta affermativa a molte di queste domande. Il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che qualsiasi intero a maggiore di 1 può essere scomposto nel prodotto dei fattori primi p 1, p 2, ..., p n, e la scomposizione ha la forma a = p 1 · p 2 · … · p n, e questa espansione è unica, se non si tiene conto dell'ordine dei fattori

Fattorizzazione canonica di un numero in fattori primi

Nello sviluppo di un numero i fattori primi possono ripetersi. I fattori primi ripetuti possono essere scritti in modo più compatto utilizzando . Supponiamo che nella scomposizione di un numero il fattore primo p 1 ricorra s 1 volte, il fattore primo p 2 – s 2 volte, e così via, p n – s n volte. Quindi la scomposizione in fattori primi del numero a può essere scritta come: a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Questa forma di registrazione è la cosiddetta Fattorizzazione canonica di un numero in fattori primi.

Facciamo un esempio della scomposizione canonica di un numero in fattori primi. Facci sapere la scomposizione 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, la sua notazione canonica ha la forma 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

La fattorizzazione canonica di un numero in fattori primi permette di trovare tutti i divisori del numero e il numero dei divisori del numero.

Algoritmo per scomporre un numero in fattori primi

Per affrontare con successo il compito di scomporre un numero in fattori primi, è necessario avere un'ottima conoscenza delle informazioni contenute nell'articolo sui numeri primi e composti.

L'essenza del processo di scomposizione di un numero intero positivo a superiore a uno è chiara dalla dimostrazione del teorema fondamentale dell'aritmetica. Il punto è trovare in sequenza i più piccoli divisori primi p 1, p 2, ..., p n dei numeri a, a 1, a 2, ..., a n-1, che ci permette di ottenere una serie di uguaglianze a=p 1 ·a 1, dove a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , dove a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , dove a n =a n-1:p n . Quando risulta a n = 1, allora l'uguaglianza a=p 1 ·p 2 ·…·p n ci darà la scomposizione desiderata del numero a in fattori primi. Va notato anche qui che p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤… ≤ p n.

Resta da capire come trovare i più piccoli fattori primi in ogni passaggio e avremo un algoritmo per scomporre un numero in fattori primi. Una tabella dei numeri primi ci aiuterà a trovare i fattori primi. Mostriamo come usarlo per ottenere il più piccolo divisore primo del numero z.

Prendiamo in sequenza i numeri primi dalla tabella dei numeri primi (2, 3, 5, 7, 11 e così via) e dividiamo il numero z dato per essi. Il primo numero primo per cui z è diviso equamente sarà il suo più piccolo divisore primo. Se il numero z è primo, il suo più piccolo divisore primo sarà il numero z stesso. Va anche ricordato qui che se z non lo è numero primo, allora il suo più piccolo divisore primo non supera il numero , dove viene da z. Pertanto, se tra i numeri primi non superiori a , non c'è un solo divisore del numero z, allora possiamo concludere che z è un numero primo (maggiori informazioni su questo argomento sono scritte nella sezione teorica sotto il titolo Questo numero è primo o composto ).

Ad esempio, mostreremo come trovare il più piccolo divisore primo del numero 87. Prendiamo il numero 2. Dividendo 87 per 2, otteniamo 87:2=43 (restante 1) (se necessario, vedi articolo). Cioè, dividendo 87 per 2, il resto è 1, quindi 2 non è un divisore del numero 87. Prendiamo il numero primo successivo dalla tabella dei numeri primi, questo è il numero 3. Dividendo 87 per 3, otteniamo 87:3=29. Pertanto, 87 è divisibile per 3, quindi il numero 3 è il più piccolo divisore primo del numero 87.

Si noti che nel caso generale, per scomporre un numero a in fattori primi, è necessaria una tabella di numeri primi fino a un numero non inferiore a . Dovremo fare riferimento a questa tabella in ogni passaggio, quindi dobbiamo averla a portata di mano. Ad esempio, per fattorizzare il numero 95 in fattori primi, avremo bisogno solo di una tabella di numeri primi fino a 10 (poiché 10 è maggiore di ). E per scomporre il numero 846.653 avrai già bisogno di una tabella dei numeri primi fino a 1.000 (poiché 1.000 è maggiore di ).

