Come trovare esempi nella serie dei numeri naturali. Notazione dei numeri naturali

Posto zero

Esistono due approcci per definire i numeri naturali:

• contare (numerare) elementi ( Primo, secondo, terzo, quarto, quinto…);
• i numeri naturali sono numeri che nascono quando designazione della quantità elementi ( 0 articoli, 1 articolo, 2 articoli, 3 articoli, 4 articoli, 5 articoli…).

Nel primo caso, la serie dei numeri naturali inizia da uno, nel secondo da zero. Non c'è consenso tra la maggior parte dei matematici sulla preferenza del primo o del secondo approccio (vale a dire, se lo zero debba essere considerato un numero naturale o meno). La stragrande maggioranza delle fonti russe adotta tradizionalmente il primo approccio. Il secondo approccio è, ad esempio, adottato nei lavori di Nicolas Bourbaki, dove i numeri naturali sono definiti come cardinalità di insiemi finiti. La presenza dello zero rende più semplice formulare e dimostrare molti teoremi nell'aritmetica dei numeri naturali, quindi il primo approccio introduce l'utile concetto area naturale estesa zero compreso.

L'insieme di tutti i numeri naturali è solitamente indicato dal simbolo. Gli standard internazionali ISO 31-11 (1992) e ISO 80000-2 (2009) stabiliscono le seguenti designazioni:

Nelle fonti russe questo standard non è ancora stato osservato: contengono un simbolo N (\displaystyle \mathbb (N) ) denota i numeri naturali senza zero e viene denotata la serie naturale estesa N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0),\mathbb (Z) _(+),\mathbb (Z) _(\geqslant 0)) ecc.

Assiomi che permettono di determinare l'insieme dei numeri naturali

Assiomi di Peano per i numeri naturali

Molti N (\displaystyle \mathbb (N) ) verrà chiamato insieme di numeri naturali se qualche elemento è fisso 1 (unità), funzione S (\displaystyle S) con dominio di definizione N (\displaystyle \mathbb (N) ), chiamata funzione follow ( S: N (\displaystyle S\due punti \mathbb (N) )) e sono soddisfatte le seguenti condizioni:

1. l'elemento uno appartiene a questo insieme ( 1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), cioè è un numero naturale;
2. anche il numero che segue il numero naturale è un numero naturale (se , allora S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) ) o, in notazione più breve, S: N → N (\displaystyle S\due punti \mathbb (N) \to \mathbb (N) ));
3. non segue alcun numero naturale ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
4. se un numero naturale un (\displaystyle un) segue immediatamente come numero naturale b (\displaystyle b) e per un numero naturale c (\displaystyle c), Quello b (\displaystyle b) E c (\displaystyle c)è lo stesso numero (se S (b) = un (\displaystyle S(b)=a) E S (c) = un (\displaystyle S(c)=a), Quello b = c (\displaystyle b=c));
5. (assioma di induzione) se qualsiasi frase (affermazione) P (\displaystyle P) dimostrato per i numeri naturali n = 1 (\displaystyle n=1) (base ad induzione) e se dal presupposto che sia vero per un altro numero naturale n (\displaystyle n), ne consegue che vale per quanto segue n (\displaystyle n) numero naturale ( ipotesi induttiva), allora questa frase è vera per tutti i numeri naturali (let P(n) (\displaystyle P(n))- un predicato monoposto (unario) il cui parametro è un numero naturale n (\displaystyle n). Allora se P(1) (\displaystyle P(1)) E ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))), Quello ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Gli assiomi elencati riflettono la nostra comprensione intuitiva delle serie naturali e della linea numerica.

Il fatto fondamentale è che questi assiomi definiscono essenzialmente in modo univoco i numeri naturali (la natura categorica del sistema assioma di Peano). Vale a dire, si può dimostrare (vedi anche una breve dimostrazione) che se (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) E (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S))))- due modelli per il sistema assioma di Peano, allora sono necessariamente isomorfi, cioè esiste una mappatura invertibile (biiezione) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) tale che f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1))) E f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x))) per tutti x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

Pertanto, è sufficiente correggere come N (\displaystyle \mathbb (N) ) qualsiasi modello specifico dell'insieme dei numeri naturali.

