La storia dell'emergere dei numeri primi e compositi. La loro storia è così semplice? Un numero infinito di numeri primi
Istituzione educativa di bilancio comunale
La città di Abakan
"Media scuola media N. 19"
Matematica
I numeri primi sono facili
Lysova
Elmira,
6classe B
Supervisore:
Bykovskaja
Irina Sergeevna,
insegnante di matematica
CODICE ___________________________________
Matematica
I NUMERI PRIMI SONO SEMPLICI
SOMMARIO:
Introduzione
Capitolo 1 . Numeri primi
1.1. Definizione di numero primo.
1.2. Infinito di una serie di numeri primi.
1.3. Il numero primo più grande.
1.4. Metodi per determinare (ricercare) i numeri primi.
Capitolo 2. Applicazione della teoria dei numeri primi
2.1. Esempi di alcune affermazioni della teoria dei numeri primi di famosi scienziati sovietici.
2.2.Esempi di alcuni problemi nella teoria dei numeri primi.
2.3. Compiti applicati (n. 1, n. 2)
2.4.Compiti sull'applicazione delle leggi dei numeri primi (n. 3, n. 4)
2.5. Quadrati magici.
2.6.Applicazione della legge dei numeri primi in vari campi
Conclusione
Applicazione
“C’è armonia nel mondo,
e questa armonia si esprime nei numeri"
Pitagora.
INTRODUZIONE
La matematica è straordinaria. In effetti, qualcuno ha mai visto un numero con i propri occhi (non tre alberi e non tre mele, ma il numero 3 stesso). Da un lato, il numero è un concetto completamente astratto. Ma, d'altra parte, tutto ciò che accade nel mondo può essere misurato in un modo o nell'altro e quindi rappresentato in numeri
Nelle lezioni di matematica, mentre studiavo l'argomento "Numeri primi e compositi", mi sono interessato ai numeri primi, alla storia della loro occorrenza e ai metodi per ottenerli. Mi sono rivolto alla biblioteca e a Internet, dove ho acquistato la letteratura necessaria. Dopo averlo studiato a fondo, mi sono reso conto che ci sono molte informazioni interessanti sui numeri primi. I numeri primi, introdotti circa duemila e mezzo anni fa, hanno trovato solo di recente applicazioni pratiche inaspettate. Ho scoperto che esistonoLe leggi dei numeri primi sono espresse attraverso una formula, ma ci sono una serie di problemi nella teoria dei numeri.Nonostante viviamo nell’era dei computer e dei più moderni programmi di informazione, molti enigmi sui numeri primi non sono ancora stati risolti, ce ne sono alcuni che gli scienziati non sanno nemmeno come affrontare;La conoscenza delle leggi aperte consente di creare soluzioni qualitativamente nuove in molte aree che interessano sia gli scienziati che i cittadini comuni. L'argomento interessava anche a me.Oggetto la ricerca è un concetto puramente astratto –numero primo . Soggetto Lo studio dei numeri primi si basava su: teoria dei numeri primi, metodi per definirli, scoperte interessanti in quest'area e la loro applicazione a scopi pratici.
Scopo Il mio lavoro è ampliare la comprensione dei numeri primi. Definito i seguenti compiti:
conoscere la storia dello sviluppo della teoria dei numeri primi,
formare un'idea generale su come trovare i numeri primi,
sapere risultati interessanti Scienziati sovietici nel campo della teoria dei numeri primi,
considerare alcuni problemi nella teoria dei numeri primi,
conoscere l'applicazione della teoria dei numeri primi in vari campi,
comprendere il principio di separazione dei numeri primi da serie naturali utilizzando il metodo del “Setaccio di Eratostene” fino a 100; 1000,
studiare l'uso dei numeri primi nei problemi.
IO. NUMERI PRIMI
Il concetto di numero primo
I numeri primi sono una delle meraviglie dei matematici. Uno, due, tre... Con queste parole entriamo nella terra dei numeri, non ha confini. Numeri apparentemente piatti e vicini, quando li conosciamo più da vicino, ci bruciano con il loro calore interiore e acquisiscono profondità.
Conosciamo la fattorizzazione dei numeri scuola primaria. Quando trovi un denominatore comune, devi fattorizzare i denominatori dei termini. Devi fattorizzare quando riduci le frazioni. Una delle affermazioni fondamentali dell'aritmetica dice: ogni numero naturale si decompone in modo univoco in fattori primi.
72 = 2x2x2x3x3
1001 = 7×11×13
La fattorizzazione dei numeri in fattori primi dimostra che ogni numero è primo oppure è il prodotto di due o più numeri primi. Possiamo quindi dire che i numeri primi sono gli elementi costitutivi dei numeri naturali, come i mattoni, dai quali, attraverso l'azione della moltiplicazione, vengono formati tutti i numeri interi.
Un numero primo è un numero naturale che ha solo due divisori diversi (il numero stesso e 1).
Alcuni fatti interessanti.
Numero 1 non è né un numero primo né un numero composto.
L'unico numero pari che rientra nel gruppo dei “numeri primi” è diavolo. Qualsiasi altro numero pari semplicemente non può arrivare qui, poiché per definizione, oltre a se stesso e uno, è anche divisibile per due.
I numeri primi non compaiono in modo casuale nelle serie naturali, come potrebbe sembrare a prima vista. Dopo averli analizzati attentamente, si notano subito diverse caratteristiche, le più interessantinumeri - "gemelli" - numeri primi la cui differenza è 2.Si chiamano così perché erano uno accanto all'altro, separati solo da un numero pari (cinque e sette, diciassette e diciannove). Se li guardi attentamente, noterai che la somma di questi numeri è sempre un multiplo di tre. Coppie di gemelli con un elemento comune formano coppie di numeri primi - "gemelli" (tre e cinque, cinque e sette).
Infinito di una serie di numeri primi.
La distribuzione irregolare dei numeri primi tra tutti i numeri naturali è da tempo sorprendente. Si è notato che man mano che si passa da un numero piccolo a uno più grande, i numeri primi compaiono sempre meno spesso nelle serie naturali. Quindi una delle prime domande è stata: Esiste un ultimo numero primo, cioè la serie dei numeri primi ha una fine? Intorno al 300 a.C. il famoso matematico greco Euclide diede una risposta negativa a questa domanda. Dimostrò che dietro ogni numero primo c'è un numero primo ancora più grande, cioè esiste un numero infinito di numeri primi.
La più antica prova conosciuta di questo fatto è stata data in "" (Libro IX, affermazione 20).
Immaginiamo che il numero dei numeri primi sia finito. Moltiplichiamoli e aggiungiamo uno. Il numero risultante non è divisibile per nessuno dell'insieme finito di numeri primi, perché il resto della divisione per uno qualsiasi di essi dà uno. Ciò significa che il numero deve essere divisibile per qualche numero primo non incluso in questo insieme.
Non possiamo quindi accettare che la serie dei numeri primi sia finita: questa assunzione porta ad una contraddizione. Quindi, qualunque cosa accada lunga serie sequenze numeri compositi non abbiamo incontrato numeri naturali in una serie, possiamo essere convinti che dietro ci sarà un numero infinitamente più grande.
I matematici hanno offerto altre dimostrazioni.
1.3.Il numero primo più grande.
Una cosa è essere sicuri che esistano numeri primi grandi, ma un'altra cosa è sapere quali numeri sono primi. Più grande è il numero naturale, più calcoli occorre fare per scoprire se è primo o meno.
Per molto tempo sono stati conservati i registri dei più grandi numeri primi conosciuti a quel tempo. Uno dei record fu stabilito da Eulero nel XVIII secolo, trovando un numero primo 2147483647.
Il più grande numero primo conosciuto numero di registrazione a partire da giugno 2009 è 2 alla potenza 43112609 – 1(aperto Cooper dell'Università del Missouri Centrale negli Stati Uniti A). Ne contiene 12.978.189 ed è semplice. Grazie a questo scienziato, i numeri primi di Mersenne detengono a lungo il primato di più grandi numeri primi conosciuti. Ci sono voluti 75 potenti computer per identificarli.