Ora abbiamo abbastanza informazioni da scrivere algoritmo per scomporre un numero in fattori primi. L'algoritmo per decomporre il numero a è il seguente:

• Ordinando in sequenza i numeri dalla tabella dei numeri primi, troviamo il più piccolo divisore primo p 1 del numero a, dopo di che calcoliamo a 1 =a:p 1. Se a 1 = 1, allora il numero a è primo, ed esso stesso è la sua scomposizione in fattori primi. Se a 1 non è uguale a 1, allora abbiamo a=p 1 ·a 1 e passiamo al passaggio successivo.
• Troviamo il più piccolo divisore primo p 2 del numero a 1 , per fare questo ordiniamo in sequenza i numeri dalla tabella dei numeri primi, iniziando da p 1 , e poi calcoliamo a 2 =a 1:p 2 . Se a 2 =1, allora la scomposizione richiesta del numero a in fattori primi ha la forma a=p 1 ·p 2. Se a 2 non è uguale a 1, allora abbiamo a=p 1 ·p 2 ·a 2 e passiamo al passaggio successivo.
• Percorrendo i numeri della tabella dei numeri primi, partendo da p 2, troviamo il più piccolo divisore primo p 3 del numero a 2, dopodiché calcoliamo a 3 =a 2:p 3. Se a 3 =1, allora la scomposizione richiesta del numero a in fattori primi ha la forma a=p 1 ·p 2 ·p 3. Se a 3 non è uguale a 1, allora abbiamo a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 e passiamo al passaggio successivo.
• Troviamo il più piccolo divisore primo p n del numero a n-1 ordinando i numeri primi, iniziando da p n-1, così come a n = a n-1:p n, e a n è uguale a 1. Questo passo è l'ultimo passo dell'algoritmo qui otteniamo la scomposizione richiesta del numero a in fattori primi: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Per chiarezza, tutti i risultati ottenuti in ogni passaggio dell'algoritmo per decomporre un numero in fattori primi sono presentati sotto forma della seguente tabella, in cui i numeri a, a 1, a 2, ..., a n sono scritti in sequenza in una colonna a sinistra della linea verticale e a destra della linea - i corrispondenti divisori primi più piccoli p 1, p 2, ..., p n.

Non resta che considerare alcuni esempi di applicazione dell'algoritmo risultante per la scomposizione dei numeri in fattori primi.

Esempi di scomposizione in fattori primi

Ora guarderemo in dettaglio Esempi di fattorizzazione dei numeri in fattori primi. Durante la scomposizione, utilizzeremo l'algoritmo del paragrafo precedente. Cominciamo con casi semplici e li complichiamo gradualmente per incontrare tutte le possibili sfumature che emergono quando si scompongono i numeri in fattori primi.

Esempio.

Scomponi il numero 78 nei suoi fattori primi.

Soluzione.

Iniziamo la ricerca del primo più piccolo divisore primo p 1 del numero a=78. Per fare ciò, iniziamo a ordinare in sequenza i numeri primi dalla tabella dei numeri primi. Prendiamo il numero 2 e dividiamo 78 per esso, otteniamo 78:2=39. Il numero 78 si divide per 2 senza resto, quindi p 1 =2 è il primo divisore primo trovato del numero 78. In questo caso, a 1 =a:p 1 =78:2=39. Giungiamo quindi all'uguaglianza a=p 1 ·a 1 avente la forma 78=2·39. Ovviamente 1=39 è diverso da 1, quindi passiamo al secondo passo dell'algoritmo.

Ora cerchiamo il più piccolo divisore primo p 2 del numero a 1 =39. Iniziamo ad enumerare i numeri dalla tabella dei numeri primi, iniziando con p 1 =2. Dividendo 39 per 2, otteniamo 39:2=19 (rimanente 1). Dato che 39 non è divisibile per 2, allora 2 non è il suo divisore. Poi prendiamo il numero successivo dalla tabella dei numeri primi (numero 3) e dividiamo 39 per esso, otteniamo 39:3=13. Pertanto p 2 =3 è il più piccolo divisore primo del numero 39, mentre a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Abbiamo l'uguaglianza a=p 1 ·p 2 ·a 2 nella forma 78=2·3·13. Poiché 2 = 13 è diverso da 1, passiamo al passaggio successivo dell'algoritmo.

