Dividere i numeri pari per 7. Segni di divisibilità, ovvero che i numeri non sono stati divisi

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Introduzione

Nelle lezioni di matematica, quando studiavamo l'argomento “Segni di divisibilità”, dove abbiamo conosciuto i segni di divisibilità per 2; 5; 3; 9; 10, mi interessava sapere se ci sono segni di divisibilità per altri numeri e se esiste un metodo universale di divisibilità per qualsiasi numero naturale. Pertanto, ho iniziato un lavoro di ricerca su questo argomento.

Scopo dello studio: studio dei segni di divisibilità numeri naturali fino a 100, oltre ai già noti segni di divisibilità dei numeri naturali per numeri interi, studiati a scuola.

Per raggiungere l'obiettivo, ci siamo prefissati compiti:

Raccogliere, studiare e sistematizzare materiale sui segni di divisibilità dei numeri naturali, utilizzando varie fonti di informazione.

Trova un test universale per la divisibilità per qualsiasi numero naturale.

Impara a utilizzare il test di divisibilità di Pascal per determinare la divisibilità dei numeri e prova anche a formulare test di divisibilità per qualsiasi numero naturale.

Oggetto di studio: divisibilità dei numeri naturali.

Oggetto della ricerca: segni di divisibilità dei numeri naturali.

Metodi di ricerca: raccolta di informazioni; lavorare con materiali stampati; analisi; sintesi; analogia; sondaggio; sondaggio; sistematizzazione e generalizzazione del materiale.

Ipotesi di ricerca: Se è possibile determinare la divisibilità dei numeri naturali per 2, 3, 5, 9, 10, allora devono esserci segni con cui si possa determinare la divisibilità dei numeri naturali per altri numeri.

Novità eseguito lavoro di ricercaè che questo lavoro sistematizza la conoscenza sui segni di divisibilità e sul metodo universale di divisibilità dei numeri naturali.

Significato pratico: il materiale di questo lavoro di ricerca può essere utilizzato nelle classi 6-8 delle classi elettive quando si studia l'argomento "Divisibilità dei numeri".

Capitolo I. Definizione e proprietà di divisibilità dei numeri

1.1.Definizioni dei concetti di divisibilità e segni di divisibilità, proprietà della divisibilità.

La teoria dei numeri è una branca della matematica che studia le proprietà dei numeri. L'oggetto principale della teoria dei numeri sono i numeri naturali. La loro proprietà principale, considerata dalla teoria dei numeri, è la divisibilità. Definizione: Un intero a è divisibile per un intero b che non è uguale a zero se esiste un intero k tale che a = bk (ad esempio, 56 è divisibile per 8, poiché 56 = 8x7).- una regola che ti consente di determinare se un dato numero naturale è divisibile per altri numeri con un numero intero, ad es. senza lasciare traccia.

Proprietà di divisibilità:

Qualsiasi numero a diverso da zero è divisibile per se stesso.

Zero è divisibile per qualsiasi b diverso da zero.

Se a è divisibile per b (b0) e b è divisibile per c (c0), allora a è divisibile per c.

Se a è divisibile per b (b0) e b è divisibile per a (a0), allora a e b sono numeri uguali o opposti.

1.2. Proprietà di divisibilità di una somma e di un prodotto:

Se in una somma di numeri interi ogni termine è divisibile per un certo numero, allora la somma viene divisa per quel numero.

2) Se nella differenza tra interi il minuendo e il sottraendo sono divisibili per un certo numero, allora anche la differenza è divisibile per un certo numero.

3) Se nella somma dei numeri interi tutti i termini tranne uno sono divisibili per un certo numero, allora la somma non è divisibile per questo numero.

4) Se in un prodotto di numeri interi uno dei fattori è divisibile per un certo numero, anche il prodotto è divisibile per questo numero.

5) Se in un prodotto di numeri interi uno dei fattori è divisibile per m e l'altro per n, allora il prodotto è divisibile per mn.

Inoltre, studiando i segni di divisibilità dei numeri, ho conosciuto il concetto "numero radice digitale". Prendiamo un numero naturale. Troviamo la somma delle sue cifre. Troviamo anche la somma delle cifre nel risultato e così via finché non otteniamo un numero a una cifra. Il risultato risultante è chiamato radice digitale del numero. Ad esempio, la radice digitale del numero 654321 è 3: 6+5+4+3+2+1=21,2+1=3. E ora puoi pensare alla domanda: "Quali segni di divisibilità esistono ed esiste un segno universale della divisibilità di un numero per un altro?"

Capitolo II. Criteri di divisibilità per i numeri naturali.

2.1. Segni di divisibilità per 2,3,5,9,10.

Tra i segni di divisibilità, i più convenienti e conosciuti dal corso di matematica della scuola di 6a elementare sono:

Divisibilità per 2. Se un numero naturale termina con una cifra pari o con zero, il numero è divisibile per 2. Il numero 52738 è divisibile per 2, poiché l'ultima cifra è 8.

Divisibilità per 3 . Se la somma delle cifre di un numero è divisibile per 3, allora il numero è divisibile per 3 (il numero 567 è divisibile per 3, poiché 5+6+7 = 18 e 18 è divisibile per 3).

Divisibilità per 5. Se un numero naturale termina con 5 o zero, allora il numero è divisibile per 5 (i numeri 130 e 275 sono divisibili per 5, poiché le ultime cifre dei numeri sono 0 e 5, ma il numero 302 non è divisibile per 5, dall'ultima cifra i numeri non sono 0 e 5).