Numeri del modulo: 2 elevato a n meno 1
, dove n è anche un numero primo, appartengono ai numeri di Mersenne. Cooper ha fatto una nuova scoperta matematica nel 2013. È riuscito a trovare il numero primo più lungo del mondo. È scritto come segue:2 alla potenza 57885161 - 1.
Il numero contiene più di 17 milioni di cifre. Per stamparlo su carta occorrono più di 13mila pagine A4.
Ora il nuovo record nella classe dei numeri primi di Mersenne viene scritto come2 alla potenza 57885161 - 1
, contiene 17425170
numeri La scoperta del nuovo detentore del record ha portato a Cooper un premio in denaro di 3mila dollari
La Electronic Frontier Foundation promette inoltre di assegnare 150 e 250mila dollari a chi presenterà al mondo numeri primi composti da 100 milioni e un miliardo di caratteri
Metodi per determinare (ricercare) i numeri primi.
a) Setaccio di Eratostene.
Ci sono vari modi cercare i numeri primi. La prima persona ad affrontare il problema di “scrivere i numeri primi da un insieme di numeri naturali” fu il grande matematico greco Eratostene, vissuto quasi 2.300 anni fa. Ha inventato questo metodo: ha scritto tutti i numeri da uno a un numero qualsiasi, quindi ne ha cancellato uno, che non è né un numero primo né un numero composto, quindi ha cancellato con uno tutti i numeri che seguono il 2 (numeri che sono multipli di due, cioè 4,6,8, ecc.). Il primo numero rimasto dopo il 2 era 3. Poi, dopo il due, tutti i numeri successivi al tre (numeri multipli di 3, cioè 6, 9, 12, ecc.) furono cancellati, alla fine rimasero solo i numeri primi; fuori: 2, 3, 5, 7, 11, 13,….
Pertanto, Eratostene inventò un metodo mediante il quale era possibile selezionare tutti i numeri primi da 1 a un numero specifico isolando tutti i multipli di ciascun numero primo. Questo metodo è chiamato “Setaccio di Eratostene”. - il modo più semplice per trovare un elenco iniziale di numeri primi fino ad un certo valore.
I greci prendevano appunti su tavolette ricoperte di cera o su papiro, e i numeri non venivano cancellati, ma spuntati con un ago, quindi la tabella alla fine dei calcoli somigliava a un setaccio.
È possibile riconoscere un numero primo, come si suol dire, a prima vista? Se metti molti numeri in un setaccio contemporaneamente, quello più semplice tra loro brillerà come una pepita d'oro? Alcune persone la pensano così. Ad esempio, i numeri che finiscono con 1 sono spesso quelli che stai cercando, come 11, 31, 41. Tuttavia, dovresti fare attenzione a non confondere l'oro falso con l'oro puro, come, ad esempio, 21 o 81. Poiché i numeri aumentano di dimensione, l’unità alla fine ci inganna sempre più. Sembra addirittura che i numeri primi semplicemente scompaiano, come credevano alcuni antichi greci.
b) Compilazione di tabelle utilizzando il metodo del “Colino di Eratostene”.
a) Il crivello di Eratostene, come metodo di ricerca teorica nella teoria dei numeri, fu introdotto nel 1920 dal matematico norvegese V. Brun. Utilizzando questo metodo, gli scienziati hanno compilato tabelle di numeri primi compresi tra 1 e 12.000.000
Il vero eroe nella compilazione della tabella dei numeri primi è Jakub Filip Kulik (1793-1863), professore all'Università ceca di Praga.
Lui, non avendo intenzione di stampare il suo lavoro, compilò una tabella di divisori di numeri primi cento milioni, più precisamente numeri fino a 100 320 201, e lo collocò nella biblioteca dell'Accademia delle Scienze di Vienna ad uso di coloro che lavorano in questo campo.
Nelle lezioni di matematica si utilizza la tabella riportata sul risguardo del libro di testo entro 1000.
c) Compilazione di tabelle mediante l'utilizzo di tecnologie informatiche
L'introduzione della tecnologia informatica nella matematica teorica e applicata ha facilitato significativamente la soluzione dei problemi associati ai calcoli ad alta intensità di lavoro.
La memoria di computer sufficientemente complessi può memorizzare dati tabulari di qualsiasi dimensione, ma i calcolatori personali non dispongono ancora di tali capacità. Pertanto, i matematici continuano a lavorare sui problemi della compilazione di tabelle compatte e convenienti, destinate, in particolare, all'analisi dei numeri.
L'utilizzo del computer a questo scopo ha permesso di compiere un passo avanti molto significativo. Ad esempio, una moderna tabella numerica, per la cui compilazione è stata coinvolta la tecnologia informatica, copre i numeri fino a 10.000.000. Questo è un libro piuttosto voluminoso.
In pratica, invece di ottenere un elenco di numeri primi, spesso si desidera verificare se dato numero semplice. Vengono chiamati gli algoritmi che risolvono questo problema .
L'uso di algoritmi specializzati per determinare il numero primo di un numero (il numero è primo?) consente di cercare un numero primo entro i limiti specificati della serie di numeri naturali.
e) Scoperta del secolo - La legge dei numeri primi
Già nell'antichità gli scienziati erano interessati alla questione secondo quale legge sono disposti i numeri primi nelle serie naturali. Pitagora russo - Vladimir Khrenov - con la sua scoperta della Legge dei Numeri Primi creò uno shock mondo scientifico. Questa legge non solo riporta la matematica sulla retta via, ma spiega anche molte leggi della natura dal punto di vista della vera conoscenza del mondo.Genio russo,Vladimir Khrenovfatto una scoperta scientifica , che ribalta la concezione esistente del tempo e dello spazio , Che cosai numeri primi non sono caos.
I numeri primi si ottengono utilizzando la formula: “6X più o meno 1”, dove X è un numero naturale qualsiasi.
13=6 *2-1; 13=6 *2-1; 19=6 *3+1; 31=6 *5+1;
La scoperta è stata fatta il 30 aprile 2000. Era l'anniversario della Pasqua della Resurrezione di Cristo. Data significativa. In questo giorno è stato rivelato il vero modello dello spazio e del tempo reali. Il 7 gennaio 2001 è stata descritta la legge dei numeri primi e con essa gli schemi di formazione di tutti i numeri della serie naturale. Quindi, dopo la scoperta della legge dei numeri primi, divenne chiaro che eunità – standard di spazio,sei - lo standard del tempo, e insieme i due standard dello spazio e del tempo creano tutta la diversità della natura e sono la causa principale eterna di tutto. Ora, dopo la scoperta della Legge dei Numeri Primi, è diventato chiaro che essi costituiscono la base scientifica della magia del numero 7.Questa legge non solo ha una visione del mondo colossale, ma consente la creazione di tecnologie di protezione delle informazioni di nuova generazione basate su questa teoria. Per crearne uno nuovo, è necessario un nuovo numero primo. Ecco perché i matematici che lo scoprirono ricevono somme così ingenti.
APPLICAZIONE DELLA TEORIA DEI NUMERI PRIMI
Esempi di alcune affermazioni della teoria dei numeri primi di famosi scienziati sovietici sulla teoria dei numeri primi.
Sebbene siano trascorsi più di duemila anni da Euclide, nulla di nuovo è stato aggiunto alla sua teoria. I numeri primi nelle serie naturali sono disposti in modo estremamente stravagante. Tuttavia, c'è un numero enorme di enigmi legati ai numeri primi.
Grandi risultati nel campo dello studio dei numeri primi appartengono ai matematici russi e sovietici. Mi interessavano le affermazioni semplici e allo stesso tempo sorprendenti dimostrate in questo settore da famosi scienziati sovietici. Li ho esaminati e ho fornito una serie di esempi che confermano la verità delle affermazioni.
P.L.Chebyshev (1821-1894) dimostrato che tra ogni numero naturale maggiore di 1 e un numero doppio della sua dimensione c'è sempre almeno un numero primo.
Consideriamo le seguenti coppie di numeri primi che soddisfano questa condizione.
Esempi:
e 4 è il numero primo 3.
e 6 è il numero primo 5.
10 e 20 sono numeri primi 11; 13; 17; 19.
5 e 10 sono i numeri primi 7.
7 e 14 sono i numeri primi 11; 13.
11 e 22 sono i numeri primi 13; 17; 19.