Qui dobbiamo trovare il più piccolo divisore primo del numero a 2 =13. Alla ricerca del più piccolo divisore primo p 3 del numero 13, ordineremo in sequenza i numeri dalla tabella dei numeri primi, iniziando con p 2 =3. Il numero 13 non è divisibile per 3, poiché 13:3=4 (resto. 1), anche 13 non è divisibile per 5, 7 e 11, poiché 13:5=2 (resto. 3), 13:7=1 (riposo 6) e 13:11=1 (riposo 2). Il numero primo successivo è 13, e 13 è divisibile per esso senza resto, quindi il più piccolo divisore primo p 3 di 13 è il numero 13 stesso, e a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Poiché a 3 =1, questo passo dell'algoritmo è l'ultimo, e la scomposizione richiesta del numero 78 in fattori primi ha la forma 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Risposta:

78=2·3·13.

Esempio.

Esprimi il numero 83.006 come prodotto di fattori primi.

Soluzione.

Al primo passo dell'algoritmo per scomporre un numero in fattori primi troviamo p 1 =2 e a 1 =a:p 1 =83.006:2=41.503, da cui 83.006=2·41.503.

Al secondo passo scopriamo che 2, 3 e 5 non sono divisori primi del numero a 1 =41.503, ma lo è il numero 7, poiché 41.503:7=5.929. Abbiamo p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41.503:7=5.929. Pertanto, 83.006 = 2 7 5 929.

Il più piccolo divisore primo del numero a 2 =5 929 è il numero 7, poiché 5 929:7 = 847. Quindi, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, da cui 83 006 = 2·7·7·847.

Successivamente troviamo che il più piccolo divisore primo p 4 del numero a 3 =847 è uguale a 7. Quindi a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, quindi 83 006=2·7·7·7·121.

Ora troviamo il più piccolo divisore primo del numero a 4 =121, è il numero p 5 =11 (poiché 121 è divisibile per 11 e non divisibile per 7). Quindi a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 e 83 006=2·7·7·7·11·11.

Infine, il più piccolo divisore primo del numero a 5 =11 è il numero p 6 =11. Quindi a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Poiché a 6 =1, questo passo dell'algoritmo per decomporre un numero in fattori primi è l'ultimo, e la scomposizione desiderata ha la forma 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Il risultato ottenuto può essere scritto come la scomposizione canonica del numero in fattori primi 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Risposta:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 è un numero primo. Non ha infatti un solo divisore primo che non superi ( può essere approssimativamente stimato come , poiché è ovvio che 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Risposta:

897 924 289 = 937 967 991 .

Utilizzo dei test di divisibilità per la scomposizione in fattori primi

Nei casi più semplici, puoi scomporre un numero in fattori primi senza utilizzare l'algoritmo di scomposizione descritto nel primo paragrafo di questo articolo. Se i numeri non sono grandi, per scomporli in fattori primi è spesso sufficiente conoscere i segni di divisibilità. Diamo esempi per chiarimenti.

Ad esempio, dobbiamo fattorizzare il numero 10 in fattori primi. Dalla tavola pitagorica sappiamo che 2·5=10, e i numeri 2 e 5 sono ovviamente primi, quindi la scomposizione in fattori primi del numero 10 appare come 10=2·5.

Un altro esempio. Utilizzando la tavola pitagorica, scomporremo il numero 48 in fattori primi. Sappiamo che sei fa otto - quarantotto, cioè 48 = 6·8. Tuttavia né 6 né 8 sono numeri primi. Ma sappiamo che due volte tre fa sei, e due volte quattro fa otto, cioè 6=2·3 e 8=2·4. Allora 48=6·8=2·3·2·4. Resta da ricordare che due per due fa quattro, quindi otteniamo la scomposizione desiderata in fattori primi 48 = 2·3·2·2·2. Scriviamo questo sviluppo in forma canonica: 48=2 4 ·3.