Divisibile per 9. Se la somma delle cifre è divisibile per 9, allora il numero è divisibile per 9 (676332 è divisibile per 9 perché 6+7+6+3+3+2=27 e 27 è divisibile per 9).

Divisibilità per 10 . Se un numero naturale termina con 0, allora questo numero è divisibile per 10 (230 è divisibile per 10, poiché l'ultima cifra del numero è 0).

2.2. Segni di divisibilità per 4,6,8,11,12,13, ecc.

Dopo aver lavorato con varie fonti, ho appreso altri segni di divisibilità. Ne descriverò alcuni.

Divisione per 6 . Dobbiamo verificare la divisibilità del numero che ci interessa per 2 e 3. Un numero è divisibile per 6 se e solo se è pari e la sua radice digitale è divisibile per 3. (Ad esempio, 678 è divisibile per 6, poiché è pari e 6+7+8=21, 2+1=3) Altro segno di divisibilità: un numero è divisibile per 6 se e solo se il quadruplo numero delle decine sommato al numero delle unità è divisibile per 6. (73,7*4+3=31, 31 non è divisibile per 6, il che significa che 7 non è divisibile per 6.)

Divisione per 8. Un numero è divisibile per 8 se e solo se le sue ultime tre cifre formano un numero divisibile per 8. (12.224 è divisibile per 8 perché 224:8=28). Un numero di tre cifre è divisibile per 8 se e solo se il numero di uno sommato al doppio del numero delle decine e al quadruplo del numero delle centinaia è divisibile per 8. Ad esempio, 952 è divisibile per 8 poiché 9 * 4 + 5 * 2 + 2 = 48 è divisibile per 8 .

Divisione per 4 e 25. Se le ultime due cifre sono zeri o esprimono un numero divisibile per 4 e/o 25, allora il numero è divisibile per 4 e/o 25 (il numero 1500 è divisibile per 4 e 25, poiché termina con due zeri, il numero 348 è divisibile per 4, poiché 48 è divisibile per 4, ma questo numero non è divisibile per 25, perché 48 non è divisibile per 25, il numero 675 è divisibile per 25, perché 75 è divisibile per 25, ma non divisibile per 4 .k.75 non è divisibile per 4).

Conoscendo i segni base della divisibilità per numeri primi, puoi derivare i segni di divisibilità per numeri composti:

Test di divisibilità per11 . Se la differenza tra la somma delle cifre nei posti pari e la somma delle cifre nei posti dispari è divisibile per 11, allora il numero è divisibile per 11 (il numero 593868 è divisibile per 11, poiché 9 + 8 + 8 = 25, e 5 + 3 + 6 = 14, la loro differenza è 11, e 11 è diviso per 11).

Test di divisibilità per 12: un numero è divisibile per 12 se e solo se le ultime due cifre sono divisibili per 4 e la somma delle cifre è divisibile per 3.

Perché 12= 4 ∙ 3, cioè il numero deve essere divisibile per 4 e 3.

Test di divisibilità per 13: Un numero è divisibile per 13 se e solo se la somma alternata di numeri formati da triplette successive di cifre del numero dato è divisibile per 13. Come fai a sapere, ad esempio, che il numero 354862625 è divisibile per 13? 625-862+354=117 è divisibile per 13, 117:13=9, il che significa che il numero 354862625 è divisibile per 13.

Test di divisibilità per 14: Un numero è divisibile per 14 se e solo se termina con una cifra pari e quando il risultato della sottrazione di due volte l'ultima cifra da quel numero senza l'ultima cifra è divisibile per 7.

Perché 14= 2 ∙ 7, cioè il numero deve essere divisibile per 2 e 7.

Test di divisibilità per 15: Un numero è divisibile per 15 se e solo se termina con 5 e 0 e la somma delle cifre è divisibile per 3.

Perché 15= 3 ∙ 5, cioè il numero deve essere divisibile per 3 e 5.

Test di divisibilità per 18: Un numero è divisibile per 18 se e solo se termina con una cifra pari e la somma delle sue cifre è divisibile per 9.

perché18= 2 ∙ 9, cioè il numero deve essere divisibile per 2 e 9.

Test di divisibilità per 20: Un numero è divisibile per 20 se e solo se termina con 0 e la penultima cifra è pari.

Perché 20 = 10 ∙ 2 cioè il numero deve essere divisibile per 2 e 10.

Test di divisibilità per 25: un numero contenente almeno tre cifre è divisibile per 25 se e solo se il numero formato dalle ultime due cifre è divisibile per 25.

Test di divisibilità per30 .

Test di divisibilità per59 . Un numero è divisibile per 59 se e solo se il numero delle decine sommato al numero delle unità moltiplicate per 6 è divisibile per 59. Ad esempio, 767 è divisibile per 59, poiché 76 + 6*7 = 118 e 11 + 6* sono divisibili per 59 8 = 59.

Test di divisibilità per79 . Un numero è divisibile per 79 se e solo se il numero di decine sommato al numero di unità moltiplicato per 8 è divisibile per 79. Ad esempio, 711 è divisibile per 79, poiché 79 è divisibile per 71 + 8*1 = 79.