Conclusione: In effetti, tra qualsiasi numero naturale maggiore di 1 e un numero doppio della sua dimensione, c'è almeno un numero primo.
Cristiano Goldback, membro dell’Accademia delle Scienze di San Pietroburgo, quasi 250 anni fa, lo propose Qualunque numero dispari maggiore di 5 può essere rappresentato come la somma di tre numeri primi.
Esempi:
21 = 3 + 7 + 11,
37 = 17 + 13 + 7,
23= 5 + 7 + 11,
29= 11 + 13 + 5,
Vinogradov IM. (1891-1983), Il matematico sovietico dimostrò questa proposta solo 200 anni dopo.
7 = 2 + 2 + 3, 15 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5,
9 = 3+3 + 3, 20 = 7 + 11 + 2.
Ma la dichiarazione « Qualsiasi numero pari puro maggiore di 2 può essere rappresentato come la somma di due numeri primi » ancora non dimostrato .
Esempi:
28= 11 + 17, 924 = 311 + 613,
56= 19 + 37, 102 = 59 + 43.
2.2 Esempi di alcuni problemi nella teoria dei numeri primi.
Il problema dell'assenza di schemi nella distribuzione dei numeri primi ha occupato le menti dell'umanità sin dai tempi degli antichi matematici greci. Grazie ad Euclide sappiamo che i numeri primi sono infiniti. Erastofenes e Sundaram hanno proposto i primi algoritmi per testare la primalità dei numeri. Eulero, Fermat, Legendre e molti altri famosi matematici hanno provato e stanno ancora cercando di risolvere l'enigma dei numeri primi. Ad oggi sono stati trovati e proposti molti algoritmi e modelli eleganti, ma tutti sono applicabili solo per una serie finita di numeri primi o numeri primi di tipo speciale. L’avanguardia della scienza nello studio dei numeri primi all’infinito è considerata la prova. Lei entra , per la dimostrazione o la confutazione della quale il Clay Mathematical Institute ha offerto un premio di 1.000.000 di dollari.
I più famosi problemi con i numeri primi sono stati elencati nella Quinta. Oggi gli scienziati parlano di 23 problemi.
Ho potuto considerarne 4, fornendo una serie di esempi per ciascun problema.
Primo problema di Landau (problema di Goldbach):
dimostrare o smentire:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere rappresentato come la somma di due numeri primi, mentre ogni numero dispari maggiore di 5 può essere rappresentato come una somma tre semplici numeri.
Esempi :
8 = 3+5,
12 = 5+7,
16=13 +3, 17= 11+3+3,
24=19+5, 21=11+7+3
50 = 13+37
Il secondo problema di Landau (problema di Goldbach):
Esiste un insieme infinito di "gemelli primi" - numeri primi la cui differenza è 2?
a) Determinati i seguenti numeri “gemelli”:
3 e 5; 5 e 7; 7 e 9; 11 e 13, 17 e 19; 41 e 43;
B). Le coppie gemelle sono formate da gemelli che condividono un elemento comune. Sono riuscito a trovare le seguenti coppie di gemelli: "doppelganger"
Soluzione:
(3, 5) e (5, 7);
È noto che esistono infiniti numeri primi. Ma nessuno lo sa, ovviamente, né esistono infinite coppie di gemelli.
Il terzo problema di Landau (congettura)
È vero che tra i numeri del modulon2 e (n + 1)2Esiste sempre un numero primo?(n – numero dispari)
Soluzione:
a) quando n = 3, otteniamo 6 e 8, tra i quali c'è un numero primo 7.
b) quando n = 5, otteniamo 10 e 12, tra i quali c'è un numero primo 11.
gatto n = 9, otteniamo 18 e 20, con il numero primo 19 in mezzo.
4. Quarto problema di Landau:
Esiste un insieme infinito di numeri primi della forma n2+1?
Soluzione:
A n = 1, allora abbiamo 3; quando n = 2, allora abbiamo 5; con n = 3, allora abbiamo 7
A n = 5, allora abbiamo 11, con n = 6 allora abbiamo 13; quando n = 8, allora abbiamo 17, ecc.
2.3. Compiti applicati
Compito 1. Utilizzando il crivello di Eratostenedeterminare quanti numeri primiè compreso tra 1 e 100.
Soluzione:
Per fare ciò, annoteremo tutti i numeri da 1 a 100. .
Cancelleremo i numeri che non sono primi. Cancelliamo 1, poiché non è un numero primo. Il primo numero primo è 2.
Sottolineiamolo e cancelliamo tutti i numeri che sono multipli di 2, cioè i numeri 4, 6, 8... 100, il numero primo successivo è 3. Sottolineiamolo e cancelliamo i numeri che sono multipli di 3 che non sono stati cancellati, cioè i numeri 9? 15, 21...99. Poi sottolineiamo il numero primo 5 e cancelliamo tutti i numeri che sono multipli di 5. I numeri sono 25...95. E così via finché non rimane un numero primo, 97.
Conclusione:Tra 1 e 100 ce ne sono 25i numeri primi, cioè i numeri 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. (Appendice 1)
Compito 2. Per ottenere un elenco dei numeri primi inferiori a 1000, è necessario “eliminare” i numeri divisibili per 2, 3, 5, 7, 11... A quale numero puoi fermarti?
Soluzione:
Utilizzando il metodo di Eratostene, ho effettuato un'operazione simile
lavorare sulla vagliatura dei numeri compositi fino a 1000.
Conclusione: per ottenere i numeri primi fino a 1000 ci si può fermare al numero primo 31 (cancellare i numeri multipli di 31). (Appendice 2)
2.4.Compiti sull'applicazione delle leggi dei numeri primi
Problema 3. Come utilizzare due controlli per dimostrare che il numero 19 è primo?
La soluzione è presentata in appendice 3.
Problema 4. Come utilizzare tre controlli per dimostrare che il numero 47 è primo?
La soluzione è presentata in appendice 4.
2.5 Quadrati magici.
Molti problemi matematici interessanti sono dedicati ai numeri primi nell'uso di matrici quadrate - quadrati magici, in cui la somma degli elementi in qualsiasi riga, qualsiasi colonna e due diagonali principali dà lo stesso numero.
Il primo di questi è stato inventato da Henry Ernest Dewdney, un famoso esperto di puzzle inglese.
Esistono quadrati magici formati solo da numeri primi? Risulta sì.
Ho studiato i quadrati magici di dimensioni 3x3, 4x4, 6x6 e ho determinato la somma lungo ciascuna riga, ciascuna colonna e ciascuna diagonale principale di ciascuno di questi quadrati. La soluzione è presentata in Appendice 5.
lungo ogni riga, ogni colonna e ogni diagonale principale. Fornisco esempi di quadrati con una matrice di 3x3, 4x4, 6x6.
1
67
43
37
13
61
73
31
7
3
61
19
37
43
31
5
41
7
11
73
29
67
17
23
13
3
1
3
9
9
1
9
8
3
9
2
9
1
6
4
3
1
2
5
1
7
4
7
1
7
1
5
9
7
1
9
3
7
3
3
9
Conclusione:
1.Quadrato magico 1 di dimensione 3x3 ha una somma di 111 (a proposito, anche questo non è un numero primo)
2. Un quadrato magico 2 di dimensione 4x4 ha una somma?
3. Un quadrato magico 6x6 3 ha una somma?
3.4. Applicazione della legge dei numeri primi in vari campi.
I numeri primi non sono solo oggetto di attenta considerazione da parte dei matematici di tutto il mondo, ma vengono utilizzati da tempo con successo nella compilazione di varie serie di numeri, che costituiscono la base, tra l'altro, per la crittografia.La conoscenza delle leggi ha permesso di fornire soluzioni tecniche brevettate per proteggere la trasmissione di informazioni che erano considerate semplicemente impossibili sulla base matematica esistente. I numeri primi sono necessari per creare cifre. Prima o poi ogni codice viene declassificato.
Qui gli scienziati si rivolgono a una delle sezioni più importanti informatica - alla crittografia. Se è così difficile trovare il prossimo numero primo, allora dove e per cosa possono essere utilizzati nella pratica questi numeri? L'uso più comune dei numeri primi è nella crittografia (crittografia dei dati). I metodi di crittografia più sicuri e difficili da decifrare si basano sull'utilizzo di numeri primi con più di trecento cifre.