Ma quando si fattorizza il numero 3.400 in fattori primi, è possibile utilizzare i criteri di divisibilità. I segni di divisibilità per 10, 100 ci permettono di affermare che 3400 è divisibile per 100, con 3400=34·100, e 100 è divisibile per 10, con 100=10·10, quindi 3400=34·10·10. E in base al test di divisibilità per 2, possiamo dire che ciascuno dei fattori 34, 10 e 10 è divisibile per 2, otteniamo 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Tutti i fattori nell'espansione risultante sono semplici, quindi questa espansione è quella desiderata. Non resta che riorganizzare i fattori in modo che vadano in ordine crescente: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Scriviamo anche la scomposizione canonica di questo numero in fattori primi: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Quando si scompone un dato numero in fattori primi, è possibile utilizzare alternativamente sia i segni di divisibilità che la tavola pitagorica. Immaginiamo il numero 75 come un prodotto di fattori primi. Il test di divisibilità per 5 ci permette di affermare che 75 è divisibile per 5, e otteniamo che 75 = 5·15. E dalla tavola pitagorica sappiamo che 15=3·5, quindi 75=5·3·5. Questa è la scomposizione richiesta del numero 75 in fattori primi.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. e altri. 6a elementare: libro di testo per istituti di istruzione generale.
• Vinogradov I.M. Fondamenti di teoria dei numeri.
• Mikhelovich Sh.H. Teoria dei numeri.
• Kulikov L.Ya. e altri. Raccolta di problemi di algebra e teoria dei numeri: libro di testo per studenti di fisica e matematica. specialità degli istituti pedagogici.

Questo calcolatore online scompone i numeri in fattori primi enumerandoli. Se il numero è grande, per facilità di presentazione, utilizzare un separatore di cifre.

Il risultato è già stato ricevuto!

Scomposizione di un numero in fattori primi: teoria, algoritmo, esempi e soluzioni

Uno dei modi più semplici per fattorizzare un numero è verificare se il numero è divisibile per 2, 3, 5,... ecc., cioè controlla se un numero è divisibile per una serie di numeri primi. Se il numero N non è divisibile per nessun numero primo fino a , allora questo numero è primo, perché se il numero è composto, allora ha almeno due fattori ed entrambi non possono essere maggiori di .

Immaginiamo l'algoritmo di scomposizione dei numeri N in fattori primi. Prepariamo in anticipo una tabella dei numeri primi S=. Indichiamo una serie di numeri primi con P 1 , P 2 , P 3 , ...

Algoritmo per scomporre un numero in fattori primi:

Esempio 1. Fattorizzare il numero 153 in fattori primi.

Soluzione. Ci basta avere una tabella dei numeri primi fino a , cioè. 2, 3, 5, 7, 11.

Dividi 153 per 2. 153 non è divisibile per 2 senza resto. Successivamente, dividi 153 per l'elemento successivo della tabella dei numeri primi, ovvero a 3. 153:3=51. Compila la tabella:

Successivamente, controlliamo se il numero 17 è divisibile per 3. Il numero 17 non è divisibile per 3. Non è divisibile per i numeri 5, 7, 11. Il divisore successivo è maggiore . Pertanto 17 è un numero primo divisibile solo per se stesso: 17:17=1. La procedura si è fermata. compila la tabella:

Scegliamo quei divisori con cui i numeri 153, 51, 17 sono divisi senza resto, ad es. tutti i numeri sono sul lato destro della tabella. Questi sono i divisori 3, 3, 17. Ora il numero 153 può essere rappresentato come un prodotto di numeri primi: 153=3·3·17.

Esempio 2. Fattorizzare il numero 137 in fattori primi.

Soluzione. Calcoliamo . Ciò significa che dobbiamo verificare la divisibilità del numero 137 per i numeri primi fino a 11: 2,3,5,7,11. Dividendo il numero 137 per questi numeri uno per uno, scopriamo che il numero 137 non è divisibile per nessuno dei numeri 2,3,5,7,11. Quindi 137 è un numero primo.

Questo articolo fornisce le risposte alla domanda su come fattorizzare un numero su un foglio. Diamo un'occhiata all'idea generale di decomposizione con esempi. Analizziamo la forma canonica dell'espansione e il suo algoritmo. Verranno presi in considerazione tutti i metodi alternativi utilizzando segni di divisibilità e tabelline.

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Cosa significa scomporre un numero in fattori primi?

Consideriamo il concetto di fattori primi. È noto che ogni fattore primo è un numero primo. In un prodotto della forma 2 · 7 · 7 · 23 abbiamo che abbiamo 4 fattori primi nella forma 2, 7, 7, 23.

La fattorizzazione prevede la sua rappresentazione sotto forma di prodotti di numeri primi. Se dobbiamo scomporre il numero 30, otteniamo 2, 3, 5. La voce assumerà la forma 30 = 2 · 3 · 5. È possibile che i moltiplicatori si ripetano. Un numero come 144 ha 144 = 2 2 2 2 3 3.

Non tutti i numeri sono inclini a decadere. I numeri maggiori di 1 e interi possono essere fattorizzati. I numeri primi, se scomposti, sono divisibili solo per 1 e per se stessi, quindi è impossibile rappresentare questi numeri come un prodotto.