Test di divisibilità per99. Un numero è divisibile per 99 se e solo se la somma dei numeri che formano gruppi di due cifre (iniziando con l'unità) è divisibile per 99. Ad esempio, 12573 è divisibile per 99, poiché 1 + 25 + 73 = 99 è divisibile per 99.

Test di divisibilità per100 . Solo i numeri le cui ultime due cifre sono zeri sono divisibili per 100.

Test di divisibilità per 125: un numero contenente almeno quattro cifre è divisibile per 125 se e solo se il numero formato dalle ultime tre cifre è divisibile per 125.

Tutte le caratteristiche di cui sopra sono riassunte in forma di tabella. (Appendice 1)

2.3 Test di divisibilità per 7.

1) Prendiamo per prova il numero 5236. Scriviamo questo numero come segue: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10 3 *5+10 2 *2+10*3+6 (“ sistematica» forma di scrittura di un numero), e ovunque sostituiamo la base 10 con la base 3); 3 3 *5 + 3 2 *2 + 3*3 + 6 = 168. Se il numero risultante è divisibile (non divisibile) per 7, allora dato numeroè divisibile (non divisibile) per 7. Poiché 168 è divisibile per 7, allora 5236 è divisibile per 7. 68:7=24, 5236:7=748.

2) In questo segno bisogna agire esattamente come nel precedente, con l'unica differenza che la moltiplicazione dovrebbe iniziare dall'estrema destra e moltiplicarsi non per 3, ma per 5. (5236 è divisibile per 7, poiché 6 * 5 3 +3*5 2 +2*5+5=840, 840:7=120)

3) Questo segno è meno facile da implementare nella mente, ma è anche molto interessante. Raddoppia l'ultima cifra e sottrai la seconda da destra, raddoppia il risultato e aggiungi la terza da destra, ecc., alternando sottrazione e addizione e diminuendo ciascun risultato, ove possibile, di 7 o un multiplo di sette. Se il risultato finale è divisibile (non divisibile) per 7, allora il numero testato è divisibile (non divisibile) per 7. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7= 5.

4) Un numero è divisibile per 7 se e solo se la somma alternata di numeri formati da terzine consecutive di cifre di un dato numero è divisibile per 7. Come fai a sapere, ad esempio, che il numero 363862625 è divisibile per 7? 625-862+363=126 è divisibile per 7, 126:7=18, il che significa che il numero 363862625 è divisibile per 7, 363862625:7=51980375.

5) Uno dei più antichi segni di divisibilità per 7 è il seguente. Le cifre del numero vanno prese in ordine inverso, da destra a sinistra, moltiplicando la prima cifra per 1, la seconda per 3, la terza per 2, la quarta per -1, la quinta per -3, la sesta per - 2, ecc. (se il numero di caratteri è superiore a 6, la sequenza dei fattori 1, 3, 2, -1, -3, -2 deve essere ripetuta tante volte quanto necessario). I prodotti risultanti devono essere sommati. Il numero originale è divisibile per 7 se la somma calcolata è divisibile per 7. Ecco, ad esempio, cosa dà questo segno per il numero 5236. 1*6+3*3+2*2+5*(-1) = 14. 14: 7 = 2, il che significa che il numero 5236 è divisibile per 7.

6) Un numero è divisibile per 7 se e solo se il triplo del numero delle decine sommato al numero delle unità è divisibile per 7. Ad esempio, 154 è divisibile per 7, poiché 7 è il numero 49, che otteniamo da questo criterio : 15* 3 + 4 = 49.

2.4.Test di Pascal.

Un grande contributo allo studio dei criteri di divisibilità dei numeri fu dato da B. Pascal (1623-1662), matematico e fisico francese. Trovò un algoritmo per trovare segni di divisibilità di qualsiasi numero intero per qualsiasi altro numero intero, che pubblicò nel trattato "Sulla natura della divisibilità dei numeri". Quasi tutti i test di divisibilità attualmente conosciuti sono un caso speciale del test di Pascal:“Se la somma dei resti di una divisione di un numero UNper cifre per numero Vper cifre per numero diviso per, quindi il numero Vper cifre per numero ». Conoscerlo è utile anche oggi. Come possiamo dimostrare i test di divisibilità formulati sopra (ad esempio, il familiare test di divisibilità per 7)? Proverò a rispondere a questa domanda. Ma prima concordiamo un modo per scrivere i numeri. Per scrivere un numero le cui cifre sono indicate da lettere, accettiamo di tracciare una linea sopra queste lettere. Pertanto, abcdef indicherà un numero avente f unità, e decine, d centinaia, ecc.:

abcdef = un. 10 5 + b. 10 4 + c. 10 3 + d. 10 2 + e. 10+f. Ora dimostrerò il test di divisibilità per 7 formulato sopra Abbiamo:

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1

1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(resto della divisione per 7).

Di conseguenza, otteniamo la quinta regola formulata sopra: per trovare il resto della divisione di un numero naturale per 7, è necessario firmare i coefficienti (resti della divisione) sotto le cifre di questo numero da destra a sinistra: quindi è necessario moltiplicare ciascuna cifra per il coefficiente sottostante e aggiungere il risultato prodotti; la somma trovata avrà, divisa per 7, lo stesso resto del numero preso.