Ho provato a illustrare il problema che un decrittatore deve affrontare quando decrittografa una determinata password. Diciamo che la password è uno dei divisori di un numero composto e il decifratore è una persona. Prendiamo un numero dai primi dieci, ad esempio 8. Ogni (spero) persona è in grado di scomporre mentalmente il numero 8 in fattori semplici: 8 = 2*2*2. Complichiamo il compito: prendiamo un numero dei primi cento, ad esempio 111. In questo caso, 111 verrà rapidamente fattorizzato nella loro mente da persone che conoscono i segni di divisibilità di un numero per 3 (se la somma dei cifre di un numero sono multipli di 3, quindi questo numero è divisibile per 3) e in effetti - 111=3*37. Per complicare il compito, prendiamo un numero compreso tra i primi mille, ad esempio 1207. Una persona (senza l'uso di macchine) avrà bisogno come minimo di carta e penna per provare a dividere il numero 1207 per “tutti”. i numeri primi che lo precedono. E solo eseguendo in sequenza la divisione di 1207 per tutti i numeri primi da 2 a 17 persone, otterrai finalmente il secondo divisore intero di questo numero: 71. Tuttavia, anche 71 deve essere controllato per semplicità.
Diventa chiaro che con un aumento della profondità di bit dei numeri, ad esempio un numero di cinque cifre - 10001, la decomposizione (nel nostro esempio, la decrittografia della password) senza l'elaborazione della macchina richiederà molto tempo. L'attuale stadio di sviluppo della tecnologia informatica (accessibile all'utente medio) consente di fattorizzare numeri costituiti da sessanta cifre in pochi secondi.
Pensate a quante vite deve vivere una persona per scomporre un dato numero in fattori primi senza l’aiuto delle macchine!
Oggi si scompongono numeri costituiti da mille o più cifre in un tempo proporzionato vita umana tempo, sono solo capaci ! È con il loro aiuto che gli scienziati scoprono sempre più cose nuove,, numeri primi.
Ho imparato che la conoscenza delle leggi aperte mi consentirà di creare soluzioni qualitativamente nuove nei seguenti ambiti:
Un sistema operativo altamente sicuro per banche e aziende.
Sistema per il contrasto dei prodotti contraffatti e delle banconote contraffatte.
Sistema per l'identificazione a distanza e il contrasto al furto dei veicoli.
Sistema per contrastare la diffusione dei virus informatici.
Computer di nuova generazione basati sul sistema numerico non lineare della natura.
Fondamento matematico e biologico della teoria dell'armonia delle percezioni.
Apparato matematico per le nanotecnologie.
CONCLUSIONE.
Mentre lavoravo su questo argomento, ho potuto ampliare la mia comprensione dei numeri primi nelle seguenti aree:
Ho studiato aspetti interessanti dello sviluppo della teoria dei numeri primi, ho conosciuto le nuove conquiste di scienziati accessibili alla mia comprensione in quest'area e la sua applicazione pratica,
formato un'idea generale su come trovare i numeri primi, padroneggiato il principio di isolare i numeri primi dalle serie naturali utilizzando il metodo "Setaccio di Eratostene" fino a 100; 1000,
studiato l'applicazione della teoria dei numeri primi ai problemi,
conobbe l'applicazione della teoria dei numeri primi in vari campi.
Mentre scrivevo l'opera, sono riuscito a padroneggiare due modi per ottenere una serie di numeri primi:
metodo pratico: setacciatura (setaccio di Eratostene),
metodo analitico: lavorare con una formula (legge dei numeri primi).
Nell'ambito dello studio:
verificato in modo indipendente una serie di affermazioni matematiche sostituendo valori, ottenendo le espressioni matematiche corrette,
individuarono una serie di numeri “Doppi” e “Gemelli”,
compilò una serie di espressioni numeriche indicate nei problemi di Landau,
Ho verificato che i quadrati con matrice 3x3, 4x4, 6x6 sono magici,
risolto due problemi in due modi utilizzando la legge dei numeri primi e le affermazioni.
Mentre lavoravo sull'argomento, mi sono convinto che i numeri primi rimangono creature sempre pronte a sfuggire al ricercatore. I numeri primi sono la “materia prima” da cui si forma l’aritmetica, e la fornitura di questo materiale è illimitata.
Mi sono interessato agli specialisti nel campo della crittografia, che recentemente sono stati molto richiesti nelle organizzazioni segrete. Sono loro che trovano numeri primi sempre più grandi per aggiornare costantemente l'elenco delle possibili chiavi e cercare di identificare sempre più nuovi modelli nella distribuzione dei numeri primi. I numeri primi e la crittografia sono il mio ulteriore argomento nello studio della teoria dei numeri primi.
Penso che sia lavoro può essere utilizzato in attività extrascolastiche, nelle classi facoltative per gli studenti delle classi 6-7, come materiale aggiuntivo per le lezioni di matematica della 6a elementare durante la preparazione di relazioni sull'argomento. L'argomento di ricerca è molto interessante, rilevante, non ha confini di studio e dovrebbe suscitare ampio interesse tra gli studenti.
Bibliografia
// . - 1975. - N. 5. - P. 5-13.
N. Karpushina.
// . - 2010. - N. 5.
Fatti sui numeri. Questi sono i numeri primi e molti altri. Abbiamo incluso alcuni numeri, come il Pi greco e molti altri, in materiali separati. Quindi vi consigliamo di leggerli anche voi. Eccone alcuni fatti divertenti sui numeri, che probabilmente ti interesserà.
Fatti sui numeri negativi
Al giorno d'oggi numeri negativi noto a molti, ma non è sempre stato così. I numeri negativi furono usati per la prima volta in Cina nel 3° secolo, ma potevano essere usati solo in casi eccezionali, poiché erano considerati una sciocchezza. Un po’ più tardi, in India si cominciò ad usare i numeri negativi per indicare i debiti.
Così, nell'opera “Matematica” in nove libri, pubblicata nel 179 d.C. aC, durante la dinastia Han e commentato nel 263 da Liu Hui, il sistema cinese di conteggio dei bastoncini utilizzava bastoncini neri per i numeri negativi e rossi per i numeri positivi. Inoltre, Liu Hui usava bastoncini di conteggio inclinati per indicare i numeri negativi.
Il segno "-" ora utilizzato per denotare i numeri negativi è stato visto per la prima volta nell'antico manoscritto Bakhshali in India, ma non c'è consenso tra gli studiosi su quando sia stato composto, con disaccordo che va dal 200 al 600 d.C. e.
I numeri negativi erano già conosciuti in India nel 630 d.C. e.. Furono usati dal matematico Brahmagupta (598-668).
I numeri negativi furono usati per la prima volta in Europa intorno al 275 d.C. aC Furono introdotti in uso dal matematico greco Diofanto di Alessandria, ma in Occidente furono considerati assurdi fino alla comparsa del libro “Ars Magna” (“Grande Arte”), scritto nel 1545 dal matematico italiano Girolamo Cardano (1501 -1576).
Fatti sui numeri primi
I numeri 2 e 5 sono gli unici di una serie di numeri primi che terminano con 2 e 5.
Altri fatti sui numeri
Il numero 18 è l'unico numero (oltre allo 0) la cui somma delle cifre è 2 volte inferiore a se stessa.
2520 è il numero più piccolo che può essere diviso senza resto per tutti i numeri da 1 a 10.
Il numero "cinque" si pronuncia "ha" in tailandese. Pertanto, il numero composto da tre cinque - 555, sarà pronunciato come una frase gergale che denota la risata umana - "Ah, ah, ah".
Sappiamo tutti che esistono parole palindromiche. Cioè quelli che possono essere letti da sinistra a destra e da destra a sinistra e il loro significato non cambia. Esistono però anche numeri palindromi (palindromoni). Rappresentano un numero specchio che verrà letto e avrà stesso valore in entrambe le direzioni, ad esempio 1234321.
La parola Googol (l'origine del marchio Google) rappresenta il numero 1 seguito da 100 zeri.
L'unico numero che non può essere scritto in numeri romani è “Zero”. Inoltre, nella matematica moderna, lo zero presenta alcune peculiarità nella sua interpretazione. Pertanto, nella matematica russa non è classificato come una serie di numeri naturali, ma nelle scienze straniere lo è.