A volte, soprattutto nella letteratura straniera e tradotta, nel primo e nel terzo assioma di Peano l'uno è sostituito dallo zero. In questo caso lo zero è considerato un numero naturale. Quando definito attraverso classi di insiemi uguali, zero è un numero naturale per definizione. Sarebbe innaturale rifiutarlo deliberatamente. Inoltre, ciò complicherebbe notevolmente l'ulteriore costruzione e applicazione della teoria, poiché nella maggior parte delle costruzioni lo zero, come l'insieme vuoto, non è qualcosa di separato. Un altro vantaggio di considerare lo zero come un numero naturale è che esso N (\displaystyle \mathbb (N) ) forma un monoide. Come già accennato, nella letteratura russa tradizionalmente lo zero è escluso dall'elenco dei numeri naturali.

Definizione insiemistica dei numeri naturali (definizione di Frege-Russell)

Quindi anche i numeri naturali vengono introdotti in base al concetto di insieme, secondo due regole:

I numeri definiti in questo modo sono detti ordinali.

Descriviamo i primi numeri ordinali e i corrispondenti numeri naturali:

Grandezza dell'insieme dei numeri naturali

La dimensione di un insieme infinito è caratterizzata dal concetto di “cardinalità di un insieme”, che è una generalizzazione del numero di elementi di un insieme finito a insiemi infiniti. In grandezza (cioè cardinalità), l'insieme dei numeri naturali è maggiore di qualsiasi insieme finito, ma minore di qualsiasi intervallo, ad esempio l'intervallo (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). L’insieme dei numeri naturali ha la stessa cardinalità dell’insieme dei numeri razionali. Un insieme che ha la stessa cardinalità dell'insieme dei numeri naturali è detto insieme numerabile. Pertanto, l'insieme dei termini di qualsiasi sequenza è numerabile. Allo stesso tempo, c'è una sequenza in cui appare ogni numero naturale numero infinito volte, poiché l'insieme dei numeri naturali può essere rappresentato come un'unione numerabile di insiemi numerabili disgiunti (ad esempio, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

Operazioni sui numeri naturali

Le operazioni chiuse (operazioni che non derivano un risultato dall'insieme dei numeri naturali) sui numeri naturali includono le seguenti operazioni aritmetiche:

Vengono inoltre considerate altre due operazioni (dal punto di vista formale non sono operazioni sui numeri naturali, poiché non definite per tutti coppie di numeri (a volte esistono, a volte no)):

Va notato che le operazioni di addizione e moltiplicazione sono fondamentali. In particolare, l'anello degli interi è definito proprio attraverso le operazioni binarie di addizione e moltiplicazione.

Proprietà di base

• Commutatività dell'addizione:

• Commutatività della moltiplicazione:

• Associatività aggiuntiva:

• Associatività di moltiplicazione:

• Distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione:

Struttura algebrica

L'addizione trasforma l'insieme dei numeri naturali in un semigruppo con unità, il ruolo dell'unità è svolto da 0 . La moltiplicazione trasforma anche l'insieme dei numeri naturali in un semigruppo con identità, essendo l'elemento identità 1 . Utilizzando le chiusure rispetto alle operazioni di addizione-sottrazione e moltiplicazione-divisione si ottengono gruppi di interi Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) e numeri razionali positivi Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q)_(+)^(*)) rispettivamente.

Numeri destinati a contare gli oggetti e a rispondere alla domanda “quanti?” ("Quanti

palle?", "Quante mele?", "Quanti soldati?"), sono detti naturali.

Se li scrivi in ​​ordine, dal numero più piccolo al più grande, ottieni una serie naturale di numeri:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …

La serie naturale dei numeri inizia con il numero 1.

Ogni numero naturale successivo è 1 maggiore del precedente.

La serie naturale dei numeri è infinita.

I numeri possono essere pari o dispari. I numeri pari sono divisibili per due e Non numeri pari non sono divisibili per due.

Serie di numeri dispari:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …

Serie di numeri pari:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …

IN serie naturali si alternano i numeri pari e dispari:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …

Come confrontare i numeri naturali

Quando si confrontano due numeri naturali, quello a destra nella serie naturale è maggiore:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Quindi sette è più di tre e cinque è più di uno.

In matematica la parola “meno” si scrive con il segno “<», а для записи слова «больше» - знак « > ».

L'angolo acuto dei simboli maggiore e minore punta sempre verso il minore dei due numeri.

La voce 7 > 3 viene letta come “sette su tre”.

Inserimento 3< 7 читается как «три меньше семи».