Prendiamo come esempio i numeri 4591 e 4907 e, agendo come indicato nella regola, troveremo il risultato:

-1 2 3 1

4+10+27+1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (resto 6) (non divisibile per 7)

-1 2 3 1

4+18+0+7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (divisibile per 7)

In questo modo puoi trovare un test di divisibilità per qualsiasi numero T. Devi solo trovare quali coefficienti (resto della divisione) devono essere firmati sotto le cifre del numero preso A. Per fare ciò, devi sostituire ciascuna potenza di dieci con 10, se possibile, con lo stesso resto diviso per T, uguale al numero 10. Quando T= 3 o t = 9, questi coefficienti si sono rivelati molto semplici: sono tutti uguali a 1. Pertanto, il test di divisibilità per 3 o 9 si è rivelato molto semplice. A T= 11, anche i coefficienti non erano complicati: sono alternativamente uguali a 1 e - 1. E quando t =7 i coefficienti si sono rivelati più complicati; Pertanto, il test di divisibilità per 7 si è rivelato più complesso. Dopo aver esaminato i segni di divisione fino a 100, mi sono convinto che i coefficienti più complessi per i numeri naturali sono 23 (da 10 23 i coefficienti si ripetono), 43 (da 10 39 i coefficienti si ripetono).

Tutti i segni elencati di divisibilità dei numeri naturali possono essere divisi in 4 gruppi:

1 gruppo- quando la divisibilità dei numeri è determinata dall'ultima/e cifra/e - questi sono segni di divisibilità per 2, per 5, per un'unità di cifra, per 4, per 8, per 25, per 50.

2° gruppo- quando la divisibilità dei numeri è determinata dalla somma delle cifre del numero - questi sono segni di divisibilità per 3, per 9, per 7, per 37, per 11 (1 segno).

3 gruppo- quando la divisibilità dei numeri viene determinata dopo aver eseguito alcune azioni sulle cifre del numero - questi sono segni di divisibilità per 7, per 11 (1 segno), per 13, per 19.

4 gruppo- quando per determinare la divisibilità di un numero vengono utilizzati altri segni di divisibilità, questi sono segni di divisibilità per 6, per 15, per 12, per 14.

Parte sperimentale

Sondaggio

L’indagine è stata condotta tra gli studenti delle classi 6 e 7. All'indagine hanno preso parte 58 studenti dell'istituto scolastico municipale Karaidel scuola secondaria n. 1 del distretto MR Karaidel della Repubblica di Bielorussia. È stato chiesto loro di rispondere alle seguenti domande:

Pensi che ci siano altri segni di divisibilità diversi da quelli studiati in classe?

Ci sono segni di divisibilità per gli altri numeri naturali?

Ti piacerebbe conoscere questi segni di divisibilità?

Conosci qualche segno di divisibilità dei numeri naturali?

Dai risultati dell'indagine è emerso che il 77% degli intervistati ritiene che esistano altri segnali di divisibilità oltre a quelli studiati a scuola; Il 9% non la pensa così, il 13% degli intervistati ha trovato difficile rispondere. Alla seconda domanda: “Vuoi conoscere i test di divisibilità per gli altri numeri naturali?” Il 33% ha risposto affermativamente, il 17% degli intervistati ha risposto "No" e il 50% ha avuto difficoltà a rispondere. Alla terza domanda il 100% degli intervistati ha risposto affermativamente. Alla quarta domanda ha risposto positivamente l'89%, mentre “No” ha risposto l'11% degli studenti che hanno partecipato all'indagine durante il lavoro di ricerca.

Conclusione

Pertanto, durante il lavoro sono stati risolti i seguenti compiti:

è stato studiato materiale teorico su questo tema;

oltre ai segni a me noti per 2, 3, 5, 9 e 10, ho appreso che esistono anche segni di divisibilità per 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19, ecc. .;

3) È stato studiato il test di Pascal, un test universale di divisibilità per qualsiasi numero naturale;

Lavorando con diverse fonti, analizzando il materiale trovato sull'argomento in studio, mi sono convinto che ci siano segni di divisibilità per altri numeri naturali. Ad esempio, su 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, che ha confermato la correttezza dell'ipotesi da me avanzata sull'esistenza di altri segni di divisibilità dei numeri naturali. Ho anche scoperto che esiste un criterio universale per la divisibilità, il cui algoritmo è stato trovato dal matematico francese Pascal Blaise e pubblicato nel suo trattato "Sulla natura della divisibilità dei numeri". Utilizzando questo algoritmo, puoi ottenere un test di divisibilità per qualsiasi numero naturale.

Il risultato del lavoro di ricercaè diventato materiale sistematizzato sotto forma di tabella “Segni di divisibilità dei numeri”, che può essere utilizzata nelle lezioni di matematica, in attività extrascolastiche al fine di preparare gli studenti alla risoluzione dei problemi delle Olimpiadi, nella preparazione degli studenti all'OGE e all'Esame di Stato Unificato.

In futuro, ho intenzione di continuare a lavorare sull'applicazione dei test di divisibilità dei numeri alla risoluzione dei problemi.

Elenco delle fonti utilizzate

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematica. 6° grado: educativo. per l'istruzione generale istituzioni /— 25a ed., cancellata. - M.: Mnemosyne, 2009. - 288 p.

Vorobiev V.N. Segni di divisibilità.-M.: Nauka, 1988.-96 p.

Vygodsky M.Ya. Manuale di matematica elementare. - Elista.: Dzhangar, 1995. - 416 p.

Gardner M. Tempo libero matematico. / Sotto. Ed. Y.A. Smorodinsky. - M.: Onice, 1995. - 496 p.