Quando z si riferisce a numeri interi, viene rappresentato come un prodotto di a e b, dove z è diviso per a e b. I numeri compositi vengono scomposti utilizzando il teorema fondamentale dell'aritmetica. Se il numero è maggiore di 1, allora la sua fattorizzazione p 1, p 2, ..., p n assume la forma a = p 1 , p 2 , … , p n . Si presuppone che la scomposizione avvenga in un'unica variante.

Fattorizzazione canonica di un numero in fattori primi

Durante l'espansione, i fattori possono essere ripetuti. Sono scritti in modo compatto utilizzando i gradi. Se, scomponendo il numero a, abbiamo un fattore p 1, che ricorre s 1 volte e così via p n – s n volte. Così l’espansione prenderà forma a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Questa voce è chiamata fattorizzazione canonica di un numero in fattori primi.

Espandendo il numero 609840, otteniamo che 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, la sua forma canonica sarà 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. Usando l'espansione canonica, puoi trovare tutti i divisori di un numero e il loro numero.

Per fattorizzare correttamente è necessario conoscere i numeri primi e i numeri compositi. Lo scopo è ottenere un numero sequenziale di divisori della forma p 1, p 2, ..., p n numeri a , a 1 , a 2 , ... , a n - 1, questo rende possibile ottenere un = p1un1, dove a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , dove a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · una n , dove un n = un n - 1: p n. Al ricevimento un n = 1, quindi l'uguaglianza a = p1p2...pn otteniamo la scomposizione richiesta del numero a in fattori primi. notare che p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Per trovare i fattori meno comuni è necessario utilizzare la tabella dei numeri primi. Questo viene fatto usando l'esempio di trovare il più piccolo divisore primo del numero z. Quando si prendono i numeri primi 2, 3, 5, 11 e così via e si divide il numero z per essi. Poiché z non è un numero primo, occorre tenere presente che il più piccolo divisore primo non sarà maggiore di z. Si vede che non esistono divisori di z, quindi è chiaro che z è un numero primo.

Esempio 1

Diamo un'occhiata all'esempio del numero 87. Dividendolo per 2 si ottiene 87: 2 = 43 con resto 1. Ne consegue che 2 non può essere un divisore; la divisione va fatta interamente; Se diviso per 3 otteniamo 87: 3 = 29. Quindi la conclusione è che 3 è il più piccolo divisore primo del numero 87.

Quando si fattorizza in fattori primi, è necessario utilizzare una tabella di numeri primi, dove a. Quando fattorizzi 95, dovresti usare circa 10 numeri primi, mentre quando fattorizzi 846653, circa 1000.

Consideriamo l'algoritmo di scomposizione in fattori primi:

• trovare il più piccolo fattore del divisore p 1 di un numero UN dalla formula a 1 = a: p 1, quando a 1 = 1, allora a è un numero primo ed è compreso nella fattorizzazione, quando non è uguale a 1, allora a = p 1 · a 1 e proseguire fino al punto sottostante;
• trovare il divisore primo p 2 di un numero a 1 enumerando sequenzialmente i numeri primi utilizzando a 2 = a 1: p 2 , quando un 2 = 1 , allora l'espansione assumerà la forma a = p 1 p 2 , quando a 2 = 1, allora a = p 1 p 2 a 2 , e passiamo allo step successivo;
• cercare tra i numeri primi e trovare un divisore primo pag 3 numeri un 2 secondo la formula a 3 = a 2: p 3 quando a 3 = 1 , allora otteniamo che a = p 1 p 2 p 3 , quando non è uguale a 1, allora a = p 1 p 2 p 3 a 3 e passare al passaggio successivo;
• si trova il primo divisore pn numeri un n-1 enumerando i numeri primi con pn - 1, E un n = un n - 1: p n, dove a n = 1, il passo è finale, di conseguenza otteniamo che a = p 1 · p 2 · … · p n .

Il risultato dell'algoritmo viene scritto sotto forma di tabella con i fattori scomposti con una barra verticale in sequenza in una colonna. Considera la figura seguente.

L'algoritmo risultante può essere applicato scomponendo i numeri in fattori primi.

Quando si fattorizza in fattori primi, è necessario seguire l'algoritmo di base.

Esempio 2

Fattorizza il numero 78 in fattori primi.