Dipartimento dell'Istruzione e delle Politiche Giovanili dell'Amministrazione
Distretto di Yalchik della Repubblica Ciuvascia
Progetto
Numeri primi...
La loro storia è così semplice?
Completato da uno studente di 7a elementare dell'istituto scolastico municipale "Scuola secondaria Novoshimkusskaya del distretto di Yalchik della Repubblica del Ciuvascia" Efimova Marina
Direttore: insegnante di matematica di prima categoria, istituto scolastico municipale "Scuola secondaria Novoshimkus, distretto di Yalchik, Repubblica Ciuvascia" Kirillova S.M.
villaggio Nuovo Shimkusy - 2007
Definizione dei numeri primi 3
Meriti di Eulero 3
Teorema Fondamentale dell'Aritmetica 4
Mersen primi 4
Fermat 5 numeri primi
Setaccio di Eratostene 5
Scoperta di P.L. Chebyshev 6
Problema di Goldbach 7
I.M.Vinogradov 8
Conclusione 8
Letteratura 10
L'interesse per lo studio dei numeri primi è sorto tra le persone nei tempi antichi. E non è stato causato solo da necessità pratica. Erano attratti dal loro straordinario potere magico. Numeri che possono essere utilizzati per esprimere la quantità di qualsiasi oggetto. Le proprietà inaspettate e allo stesso tempo naturali dei numeri naturali scoperte dagli antichi matematici li hanno sorpresi con la loro straordinaria bellezza e hanno ispirato nuove ricerche.
Deve essere stata una delle prime proprietà dei numeri scoperte dall'uomo il fatto che alcuni di essi potessero essere scomposti in due o più fattori, ad es.
6=2*3, 9=3*3, 30=2*15=3*10, mentre altri, come 3, 7, 13, 37, non possono essere espansi in questo modo.
Quando il numero c = UNBè il prodotto di due numeri UN e b , poi i numeri un eB sono chiamati moltiplicatori O divisori numeri s. Ogni numero può essere rappresentato come un prodotto di due fattori. Ad esempio, con = 1*c = c*1.
Sempliceè un numero divisibile solo per se stesso e per uno.
Un'unità che ha un solo divisore non è un numero primo. Non si applica nemmeno ai numeri composti. L'unità occupa una posizione speciale nella serie numerica. I Pitagorici insegnavano che l'una è la madre di tutti i numeri, lo spirito da cui provengono tutte le cose. mondo visibile, lei è ragione, bontà, armonia.
All'Università di Kazan, il professor Nikolsky, con l'aiuto di un'unità, è riuscito a dimostrare l'esistenza di Dio. Disse: “Proprio come non può esserci un numero senza uno, così l’Universo non può esistere senza un unico Signore”.
Uno è infatti un numero con proprietà uniche: è divisibile solo per se stesso, ma qualsiasi altro numero è divisibile per esso senza resto, qualsiasi delle sue potenze è uguale allo stesso numero: uno!
Dopo aver diviso per esso, non cambia un singolo numero e se dividi un numero qualsiasi per se stesso, ne ottieni di nuovo uno! Non è sorprendente? Dopo aver riflettuto su questo, Eulero disse: “Bisogna escludere l’unità dalla sequenza dei numeri primi: non è né prima né composta”.
Questo era già un ordinamento essenziale nell’oscura e complessa questione dei numeri primi.
I meriti di Eulero
Leonardo Eulero
(1707-1783)
Tutti hanno imparato da Eulero - e Europa occidentale e in Russia. La gamma della sua creatività è ampia: calcolo differenziale e integrale, algebra, meccanica, diottrica, artiglieria, scienze marine, teoria del movimento planetario e lunare, teoria musicale: non puoi elencare tutto. In tutto questo mosaico scientifico c'è la teoria dei numeri. Eulero vi dedicò molti sforzi e ottenne molto. Lui, come molti dei suoi predecessori, era alla ricerca di una formula magica che permettesse di isolare i numeri primi dall'insieme infinito dei numeri della serie naturale, cioè da tutti i numeri che si possono immaginare. Eulero scrisse più di cento opere sulla teoria dei numeri.
...È stato dimostrato, ad esempio, che il numero dei numeri primi è illimitato, cioè: 1) non esiste un numero primo più grande; 2) non esiste un ultimo numero primo dopo il quale tutti i numeri sarebbero composti. La prima prova di questa posizione appartiene agli scienziati antica Grecia(V-III secolo aC), la seconda prova è di Eulero (1708-1783).
Teorema fondamentale dell'aritmetica
Ogni numero naturale diverso da 1 o è primo oppure può essere rappresentato come prodotto di numeri primi, e in modo univoco, se non si presta attenzione all'ordine dei fattori.
Prova. Prendiamo un numero naturale n≠ 1. Se n è primo, allora questo è il caso menzionato nella conclusione del teorema. Supponiamo ora che n sia composto. Quindi viene rappresentato come un prodotto n = unB,
dove i numeri naturali a e b sono minori di n. Ancora una volta, o aeb sono semplici, allora tutto è dimostrato, oppure almeno uno di essi è composito, cioè formato da fattori più piccoli, e così via; alla fine otterremo una scomposizione in fattori primi.
Se il numero n non è divisibile per nessun numero primo non eccedente√n, allora è semplice.
Prova. Supponiamo il contrario, sia n composto e N = ab, dove 1 ≤b e p è un divisore primo del numero UN, da qui i numeri n. Per condizione N non è divisibile per nessun numero primo non eccedente √ N. Quindi, ð >√N. Ma poi a >√N E √ N ≤ UN≤ b ,
Dove n = unB = √ N√ N = P; arrivò ad una contraddizione, l'ipotesi era errata, il teorema fu dimostrato.
Esempio 1. Se c = 91 quindi √ ñ = 9, ... controlla i numeri primi 2, 3, 5, 7. Troviamo che 91 = 7 13.
Esempio 2. Se c = 1973, allora troviamo √ C = √ 1973 =44, ...
poiché nessun numero primo prima 43 non si divide con, allora questo numero è primo.
Esempio 3. Trova il numero primo successivo al numero primo 1973. Risposta: 1979.
Primi di Mersen
Per diversi secoli si è seguita la ricerca dei numeri primi. Molti matematici hanno gareggiato per l'onore di essere lo scopritore del più grande numero primo conosciuto.
I numeri primi di Mersen sono numeri primi di una forma speciale M p = 2 p - 1
Dove R - un altro numero primo.
Questi numeri sono presenti nella matematica da molto tempo; compaiono nelle riflessioni euclidee sull'argomento numeri moderni. Hanno ricevuto il loro nome in onore del monaco francese Merenne Mersen (1589-1648), che ha dedicato molto tempo al problema dei numeri moderni.
Se calcoliamo i numeri utilizzando questa formula, otteniamo:
M2 = 2 2 – 1 = 3 – primo;
M 3 = 2 3 – 1 = 7 – semplice;
M 5 = 2 5 – 1 = 31 – semplice;
M 7 = 2 7 – 1 = 127 – semplice;
M 11 = 2 11 – 1 = 2047 = 23 * 89
Un modo generale per trovare grandi numeri primi di Mersen è testare tutti i numeri M p per diversi numeri primi R.
Questi numeri aumentano molto rapidamente e il costo della manodopera per trovarli aumenta altrettanto rapidamente.
Nello studio dei numeri di Mersen si può distinguere una fase iniziale, culminata nel 1750, quando Eulero stabilì che il numero M 31 è primo. A quel punto erano stati trovati otto numeri primi di Mersen: "r
R= 2, ð= 3, ð = 5 , р = 7, р= 13, p = 17, p = 19, R =31.
Il numero di Eulero M 31 rimase il più grande numero primo conosciuto per oltre cento anni.
Nel 1876, il matematico francese Lucas stabilì che l'enorme numero M 127 ha 39 cifre. I 12 numeri primi di Mersen sono stati calcolati utilizzando solo carta e matita, mentre i successivi sono stati calcolati utilizzando calcolatrici meccaniche da tavolo.
L'avvento dei computer azionati elettricamente ha permesso di continuare la ricerca, portandola a termine R = 257.