Gelfman E.G., Beck E.F. ecc. Il caso della divisibilità e altre storie: Esercitazione in matematica per la 6a elementare. - Tomsk: Casa editrice dell'Università di Tomsk, 1992. - 176 p.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematica: riferimento. materiali: libro. per gli studenti. - 2a ed. - M.: Educazione, 1990. - 416 p.

Gusev V.A., Orlov A.I., Rosenthal A.V. Lavoro extracurriculare in matematica nelle classi 6-8. Mosca: Istruzione, 1984. - 289 p.

Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Dietro le pagine di un libro di matematica. M.: Educazione, 1989. - 97 p.

Matematica Kulanin E.D. Direttorio. -M.: EKSMO-Press, 1999-224 p.

Perelman Ya.I. Algebra divertente. M.: Triada-Litera, 1994. -199.

Tarasov B.N. Pascal. -M.: Mol. Guardia, 1982.-334 p.

http://dic.academic.ru/ (Wikipedia - l'enciclopedia libera).

http://www.bymath.net (enciclopedia).

Appendice 1

TABELLA DEI SEGNI DI SIGNIFICATO

	Cartello	Esempio
	Il numero termina con una cifra pari.	………………2(4,6,8,0)
	La somma dei numeri è divisibile per 3.	3+7+8+0+1+5 = 24. 24:3
	Un numero le cui ultime due cifre sono zeri o divisibili per 4.	………………12
	Il numero termina con il numero 5 o 0.	………………0(5)
	Il numero termina con una cifra pari e la somma delle cifre è divisibile per 3.	375018: 8-numero pari 3+7+5+0+1+8 = 24. 24:3
	Il risultato della sottrazione del doppio dell'ultima cifra da quel numero senza l'ultima cifra viene diviso per 7.	36 - (2 × 4) = 28, 28:7
	Le sue ultime tre cifre sono zeri o formano un numero divisibile per 8.	……………..064
	La somma delle sue cifre è divisibile per 9.	3+7+8+0+1+5+3=27. 27:9
	Il numero termina con zero	………………..0
	La somma delle cifre di un numero a segni alternati è divisibile per 11.	1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22
	Le ultime due cifre del numero sono divisibili per 4 e la somma delle cifre è divisibile per 3.	2+1+6=9, 9:3 e 16:4
	Il numero di decine di un dato numero sommato a quattro volte il numero di unità è un multiplo di 13.	84 + (4 × 5) = 104,
	Un numero termina con una cifra pari e quando il risultato della sottrazione del doppio dell'ultima cifra da quel numero senza l'ultima cifra è divisibile per 7.	364: 4 - numero pari 36 - (2 × 4) = 28, 28:7
	Il numero 5 è diviso per 0 e la somma delle cifre è divisibile per 3.	6+3+4+8+0=21, 21:3
	Le sue ultime quattro cifre sono zeri o formano un numero divisibile per 16.	…………..0032
	Il numero di decine di un dato numero sommato al numero di unità aumentato di 12 volte è un multiplo di 17.	29053→2905+36=2941→294+12= 306→30+72=102→10+24=34. Poiché 34 è divisibile per 17, allora 29053 è divisibile per 17
	Il numero termina con una cifra pari e la somma delle sue cifre è divisibile per 9.	2034: 4 - numero pari
	Il numero di decine di un dato numero sommato al doppio del numero di unità è un multiplo di 19	64 + (6 × 2) = 76,
	Il numero termina con 0 e la penultima cifra è pari	…………………40
	Un numero composto dalle ultime due cifre è divisibile per 25	…………….75
	Un numero è divisibile per 30 se e solo se termina con 0 e la somma di tutte le cifre è divisibile per 3.	……………..360
	Un numero è divisibile per 59 se e solo se il numero di decine sommato al numero di unità moltiplicate per 6 è divisibile per 59.	Ad esempio, 767 è divisibile per 59, poiché 76 + 6*7 = 118 e 11 + 6*8 = 59 sono divisibili per 59.
	Un numero è divisibile per 79 se e solo se il numero delle decine sommato al numero delle unità moltiplicate per 8 è divisibile per 79.	Ad esempio, 711 è divisibile per 79, poiché 79 è divisibile per 71 + 8*1 = 79
	Un numero è divisibile per 99 se e solo se la somma dei numeri che formano gruppi di due cifre (iniziando con l'unità) è divisibile per 99.	Ad esempio, 12573 è divisibile per 99, poiché 1 + 25 + 73 = 99 è divisibile per 99.
a 125	Un numero composto dalle ultime tre cifre è divisibile per 125	……………375

Segni di divisibilità

Nota 2

I segni di divisibilità vengono solitamente applicati non al numero stesso, ma ai numeri costituiti da cifre che partecipano alla scrittura di questo numero.

I test di divisibilità per i numeri $2, 5$ e $10$ ti consentono di verificare la divisibilità di un numero utilizzando solo l'ultima cifra del numero.

Altri segni di divisibilità riguardano l'analisi delle ultime due, tre o più cifre di un numero. Ad esempio, il test di divisibilità per $4$ richiede l'analisi di un numero a due cifre composto dalle ultime due cifre del numero; Il test di divisibilità per 8 richiede l'analisi del numero formato dalle ultime tre cifre del numero.