Soluzione

Per trovare il divisore primo più piccolo, devi esaminare tutti i numeri primi di 78. Questo è 78: 2 = 39. La divisione senza resto significa che questo è il primo divisore semplice, che denotiamo come p 1. Otteniamo che a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Siamo arrivati ​​a un'uguaglianza della forma a = p 1 · a 1 , dove 78 = 2 39. Quindi a 1 = 39, cioè dovremmo passare al passaggio successivo.

Concentriamoci sulla ricerca del divisore primo p2 numeri un 1 = 39. Dovresti passare attraverso i numeri primi, cioè 39: 2 = 19 (restante 1). Poiché la divisione con resto, 2 non è un divisore. Quando scegliamo il numero 3, otteniamo che 39: 3 = 13. Ciò significa che p 2 = 3 è il più piccolo divisore primo di 39 per a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Otteniamo un'uguaglianza della forma a = p1p2a2 nella forma 78 = 2 3 13. Abbiamo che a 2 = 13 non è uguale a 1, quindi dovremmo andare avanti.

Il più piccolo divisore primo del numero a 2 = 13 si trova cercando tra i numeri, iniziando da 3. Otteniamo 13: 3 = 4 (1 rimanente). Da ciò possiamo vedere che 13 non è divisibile per 5, 7, 11, perché 13: 5 = 2 (resto. 3), 13: 7 = 1 (resto. 6) e 13: 11 = 1 (resto. 2) . Si può vedere che 13 è un numero primo. Secondo la formula appare così: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Abbiamo scoperto che a 3 = 1, che significa il completamento dell'algoritmo. Ora i fattori sono scritti come 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Risposta: 78 = 2 3 13.

Esempio 3

Fattorizza il numero 83.006 in fattori primi.

Soluzione

Il primo passo riguarda il factoring p1 = 2 E a1 = a: p1 = 83.006: 2 = 41.503, dove 83.006 = 2 · 41.503.

Il secondo passaggio presuppone che 2, 3 e 5 non siano divisori primi del numero a 1 = 41.503, ma 7 sia un divisore primo, perché 41.503: 7 = 5.929. Otteniamo che p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41.503: 7 = 5.929. Ovviamente, 83.006 = 2 7 5 929.

Trovare il più piccolo divisore primo di p 4 del numero a 3 = 847 è 7. Si vede che a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, quindi 83 006 = 2 7 7 7 121.

Per trovare il divisore primo del numero a 4 = 121, usiamo il numero 11, cioè p 5 = 11. Quindi otteniamo un'espressione della forma a5 = a4: p5 = 121: 11 = 11 e 83.006 = 2 7 7 7 11 11.

Per numero un 5 = 11 numero p 6 = 11è il più piccolo divisore primo. Quindi a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Quindi un 6 = 1. Ciò indica il completamento dell'algoritmo. I fattori verranno scritti come 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

La notazione canonica della risposta assumerà la forma 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

Risposta: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Esempio 4

Fattorizza il numero 897.924.289.

Soluzione

Per trovare il primo fattore primo, cerca tra i numeri primi, iniziando da 2. La fine della ricerca avviene al numero 937. Allora p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 e 897 924 289 = 937 958 297.

Il secondo passo dell'algoritmo consiste nell'iterare sui numeri primi più piccoli. Cioè, iniziamo con il numero 937. Il numero 967 può essere considerato primo perché è un divisore primo del numero a 1 = 958.297. Da qui otteniamo che p 2 = 967, quindi a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 e 897 924 289 = 937 967 991.

Il terzo passo dice che 991 è un numero primo, poiché non ha un solo fattore primo che non superi 991. Il valore approssimativo dell'espressione radicale è 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Ciò dimostra che p 3 = 991 e a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1. Troviamo che la scomposizione del numero 897 924 289 in fattori primi si ottiene come 897 924 289 = 937 967 991.

Risposta: 897 924 289 = 937 967 991.

Utilizzo dei test di divisibilità per la scomposizione in fattori primi

Per scomporre un numero in fattori primi è necessario seguire un algoritmo. Quando ci sono numeri piccoli, è consentito utilizzare la tavola pitagorica e i segni di divisibilità. Diamo un'occhiata a questo con degli esempi.

Esempio 5

Se è necessario fattorizzare 10, la tabella mostra: 2 · 5 = 10. I numeri risultanti 2 e 5 sono numeri primi, quindi sono fattori primi del numero 10.