Tuttavia, i risultati furono deludenti e tra questi non vi erano nuovi numeri primi di Mersen.
Quindi l'attività è stata trasferita al computer.
Il più grande numero primo attualmente conosciuto ha 3376 cifre. Questo numero è stato trovato su un computer presso l'Università dell'Illinois (USA). Il dipartimento di matematica di questa università era così orgoglioso del loro risultato che raffigurarono questo numero sul timbro postale, riproducendolo così su ogni lettera inviata per la visione pubblica.
Primi di Fermat
Esiste un altro tipo di numero primo con una storia lunga e interessante. Furono introdotti per la prima volta dal giurista francese Pierre Fermat (1601-1665), divenuto famoso per i suoi eccezionali lavori matematici.
Pierre Fermat (1601-1665)
I primi numeri primi di Fermat erano numeri che soddisfacevano la formula F n = 
+ 1.
F0 = 
+ 1 = 3;
F1= 
+ 1 = 5;
F2= 
+ 1 = 17;
F3= 
+ 1 = 257;
F4= 
+ 1 = 65537.
Tuttavia, questa ipotesi fu relegata nell'archivio delle ipotesi matematiche ingiustificate, ma dopo che Leonhard Euler fece un ulteriore passo avanti e dimostrò che il successivo numero di Fermat F 5 = 641 6 700 417 è composto.
È possibile che la storia dei numeri di Fermat sarebbe stata completata se i numeri di Fermat non fossero apparsi in un problema completamente diverso: costruire poligoni regolari utilizzando compasso e righello.
Tuttavia, non è mai stato trovato un solo numero primo di Fermat, e molti matematici ora tendono a credere che non esistano più.
Setaccio di Eratostene
Esistono tabelle di numeri primi che si estendono fino a molto grandi numeri. Come affrontare la compilazione di una tabella del genere? Questo problema fu, in un certo senso, risolto (circa nel 200 a.C.) da Eratostene, un matematico di Alessandria. -
Il suo schema è il seguente. Scriviamo una sequenza di tutti i numeri interi da 1 al numero con cui vogliamo terminare la tabella.
Cominciamo con il numero primo 2. Elimineremo ogni secondo numero. Cominciamo con 2 (tranne il numero 2 stesso), cioè i numeri pari: 4, 6, 8, 10, ecc., sottolineateli ciascuno.
Dopo questa operazione, il primo numero non sottolineato sarà 3. È primo, poiché non è divisibile per 2. Lasciando il numero 3 non sottolineato, sottolineeremo ogni terzo numero successivo, cioè i numeri 6, 9, 12 , 15... Alcuni di essi sono già stati sottolineati perché pari. Nel passaggio successivo il primo numero non sottolineato sarà il numero 5; è semplice, poiché non è divisibile né per 2 né per 3. Lasciamo il numero 5 non sottolineato, ma sottolineiamo ogni quinto numero dopo di esso, cioè i numeri 10, 15, 20... Come prima, alcuni di essi risultano essere sottolineato. Ora il più piccolo numero non accentato sarà il numero 7. È primo perché non è divisibile per nessuno dei suoi numeri primi più piccoli 2, 3, 5. Ripetendo questo processo, alla fine otterremo una sequenza di numeri non accentati; tutti (tranne il numero 1) sono primi. Questo metodo di vagliatura dei numeri è noto come il "criaccio di Eratostene". Qualsiasi tabella di numeri primi viene creata secondo questo principio.
Eratostene creò una tabella dei numeri primi da 1 a 120 più di 2000 anni fa. Scrisse su papiro teso su una cornice, o su una tavoletta di cera, e non cancellò, come facciamo noi, ma forò i numeri compositi. Il risultato fu qualcosa di simile a un setaccio attraverso il quale i numeri compositi furono “setacciati”. Pertanto, la tavola dei numeri primi è chiamata il “Colino di Eratostene”.
Quanti numeri primi ci sono? Esiste un ultimo numero primo, cioè quello dopo il quale tutti i numeri saranno composti? Se tale numero esiste, come trovarlo? Tutte queste domande hanno interessato gli scienziati fin dai tempi antichi, ma la risposta non è stata così facile da trovare.
Eratostene era un uomo molto spiritoso. Questo contemporaneo e amico di Archimede, con il quale mantenne una costante corrispondenza, era un matematico, un astronomo e un meccanico, cosa considerata naturale per i grandi uomini di quel tempo. Fu il primo a misurare il diametro del globo, senza lasciare la biblioteca alessandrina dove lavorò. La precisione delle sue misurazioni era sorprendentemente elevata, addirittura superiore a quella con cui Archimede misurò la Terra.
Eratostene inventò un dispositivo ingegnoso - mesolabite, con con l'aiuto del quale risolse meccanicamente il noto problema del raddoppio del cubo, di cui era molto orgoglioso, e quindi diede l'ordine di raffigurare questo dispositivo su una colonna ad Alessandria. Inoltre, ha corretto il calendario egiziano aggiungendo un giorno a quattro anni, in un anno bisestile.
Il setaccio di Eratostene è un'invenzione primitiva e allo stesso tempo geniale, alla quale Euclide non aveva nemmeno pensato, suggerendo la nota idea che tutto ciò che è ingegnoso è semplice.
Il crivello di Eratostene ha funzionato bene per i ricercatori che si occupavano di numeri lontani dai numeri primi. Il tempo è passato. C'era una ricerca su modi per catturare i numeri primi. Una sorta di competizione iniziò dall'antichità fino a Chebyshev e fino ai giorni nostri per trovare il numero primo più grande.
Scoperta di P.L. Chebysheva
E 
Pertanto il numero dei numeri primi è infinito. Abbiamo già visto che i numeri primi sono disposti senza alcun ordine. Diamo un'occhiata più in dettaglio.
2 e 3 sono numeri primi. Questa è l'unica coppia di numeri primi adiacenti.
Poi vengono 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, ecc. Questi sono i cosiddetti numeri primi o gemelli adiacenti. Ci sono molti gemelli: 29 e 31, 41 e 43, 59 e 61, 71 e 73, 101 e 103, 827 e 829, ecc. La coppia di gemelli più grande conosciuta oggi è: 10016957 e 10.016.959.
Panfutiy Lvovich Chebyshev
Come sono distribuiti i numeri primi in una serie naturale in cui non esiste un solo numero primo? C'è qualche legge nella loro distribuzione oppure no?
Se sì, quale? Come trovarlo? Ma sono più di 2000 anni che non si trova la risposta a queste domande.
Il primo e grandissimo passo nella risoluzione di questi problemi è stato compiuto dal grande scienziato russo Panfuty Lvovich Chebyshev. Nel 1850 dimostrò che tra qualsiasi numero naturale (diverso da 1) e un numero doppio della sua dimensione (cioè tra n e 2n), esiste almeno un numero primo.
Verifichiamolo con semplici esempi. Prendiamo diversi valori arbitrari di n per n .
e trovare di conseguenza il valore 2n.
n = 12, 2n = 24;
n = 61, 2n = 122;
n = 37, 2n = 74.
Vediamo che per gli esempi considerati il teorema di Chebyshev è vero.
Chebyshev lo ha dimostrato in ogni caso, per ogni n. Per questo teorema fu chiamato il vincitore dei numeri primi. La legge della distribuzione dei numeri primi scoperta da Chebyshev era una legge veramente fondamentale nella teoria dei numeri dopo la legge scoperta da Euclide sull'infinito del numero dei numeri primi.
Forse la risposta più gentile ed entusiasta alla scoperta di Chebyshev venne dall'Inghilterra, da parte del famoso matematico Sylvester: “...Ulteriori successi nella teoria dei numeri primi ci si possono aspettare quando nasce qualcuno che sia superiore a Chebyshev nella sua intuizione e riflessione quanto Chebyshev è superiore a queste qualità della gente comune."
Più di mezzo secolo dopo, il matematico tedesco E. Landau, uno dei maggiori specialisti in teoria dei numeri, aggiunse a questa affermazione quanto segue: “Il primo dopo Euclide fu Chebyshev nel modo giusto risolvendo il problema dei numeri primi e ottenendo importanti risultati”.