Quando si utilizzano altri segni di divisibilità, è necessario analizzare tutte le cifre del numero. Ad esempio, quando si utilizza il test di divisibilità per $3$ e il test di divisibilità per $9$, è necessario trovare la somma di tutte le cifre di un numero, quindi verificare la divisibilità della somma trovata per $3$ o $9$, rispettivamente.

I segni di divisibilità per numeri composti combinano molti altri segni. Ad esempio, il segno di divisibilità per $6$ è una combinazione dei segni di divisibilità per i numeri $2$ e $3$ e del segno di divisibilità per $12$ – per i numeri $3$ e $4$.

L'applicazione di alcuni criteri di divisibilità richiede un lavoro computazionale significativo. In questi casi può essere più semplice dividere direttamente il numero $a$ per $b$, il che porta a chiedersi se il numero $a$ dato può essere diviso per il numero $b$ senza resto.

Verifica la divisibilità per $2$

Nota 3

Se l'ultima cifra di un numero intero è divisibile per $2$ senza resto, allora il numero è divisibile per $2$ senza resto. In altri casi, il numero intero indicato non è divisibile per $2$.

Esempio 1

Determina quale di proposto numeri divisibili per $2: 10, 6.349, –765.386, 29.567.$

Soluzione.

Usiamo il criterio di divisibilità per $2$, secondo il quale possiamo concludere che i numeri $10$ e $–765\386$ sono divisibili per $2$ senza resto, perché l'ultima cifra di questi numeri è rispettivamente il numero $0$ e $6$. I numeri $6\3494$ e $29\567$ non sono divisibili per $2$ senza resto, perché l'ultima cifra del numero è rispettivamente $9$ e $7$.

Risposta: $10$ e $–765\386$ sono divisibili per $2$, $6\349$ e $29\567$ non sono divisibili per $2$.

Nota 4

Gli interi basati sulla loro divisibilità per $2$ vengono divisi per Anche E strano.

Test di divisibilità per $3$

Nota 5

Se la somma delle cifre di un intero è divisibile per $3$, allora il numero stesso è divisibile per $3$; negli altri casi il numero non è divisibile per $3$;

Esempio 2

Controlla se il numero $123$ è divisibile per $3$.

Soluzione.

Troviamo la somma delle cifre del numero $123=1+2+3=6$. Perché l'importo risultante $6$ viene diviso per $3$, quindi, secondo il test di divisibilità per $3$, il numero $123$ viene diviso per $3$.

Risposta: $123⋮3$.

Esempio 3

Controlla se il numero $58$ è divisibile per $3$.

Soluzione.

Troviamo la somma delle cifre del numero $58=5+8=13$. Perché l'importo risultante $13$ non è divisibile per $3$, quindi per divisibilità per $3$ il numero $58$ non è divisibile per $3$.

Risposta: $58$ non è divisibile per $3$.

A volte, per verificare se un numero è divisibile per 3, è necessario applicare più volte il test di divisibilità per $3$. In genere, questo approccio viene utilizzato quando si applicano test di divisibilità a numeri molto grandi.

Esempio 4

Controlla se il numero $999\675\444$ è divisibile per $3$.

Soluzione.

Troviamo la somma delle cifre del numero $999 \ 675 \ 444 = 9 + 9 + 9 + 6 + 7 + 5 + 4 + 4 + 4 = 27 + 18 + 12 = $57. Se è difficile stabilire dall'importo ricevuto se è divisibile per $3$, è necessario applicare nuovamente il test di divisibilità e trovare la somma delle cifre dell'importo risultante: $57=5+7=12$. Perché l'importo risultante $12$ viene diviso per $3$, quindi, secondo il test di divisibilità per $3$, il numero $999\675\444$ viene diviso per $3$.

Risposta: $999 \ 675 \ 444 ⋮3$.

Test di divisibilità per $4$

Nota 6

Un numero intero è divisibile per $4$ se il numero formato dalle ultime due cifre del numero indicato (nell'ordine in cui appaiono) è divisibile per $4$. Altrimenti, questo numero non è divisibile per $4$.

Esempio 5

Controlla se i numeri $123\567$ e $48\612$ sono divisibili per $4$.

Soluzione.

Un numero a due cifre composto dalle ultime due cifre di $123\567$ è $67$. Il numero $67$ non è divisibile per $4$, perché $67\div 4=16 (rimanenti 3)$. Ciò significa che il numero $123\567$, secondo il test di divisibilità per $4$, non è divisibile per $44,44.

Un numero a due cifre composto dalle ultime due cifre di $48\612$ è $12$. Il numero $12$ è divisibile per $4$, perché $12\div4=3$. Ciò significa che il numero $48\612$, secondo il test di divisibilità per $4$, è divisibile anche per $4$.

Risposta: $123\567$ non è divisibile per $4, 48\612$ è divisibile per $4$.

Nota 7

Se le ultime due cifre di un dato numero sono zero, il numero è divisibile per $4$.

Questa conclusione è dovuta al fatto che questo numero è divisibile per $100$ e da allora $100$ è divisibile per $4$, quindi il numero è divisibile per $4$.

Test di divisibilità per $5$

Nota 8

Se l'ultima cifra di un numero intero è $0$ o $5$, quel numero è divisibile per $5$ e non divisibile per $5$ in tutti gli altri casi.

Esempio 6

Determina quali dei numeri indicati sono divisibili per $5: 10, 6.349, –765.385, 29.567.$

Soluzione.