La voce 5 > 1 viene letta come “cinque su uno”.

Inserimento 1< 5 читается как «один меньше пяти».

La parola “uguale” in matematica viene sostituita con il segno “=":

Quando i numeri sono grandi, è difficile dire immediatamente quale sia quello a destra nella serie naturale.

Quando si confrontano due numeri naturali con un numero di cifre diverso, quello con il maggior numero di cifre è maggiore.

Ad esempio, 233.000< 1 000 000, потому что в пер­вом числе шесть цифр, а во втором - семь.

I numeri naturali a più cifre con lo stesso numero di cifre vengono confrontati bit per bit, iniziando dalla cifra più significativa.

Innanzitutto vengono confrontate le unità della cifra più significativa, poi quella successiva, poi quella successiva e così via. Ad esempio, confrontiamo i numeri 5401 e 5430:

5401 = 5mila 4 centinaia 0 decine 1 unità;

5430 = 5mila 4 centinaia 3 decine 0 unità.

Confronto di unità di migliaia. Al posto delle unità di migliaia del numero 5401 ci sono 5 unità, al posto delle unità di migliaia del numero 5430 ci sono 5 unità. Confrontando unità di migliaia, è ancora impossibile dire quale numero sia più grande.

Confrontando centinaia. Nella cifra delle centinaia del numero 5401 ci sono 4 unità, nella cifra delle centinaia anche il numero 5430 è di 4 unità. Dobbiamo continuare il confronto.

Confronto tra decine. Nella cifra delle decine del numero 5401 ci sono 0 unità, nella cifra delle decine del numero 5430 ci sono 3 unità.

Confrontando otteniamo 0< 3, поэтому 5401 < 5430.

I numeri possono essere disposti in ordine decrescente o crescente.

Se in una serie di più numeri naturali ciascun numero successivo è inferiore al precedente, si dice che i numeri siano scritti in ordine decrescente.

Scriviamo i numeri 5, 22, 13, 800 in ordine decrescente.

Troviamo numero maggiore. Il numero 5 è un numero a una cifra, 13 e 22 sono numeri a due cifre, 800 è un numero a tre cifre e quindi il più grande. Scriviamo 800 in primo luogo.

Dei numeri a due cifre 13 e 22, il maggiore è 22. Dopo il numero 800 scriviamo il numero 22, e poi 13.

Il numero più piccolo è il numero a una cifra 5. Lo scriviamo per ultimo.

800, 22, 13, 5 - registrando questi numeri in ordine decrescente.

Se in una serie di più numeri naturali ogni numero successivo è maggiore del precedente, si dice che i numeri siano scritti in ordine crescente.

Come scrivere i numeri 15, 2, 31, 278, 298 in ordine crescente?

Tra i numeri 15, 2, 31, 278, 298 troveremo quello più piccolo.

Questo è un numero 2 a una cifra. Scriviamolo per primo.

Dai numeri a due cifre 15 e 31, scegli quello più piccolo - 15, scrivilo al secondo posto e dopo - 31.

Da numeri a tre cifre 278 è il più piccolo, lo scriviamo dopo il numero 31, e l'ultimo che scriviamo è il numero 298.

2, 15, 21, 278, 298 - scrivendo questi numeri in ordine crescente

La lezione “Denotazione dei numeri naturali” è la prima lezione del corso di matematica di quinta elementare ed è una continuazione e, in alcuni casi, una ripetizione di un argomento simile studiato nel corso scuola primaria. Di conseguenza, gli studenti spesso non percepiscono il materiale didattico con molta attenzione. Pertanto, per ottenere il massimo interesse e concentrazione, è necessario introdurre nuovi metodi di spiegazione, ad esempio utilizzare la presentazione "Designazione dei numeri naturali".

La lezione inizia con un ripasso di una serie di numeri, nonché il concetto di numero naturale e la sua notazione decimale. Viene spiegato che si chiama la successione di tutti i numeri naturali naturale accanto e viene fornito un esempio dei suoi primi venti elementi. Attenzione speciale Durante la presentazione viene fornito il significato del numero a seconda il suo posto nel record del numero. Per fare ciò, consideriamo di scrivere un numero per cifre. Attraverso un'animazione efficace e non invadente, viene mostrato agli studenti cosa significa uno stesso numero a seconda di dove si trova: nelle unità, nelle decine, ecc.