Il problema di Goldbach
Scriviamo tutti i numeri primi da 1 a 50:
2, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Ora proviamo qualsiasi numero da 4 a 50 rappresentarlo come la somma di due o tre numeri primi. Prendiamo alcuni numeri a caso:
Come puoi vedere, abbiamo completato l'attività senza difficoltà. È sempre possibile? Un numero qualsiasi può essere rappresentato come la somma di più numeri primi? E se sì, quanti: due? tre? dieci?
Nel 1742 Goldbach, membro dell'Accademia delle Scienze di San Pietroburgo, in una lettera a Eulero, suggerì che qualsiasi intero positivo maggiore di cinque è la somma di al massimo tre numeri primi.
Goldbach testò molti numeri e non incontrò mai un numero che non potesse essere scomposto nella somma di due o tre termini semplici. Ma se sarà sempre così, non lo ha dimostrato. Gli scienziati studiano da molto tempo questo problema, chiamato "problema di Goldbach" ed è formulato come segue.
È necessario dimostrare o confutare la proposizione:
Qualsiasi numero maggiore di uno è la somma di al massimo tre numeri primi.
Per quasi 200 anni, eminenti scienziati hanno cercato di risolvere il problema Goldbach-Eulero, ma senza successo. Molti sono giunti alla conclusione che è impossibile risolverlo.
Ma la sua soluzione, quasi completa, fu trovata nel 1937 dal matematico sovietico I.M. Vinogradov.
LORO. Vinogradov
Ivan Matveevich Vinogradov è uno dei più grandi matematici moderni. È nato il 14 settembre 1891 nel villaggio di Milolub, nella provincia di Pskov. Nel 1914 si laureò all'Università di San Pietroburgo e dovette prepararsi per una cattedra.
Il suo primo lavoro scientifico I.M. Vinogradov scrisse nel 1915. Da allora ha scritto più di 120 diversi lavori scientifici. In essi, ha risolto molti problemi su cui gli scienziati di tutto il mondo hanno lavorato per decine e centinaia di anni.
Ivan Matveevich Vinogradov
Per i servizi nel campo della matematica I.M. Vinogradov è riconosciuto da tutti gli scienziati del mondo come uno dei primi matematici del nostro tempo ed è stato eletto membro di molte accademie in tutto il mondo.
Siamo orgogliosi del nostro meraviglioso connazionale.
Conclusione.
Dall'aula allo spazio esterno
Iniziamo la nostra conversazione sui numeri primi con una storia affascinante su un viaggio immaginario dall'aula allo spazio. Questo viaggio immaginario è stato inventato dal famoso insegnante di matematica sovietico, il professor Ivan Kozmich Andronov (nato nel 1894). “...a) prendi mentalmente un filo dritto che esce dall'aula nello spazio del mondo, perforando l'atmosfera terrestre, andando dove ruota la Luna, e poi oltre la palla di fuoco del Sole, e più avanti nell'infinito del mondo;
b) appendere mentalmente le lampadine ad un filo ogni metro, numerandole a partire dalla più vicina: 1, 2, 3, 4, ..., 100, ..., 1000, ..., 1.000.000...;
c) accendere mentalmente la corrente in modo tale che tutte le lampadine con numeri primi e solo quelle con numeri primi si accendano; : .
d) volare mentalmente vicino al filo.
La seguente immagine si aprirà davanti a noi.
1. La lampadina numero 1 non si accende. Perché? Perché uno non è un numero primo.
2. Le due lampadine successive, numerate 2 e 3, sono accese poiché 2 e 3 sono entrambi numeri primi. Due lampadine accese adiacenti potranno incontrarsi in futuro? No, non possono. Perché? Ogni numero primo tranne due è un numero dispari, e quelli adiacenti a un primo su entrambi i lati saranno numeri pari, e ogni numero pari diverso da due è un numero composto, poiché è divisibile per due.
3. Successivamente osserviamo una coppia di lampadine che bruciano attraverso una lampadina con i numeri 3 e 5, 5 e 7, ecc. È chiaro il motivo per cui bruciano: questi sono gemelli. Notiamo che in futuro si verificheranno meno frequentemente; tutte le coppie di gemelli, come le coppie di numeri primi, hanno la forma 6n ± 1; Per esempio
6*3 ± 1 equivale a 19 e 17
oppure 6*5 ± 1 equivale a 31 e 29, ...;
ma 6*20 ± 1 è uguale a 121 e 119 - questa coppia non è gemella, poiché esiste una coppia di numeri compositi.
Raggiungiamo la coppia di gemelli 10.016.957 e 10.016.959 Ci saranno ulteriori coppie di gemelli? Scienza moderna finora non dà una risposta: non è noto se esista un insieme finito o infinito di coppie di gemelli.
4. Ma poi la legge di un grande divario, riempito solo con numeri compositi, inizia a funzionare: voliamo nell'oscurità, guardiamo indietro - oscurità e nessuna luce è visibile davanti. Ricordiamo la proprietà scoperta da Euclide e andiamo avanti con coraggio, poiché davanti a noi dovrebbero esserci lampadine luminose e davanti a loro dovrebbe essercene un numero infinito.
5. Dopo essere volati in un luogo della serie naturale, dove diversi anni del nostro movimento sono già trascorsi nell'oscurità, ricordiamo la proprietà dimostrata da Chebyshev e ci calmiamo, fiduciosi che in ogni caso non dobbiamo volare più di abbiamo volato per vedere almeno una lampadina luminosa."
Letteratura
1.
Il grande maestro dell'induzione, Leonhard Euler.
2. Dietro le pagine di un libro di testo di matematica.
3. Prudnikov N.I. P.L. Chebyshev.
4. Serbsky I. A. Cosa sappiamo e cosa non sappiamo sui numeri primi.
5. Casa editrice “Primo settembre”. Matematica N. 13, 2002
6. Casa editrice “Primo settembre”. Matematica n. 4, 2006
Numeri primi e compositi. Segni di divisibilità.
2014-02-01
Privato
divisore
multiplo
numero pari
numero dispari
numero primo
numero composto
Test di divisibilità per 2
Test di divisibilità per 4
Test di divisibilità per 5
Test di divisibilità per 3 e 9
Se $a$ e $b$ sono numeri naturali, e
$a=bq$,
dove anche $q$ è un numero naturale, allora diciamo che $q$ lo è
il quoziente di divisione del numero $a$ per il numero $b$, e scrivi: $q = a/b$.
Si dice anche che $a$ è divisibile per $b$ completamente O senza lasciare traccia.
Qualsiasi numero $b$ che divide $a$ senza resto è chiamato divisore di $a$
Se stesso
il numero $a$ in relazione al suo divisore è detto multiplo
Pertanto, i multipli di $b$ sono i numeri $b, 2b, 3b, \cdots$.
I numeri multipli di 2 (cioè divisibili per 2 senza resto) si dicono pari
.I numeri che non sono divisibili per 2 si dicono dispari.
Ogni numero naturale è pari o dispari.
Se ciascuno dei due numeri $a_(1), a_(2)$ è un multiplo di $b$, allora la somma $a_(1)+a_(2)$ è un multiplo di $b$. Ciò può essere visto dalla voce $a_(1)=bq_(1), a_(2)=bq_(2); a_(1)+a_(2)=bq_(1)+bq_(2)= b (q_(1)+q_(2))$.
Al contrario, se $a_(1)$ e $a_(1)+a_(2)$ sono multipli di $b$, allora anche $a_(2)$ è un multiplo di $b$.
Ogni numero naturale diverso dall'uno ha almeno due divisori: l'uno e se stesso.
Se un numero non ha altri divisori oltre a se stesso e uno, si dice primo
.Un numero che ha un divisore diverso da se stesso e uno si dice composto.
In numero. È consuetudine classificare l'unità né come numero primo né come numero composto. Ecco i primi numeri primi, scritti in ordine crescente:
$2,3,5,7,11,13,17,\cdots$
Il numero 2 è l'unico numero primo pari; tutti gli altri numeri primi sono dispari.
Il fatto che esista un numero infinito di numeri primi è stato accertato fin dall'antichità (Euclide, III secolo a.C.).