Usiamo il test di divisibilità per $5$, secondo il quale possiamo concludere che i numeri $10$ e $–765.385$ sono divisibili per $5$ senza resto, perché l'ultima cifra di questi numeri è rispettivamente il numero $0$ e $5$. I numeri $6\349$ e $29\567$ non sono divisibili per $5$ senza resto, perché l'ultima cifra del numero è rispettivamente $9$ e $7$.

Segni di divisibilità dei numeri- queste sono regole che ti permettono di scoprire in tempi relativamente brevi, senza dividere, se questo numero è divisibile per un dato numero senza resto.
Alcuni di segni di divisibilità abbastanza semplici, alcuni più complicati. In questa pagina troverai entrambi i segni di divisibilità numeri primi, come, ad esempio, 2, 3, 5, 7, 11, e segni di divisibilità di numeri composti, come 6 o 12.
Spero che queste informazioni ti saranno utili.
Buon apprendimento!

Test di divisibilità per 2

Questo è uno dei segni più semplici di divisibilità. Sembra così: se la notazione di un numero naturale termina con una cifra pari, allora è pari (divisibile senza resto per 2) e se la notazione di un numero termina con una cifra dispari, allora questo numero è dispari.
In altre parole, se l'ultima cifra di un numero è 2 , 4 , 6 , 8 O 0 - il numero è divisibile per 2, altrimenti non è divisibile
Ad esempio, i numeri: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 sono divisibili per 2 perché sono pari.
Numeri A: 23 5 , 137 , 2303
Non sono divisibili per 2 perché sono dispari.

Test di divisibilità per 3

Questo segno di divisibilità ha regole completamente diverse: se la somma delle cifre di un numero è divisibile per 3, allora il numero è divisibile per 3; Se la somma delle cifre di un numero non è divisibile per 3, allora il numero non è divisibile per 3.
Ciò significa che per capire se un numero è divisibile per 3 basta sommare i numeri che lo compongono.
Appare così: 3987 e 141 sono divisibili per 3, perché nel primo caso 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - divisibile per 3), e nella seconda 1+4+1= 6 (6:3=2 - anche divisibile per 3).
Ma i numeri: 235 e 566 non sono divisibili per 3, perché 2+3+5= 10 e 5+6+6= 17 (e sappiamo che né 10 né 17 sono divisibili per 3 senza resto).

Test di divisibilità per 4

Questo segno di divisibilità sarà più complicato. Se le ultime 2 cifre di un numero formano un numero divisibile per 4 oppure è 00, allora il numero è divisibile per 4, altrimenti il ​​numero dato non è divisibile per 4 senza resto.
Ad esempio: 1 00 e 3 64 sono divisibili per 4 perché nel primo caso il numero termina con 00 , e nel secondo in poi 64 , che a sua volta è divisibile per 4 senza resto (64:4=16)
Numeri 3 57 e 8 86 non sono divisibili per 4 perché nessuno dei due 57 nessuno dei due 86 non sono divisibili per 4, il che significa che non corrispondono a questo criterio di divisibilità.

Test di divisibilità per 5

E ancora, abbiamo un segno di divisibilità abbastanza semplice: se la notazione di un numero naturale termina con il numero 0 o 5, allora questo numero è divisibile senza resto per 5. Se la notazione di un numero termina con un'altra cifra, allora il numero non è divisibile per 5 senza resto.
Ciò significa che qualsiasi numero che termina con cifre 0 E 5 , ad esempio 1235 5 e 43 0 , rientrano nella regola e sono divisibili per 5.
E, ad esempio, 1549 3 e 56 4 non terminano con il numero 5 o 0, il che significa che non possono essere divisi per 5 senza resto.

Test di divisibilità per 6

Prima di noi numero composto 6, che è il prodotto dei numeri 2 e 3. Quindi anche il segno di divisibilità per 6 è composto: affinché un numero sia divisibile per 6, deve corrispondere a due segni di divisibilità contemporaneamente: il segno di divisibilità per 2 e segno di divisibilità per 3. Tieni presente che un numero composto come 4 ha un segno di divisibilità individuale, perché è il prodotto del numero 2 da solo. Ma torniamo al test della divisibilità per 6.
I numeri 138 e 474 sono pari e soddisfano i criteri di divisibilità per 3 (1+3+8=12, 12:3=4 e 4+7+4=15, 15:3=5), il che significa che sono divisibili per 6. Ma 123 e 447, sebbene siano divisibili per 3 (1+2+3=6, 6:3=2 e 4+4+7=15, 15:3=5), ma sono dispari, il che significa che non corrispondono al criterio di divisibilità per 2, e quindi non corrispondono al criterio di divisibilità per 6.