Esempio 6

Se è necessario scomporre il numero 48, la tabella mostra: 48 = 6 8. Ma 6 e 8 non sono fattori primi, poiché possono anche essere espansi come 6 = 2 3 e 8 = 2 4. Quindi lo sviluppo completo da qui si ottiene come 48 = 6 8 = 2 3 2 4. La notazione canonica assumerà la forma 48 = 2 4 · 3.

Esempio 7

Quando scomponi il numero 3400, puoi usare i segni di divisibilità. In questo caso sono rilevanti i segni di divisibilità per 10 e 100. Da qui otteniamo che 3.400 = 34 · 100, dove 100 può essere diviso per 10, cioè scritto come 100 = 10 · 10, il che significa che 3.400 = 34 · 10 · 10. Basandoci sul test di divisibilità, troviamo che 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Tutti i fattori sono primi. Prende forma l'espansione canonica 3 400 = 2 3 5 2 17.

Quando troviamo i fattori primi, dobbiamo utilizzare i test di divisibilità e le tabelle di moltiplicazione. Se immagini il numero 75 come un prodotto di fattori, devi tenere conto della regola della divisibilità per 5. Otteniamo che 75 = 5 15 e 15 = 3 5. Cioè, l'espansione desiderata è un esempio della forma del prodotto 75 = 5 · 3 · 5.

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Fattorizzare un numero elevato non è un compito facile. La maggior parte delle persone ha difficoltà a capire i numeri a quattro o cinque cifre. Per semplificare il processo, scrivi il numero sopra le due colonne.

• Fattorizziamo il numero 6552.

Ogni numero naturale, tranne l'uno, ha due o più divisori. Ad esempio, il numero 7 è divisibile senza resto solo per 1 e 7, cioè ha due divisori. E il numero 8 ha divisori 1, 2, 4, 8, cioè fino a 4 divisori contemporaneamente.

Qual è la differenza tra numeri primi e numeri composti?

I numeri che hanno più di due divisori si chiamano numeri composti. I numeri che hanno solo due divisori: uno e il numero stesso sono detti numeri primi.

Il numero 1 ha una sola divisione, ovvero il numero stesso. Uno non è né un numero primo né un numero composto.

• Ad esempio, il numero 7 è primo e il numero 8 è composto.

Primi 10 numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Il numero 2 è l'unico numero primo pari, tutti gli altri numeri primi sono dispari.

Il numero 78 è composto, poiché oltre a 1 e se stesso, è anche divisibile per 2. Se diviso per 2, otteniamo 39. Cioè, 78 = 2*39. In questi casi, dicono che il numero è stato scomposto in fattori di 2 e 39.

Qualsiasi numero composto può essere scomposto in due fattori, ciascuno dei quali è maggiore di 1. Questo trucco non funziona con un numero primo. Così è andata.

Fattorizzare un numero in fattori primi

Come notato sopra, qualsiasi numero composto può essere scomposto in due fattori. Prendiamo ad esempio il numero 210. Questo numero può essere scomposto in due fattori 21 e 10. Ma anche i numeri 21 e 10 sono composti, scomponiamoli in due fattori. Otteniamo 10 = 2*5, 21=3*7. Di conseguenza, il numero 210 è stato scomposto in 4 fattori: 2,3,5,7. Questi numeri sono già primi e non possono essere espansi. Cioè, abbiamo scomposto il numero 210 in fattori primi.

Quando si fattorizzano i numeri compositi in fattori primi, di solito vengono scritti in ordine crescente.

Va ricordato che qualsiasi numero composto può essere scomposto in fattori primi e in modo unico, fino alla permutazione.

• Di solito, quando si scompone un numero in fattori primi, vengono utilizzati i criteri di divisibilità.

Scomponiamo in fattori primi il numero 378

Annoteremo i numeri, separandoli con una linea verticale. Il numero 378 è divisibile per 2, poiché termina con 8. Se diviso, otteniamo il numero 189. La somma delle cifre del numero 189 è divisibile per 3, il che significa che il numero 189 stesso è divisibile per 3. Il risultato è 63.

Il numero 63 è anche divisibile per 3, secondo la divisibilità. Otteniamo 21, il numero 21 può essere nuovamente diviso per 3, otteniamo 7. Sette si divide solo da se stesso, otteniamo uno. Questo completa la divisione. A destra dopo la linea ci sono i fattori primi in cui è scomposto il numero 378.

378|2
189|3
63|3
21|3