Non è raro vedere che, oltre al fatto che il numero zero viene spesso utilizzato sia nella vita di tutti i giorni che nei corsi di matematica, gli scolari incontrano difficoltà quando devono spiegare di che tipo di numero si tratta. Per aumentare l'efficacia della comprensione del concetto di zero, viene fornito un esempio di punteggio in una partita di calcio. L’attenzione degli studenti è focalizzata anche sul fatto che 0 non sono classificati come numeri naturali.

La presentazione esamina in dettaglio, utilizzando esempi, i concetti di numero a una cifra, a due cifre, a tre cifre e a quattro cifre. Sono stati considerati i record di un milione e un miliardo. Viene prestata particolare attenzione lettura corretta Numeri a più cifre e loro suddivisione in classi. Utilizzando una tabella per la scrittura di un numero a più cifre evidenziando classi e gradi, si dimostra che la classe di sinistra, a differenza di tutte le altre, può avere meno di tre cifre.

Per poter verificare i risultati dell'assimilazione del nuovo materiale da parte degli studenti, lo sviluppo della presentazione contiene un elenco di domande che coprono completamente il materiale presentato. Ciò consentirà all'insegnante di reagire il più rapidamente possibile ai punti che non sono pienamente compresi dagli scolari. come risultato dello studio di questo argomento.

Poiché la presentazione "Designazione dei numeri naturali" presenta l'argomento a un livello chiaro e accessibile, la presentazione del materiale didattico è logica e coerente, può essere utilizzata con successo non solo durante una spiegazione in classe di questo argomento, ma anche durante lezioni indipendenti o a distanza. apprendimento da parte degli scolari.

La storia dei numeri naturali inizia nei tempi primitivi. Sin dai tempi antichi, le persone hanno contato gli oggetti. Ad esempio, nel commercio avevi bisogno di un conto delle merci o nella costruzione di un conto dei materiali. Sì, anche nella vita di tutti i giorni dovevo contare anche le cose, il cibo, il bestiame. All'inizio i numeri venivano usati solo per contare nella vita, in pratica, ma poi, con lo sviluppo della matematica, divennero parte della scienza.

Numeri naturali - questi sono i numeri che usiamo quando contiamo gli oggetti.

Ad esempio: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Lo zero non è un numero naturale.

Tutti i numeri naturali, o chiamiamolo l'insieme dei numeri naturali, sono indicati con il simbolo N.

Tabella dei numeri naturali.

Serie naturali.

Numeri naturali scritti in fila in ordine crescente serie naturali O una serie di numeri naturali.

Proprietà delle serie naturali:

• Il numero naturale più piccolo è uno.
• In una serie naturale il numero successivo è uno ad uno maggiore del precedente. (1, 2, 3, ...) Se è impossibile completare la sequenza di numeri, vengono posizionati tre punti o ellissi.
• La serie naturale non ha un numero massimo, è infinita.

Esempio n. 1:
Scrivi i primi 5 numeri naturali.
Soluzione:
I numeri naturali iniziano da uno.
1, 2, 3, 4, 5

Esempio n.2:
Lo zero è un numero naturale?
Risposta: no.

Esempio n.3:
Qual è il primo numero della serie naturale?
Risposta: La serie naturale inizia da uno.

Esempio n.4:
Qual è l'ultimo numero della serie naturale? Qual è il numero naturale più grande?
Risposta: La serie naturale inizia con uno. Ogni numero successivo è maggiore del precedente uno per uno, quindi l'ultimo numero non esiste. se stesso gran numero NO.

Esempio n.5:
Uno nella serie naturale ha un numero precedente?
Risposta: no, perché uno è il primo numero della serie naturale.

Esempio n.6:
Nomina il numero successivo della serie naturale: a)5, b)67, c)9998.
Risposta: a)6, b)68, c)9999.

Esempio n.7:
Quanti numeri ci sono nella serie naturale compresi tra i numeri: a) 1 e 5, b) 14 e 19.
Soluzione:
a) 1, 2, 3, 4, 5 – tre numeri sono compresi tra i numeri 1 e 5.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – quattro numeri sono compresi tra i numeri 14 e 19.

Esempio n.8:
Pronuncia il numero precedente dopo l'11.
Risposta: 10.

Esempio n.9:
Quali numeri vengono utilizzati quando si contano gli oggetti?
Risposta: numeri naturali.