Test di divisibilità per 7

Questo test di divisibilità è più complesso: un numero è divisibile per 7 se il risultato della sottrazione di due volte l'ultima cifra dal numero di decine di questo numero è divisibile per 7 o uguale a 0.
Sembra abbastanza confuso, ma in pratica è semplice. Guarda tu stesso: il numero 95 9 è divisibile per 7 perché 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 è diviso per 7 senza resto). Inoltre, se sorgono difficoltà con il numero ottenuto durante la trasformazione (a causa delle sue dimensioni è difficile capire se è divisibile per 7 oppure no, allora questa procedura può essere ripetuta quante volte si ritiene necessario).
Per esempio, 45 5 e 4580 1 hanno le proprietà di divisibilità per 7. Nel primo caso, tutto è abbastanza semplice: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. Nel secondo caso faremo così: 4580 -2*1=4580-2=4578. È difficile per noi capire se 457 8 per 7, quindi ripetiamo il processo: 457 -2*8=457-16=441. E ancora utilizzeremo il segno della divisibilità, poiché lo abbiamo ancora davanti a noi numero di tre cifre 44 1. Quindi, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, cioè 42 è divisibile per 7 senza resto, il che significa che 45801 è divisibile per 7.
Ecco i numeri 11 1 e 34 5 non è divisibile per 7 perché 11 -2*1=11-2=9 (9 non è divisibile per 7) e 34 -2*5=34-10=24 (24 non è divisibile per 7 senza resto).

Test di divisibilità per 8

Il test di divisibilità per 8 suona così: se le ultime 3 cifre formano un numero divisibile per 8, oppure è 000, allora il numero dato è divisibile per 8.
Numeri 1 000 o 1 088 divisibile per 8: il primo termina con 000 , il secondo 88 :8=11 (divisibile per 8 senza resto).
Ed ecco i numeri 1 100 o 4 757 non sono divisibili per 8 perché i numeri 100 E 757 non sono divisibili per 8 senza resto.

Test di divisibilità per 9

Questo segno di divisibilità è simile al segno di divisibilità per 3: se la somma delle cifre di un numero è divisibile per 9, allora il numero è divisibile per 9; Se la somma delle cifre di un numero non è divisibile per 9, allora il numero non è divisibile per 9.
Ad esempio: 3987 e 144 sono divisibili per 9, perché nel primo caso 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - divisibile per 9 senza resto), e nella seconda 1+4+4= 9 (9:9=1 - anche divisibile per 9).
Ma i numeri: 235 e 141 non sono divisibili per 9, perché 2+3+5= 10 e 1+4+1= 6 (e sappiamo che né 10 né 6 sono divisibili per 9 senza resto).

Segni di divisibilità per 10, 100, 1000 e altre unità di cifre

Ho combinato questi segni di divisibilità perché possono essere descritti allo stesso modo: un numero è diviso per un'unità di cifra se il numero di zeri alla fine del numero è maggiore o uguale al numero di zeri in una determinata unità di cifra .
In altre parole, ad esempio, abbiamo i seguenti numeri: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . di cui tutti divisibili per 1 0 ; 46400 e 867 000 sono anche divisibili per 1 00 ; e solo uno di loro è 867 000 divisibile per 1 000 .
Tutti i numeri che hanno meno zeri finali di un'unità di cifra non sono divisibili per quell'unità di cifra, ad esempio 600 30 e 7 93 non divisibile 1 00 .

Test di divisibilità per 11

Per sapere se un numero è divisibile per 11, devi ottenere la differenza tra le somme delle cifre pari e dispari di questo numero. Se questa differenza è uguale a 0 oppure è divisibile per 11 senza resto, allora il numero stesso è divisibile per 11 senza resto.
Per renderlo più chiaro, suggerisco di guardare degli esempi: 2 35 4 è divisibile per 11 perché ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 è anche divisibile per 11, poiché ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Ecco 1 1 1 o 4 35 4 non è divisibile per 11, poiché nel primo caso si ottiene (1+1)- 1 =1, e nel secondo ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Test di divisibilità per 12

Il numero 12 è composto. Il suo segno di divisibilità è il rispetto dei segni di divisibilità per 3 e 4 contemporaneamente.
Ad esempio, 300 e 636 corrispondono sia ai segni di divisibilità per 4 (le ultime 2 cifre sono zeri o sono divisibili per 4) sia ai segni di divisibilità per 3 (la somma delle cifre del primo e del terzo numero sono divisibili per 3), ma infine sono divisibili per 12 senza resto.
Ma 200 o 630 non sono divisibili per 12, perché nel primo caso il numero soddisfa solo il criterio di divisibilità per 4, e nel secondo solo il criterio di divisibilità per 3, ma non entrambi i criteri contemporaneamente.

Test di divisibilità entro 13

Un segno di divisibilità per 13 è che se il numero di decine di un numero sommato alle unità di questo numero moltiplicate per 4 è multiplo di 13 o uguale a 0, allora il numero stesso è divisibile per 13.
Prendiamo ad esempio 70 2. Quindi, 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 è divisibile per 13 senza resto), il che significa 70 2 è divisibile per 13 senza resto. Un altro esempio è un numero 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Il numero 130 è divisibile per 13 senza resto, il che significa che il numero indicato corrisponde al criterio di divisibilità per 13.
Se prendiamo i numeri 12 5 o 21 2, quindi otteniamo 12 +4*5=32 e 21 +4*2=29, rispettivamente, e né 32 né 29 sono divisibili per 13 senza resto, il che significa che i numeri indicati non sono divisibili per 13 senza resto.

Divisibilità dei numeri

Come si può vedere da quanto sopra, si può presumere che per qualsiasi numero naturale sia possibile selezionare il proprio segno di divisibilità individuale o un segno “composito” se il numero è un multiplo di più numeri diversi. Ma come dimostra la pratica, soprattutto numero maggiore, più complesso è il suo segno. È possibile che il tempo impiegato per la verifica del criterio di divisibilità possa essere pari o superiore alla divisione stessa. Ecco perché di solito usiamo i segni di divisibilità più semplici.

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