L'idea della dimostrazione di Euclide dell'infinito dell'insieme dei numeri primi è abbastanza semplice. Supponiamo che esista un numero finito di numeri primi; Elenchiamoli tutti, ad esempio, disponendoli in ordine crescente:
$2,3,5, \cdots , p$. (1)
Facciamo un numero uguale al loro prodotto più uno:
$a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdots p+1$.
Ovviamente, questo numero non è divisibile per nessuno dei numeri (1). Pertanto, o è esso stesso primo, oppure, se è composto, ha un fattore primo diverso dai numeri in (1), il che contraddice l'assunto che la notazione (1) elenchi tutti i numeri primi.
Questa dimostrazione è di grande interesse perché fornisce un esempio di dimostrazione di un teorema di esistenza (di un insieme infinito di numeri primi) che non implica effettivamente la ricerca degli oggetti di cui si sta dimostrando l'esistenza.
Si può dimostrare che ogni numero composto può essere rappresentato come un prodotto di numeri primi. Quindi, ad esempio,
$1176 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ oppure $1176 = 2^(3) \cdot 3 \cdot 7^(2)$.
Come si vede da questo esempio, nella scomposizione di un dato numero in fattori primi, alcuni di essi possono ripetersi più volte.
In generale nella notazione della scomposizione del numero $a$ in fattori primi
$a = p^(k_(1))_(1) p^(k_(2))_(2) \cdots p^(k_(n))_(n)$ (2)
è implicito che tutti i numeri primi $p_(1),p_(2), \cdots , p_(n)$ sono diversi tra loro (e $p_(1)$ è ripetuto di un fattore $k_(1) $ volte, $p_(2 )$ viene ripetuto di un fattore $k_(2)$ volte, ecc.). In queste condizioni si può dimostrare che lo sviluppo è unico a meno che l’ordine in cui sono scritti i fattori.
Quando si scompone un numero in fattori primi, è utile utilizzare i test di divisibilità, che permettono di scoprire se un dato numero è divisibile per qualche altro numero senza resto, senza eseguire la divisione stessa. Deriveremo criteri di divisibilità per i numeri 2, 3, 4, 5, 9.
Test di divisibilità per 2. Sono divisibili per 2 quei e solo quei numeri in cui l'ultima cifra esprime un numero pari (0, 2, 4, 6 o 8).
Prova. Rappresentiamo il numero $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m))$ come $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m)) = \overline(c_( 1 )c_(2) \cdots 0) + c_(m)$.
Il primo termine a destra è divisibile per 10 e quindi pari; la somma sarà pari se e solo se $c_(m)$ è un numero pari.
Divisibilità per 4 Il numero $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m))$ è divisibile per 4 se e solo se il numero di due cifre espresso dalle sue ultime due cifre è divisibile per 4.
Prova. Rappresentiamo il numero $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m))$ nella forma
$\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m)) = \overline(c_(1)c_(2) \cdots 00) + \overline(c_(m-1)c_(m)) $
Il primo termine è divisibile per 100 e a maggior ragione per 4. La somma sarà divisibile per 4 se e solo se $\overline(c_(m-1)c_(m))$ è divisibile per 4.
Test di divisibilità per 5. Quelli e solo quei numeri la cui notazione termina con il numero 0 o il numero 5 sono divisibili per 5.
Segni di divisibilità per 3 e 9. Un numero è divisibile per 3 (rispettivamente per 9) se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per 3 (rispettivamente per 9).
Prova. Scriviamo le ovvie uguaglianze
$10 = 9+1$,
$100 = 99 + 1$,
$1000 = 999+1$,
$\cdots$,
per cui il numero $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m))$ può essere rappresentato come
$a_(m)=c_(1)(99 \cdots 9 + 1) + \cdots + c_(m-1) (9+1) + c_(m)$
O
$a_(m)=c_(1) \cdot 99 \cdots 9 + \cdots + c_(m-1) \cdot 9 + (c_(1) + c_(2) + \cdots + c_(m-1) + c_(m))$.
Si può vedere che tutti i termini, tranne forse l'ultima parentesi, sono divisibili per 9 (e ancor più per 3). Pertanto, un dato numero è divisibile per 3 o 9 se e solo se la somma delle sue cifre $c_(1)+c_(2)+ \cdots + c_(m)$ è divisibile per 3 o 9.
Vari problemi legati ai numeri primi erano e rimangono tuttora importanti e interessanti per la matematica, molti di essi non sono ancora stati risolti e il loro studio è associato a fatti interessanti da storia della matematica.
Quindi, nei secoli XVI-XVII. i matematici iniziarono a considerare i numeri della forma $2^n-1$ e, studiandoli per semplicità, furono commessi molti errori nella storia. È chiaro che se n - numero composto, allora anche questo numero è composto: se $n=km$, allora $2^n-1=(2^k)^m-1^m$ - come la differenza di gradi è divisa per la differenza di basi, cioè non è primo, e quindi è naturale considerare solo n.
Ma anche con n semplice, questo numero può risultare composto: ad esempio, 2 11 = 2047 = 23 89, è composto sia per n = 23 che per n = 37, come è stato stabilito Azienda agricola, dopo più di 40 anni, scoprì un errore nel lavoro di un altro ricercatore, il quale sosteneva che con n=23, 29, 31, 37 il numero $2^n-1$ è primo, ma non si accorse di un altro errore: con n =29 inoltre non è primo . E questo fu scoperto - circa altri 100 anni dopo - Eulero, e anche il fatto che con n=31 questo numero è ancora realmente primo.
Nel XVII secolo Un monaco francese studiò i numeri della forma $2^n-1$ Maren Mersenne che ha portato elenco completo primo n da 2 a 257, per il quale questi numeri sono primi, in cui anticipò il risultato di Eulero sopra, ma questo elenco conteneva anche errori, e uno di essi fu trovato due secoli e mezzo dopo, nel 1883, da un russo prete rurale - insegnante Ivan Mikheevich Pervushin. Questo evento è contrassegnato da una targa commemorativa sulla sua casa nei Trans-Urali, nella città di Shadrinsk, nella regione di Kurgan. E gli n=67 e n=257 erroneamente indicati da Mersenne furono esclusi dalla sua lista solo nel XX secolo.
Naturalmente, dentro mondo moderno per tali errori avrebbero potuto essere denunciati, e poi Mersenne avrebbe avuto bisogno della rappresentanza legale in tribunale di un buon avvocato. Sebbene molte persone possano ora rappresentare legalmente i propri interessi in tribunale, solo poche sono veri professionisti. Ma al monaco francese non importa più!
Vengono chiamati i numeri primi della forma $2^n-1$ Numeri di Mersenne, e i matematici non sanno ancora se esiste un numero finito o infinito di tali numeri, e nel 1996 è stato trovato il trentacinquesimo numero di Mersenne - con n = 1.398.629, e ha circa 400mila cifre, il 15 maggio 2004 , è stato trovato il trentaseiesimo numero, ma il computer ha impiegato diverse ore per farlo. È chiaro che trovare un numero così grande senza l’uso dei computer è impensabile. Nella storia della matematica c'è un altro episodio legato ai numeri primi, i cosiddetti numeri di Fermat - numeri della forma $2^(2^n)+1$. Ancora una volta, è chiaro il motivo per cui l’esponente k = 2 n ha una forma apparentemente privata, mentre 2 n lo è visione generale numero che non ha divisori primi dispari, e se questo esponente k ha tale divisore p, allora il numero 2 p +1 non è primo: se k = pq, allora 2 k +1 = (2 q) p +1 p , e la somma delle potenze dispari viene divisa per la somma delle basi. Fermat stesso credeva che questi numeri fossero tutti primi, ma Eulero dimostrò che questa affermazione era errata e trovò un controesempio: $2^(32)+1=4.294.967.297=641\times6.700.417$.
E la scoperta più sorprendente in relazione ai numeri di Fermat è stata fatta dai grandi matematico Gauss, di cui probabilmente avrai sentito parlare in relazione al suo calcolo istantaneo della somma 1+2+3+...+100: risulta che un n-gon regolare può essere costruito se e solo se tutti i fattori primi dispari di n sono numeri di Fermat. Quindi, in particolare, non si può costruire un 7-agoni regolare con compasso e riga, ma si può costruire un 17-agoni: $17=2^(2^2)+1$.
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