Понятие числа в системе счисления. Основы систем счисления

С помощю этого онлайн калькулятора можно перевести целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Дается подробное решение с пояснениями. Для перевода введите исходное число, задайте основание сисемы счисления исходного числа, задайте основание системы счисления, в которую нужно перевести число и нажмите на кнопку "Перевести". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Результат уже получен!

Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в любую другую − теория, примеры и решения

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

Ц n ·s n +Ц n-1 ·s n-1 +...+Ц 1 ·s 1 +Ц 0 ·s 0 +Д -1 ·s -1 +Д -2 ·s -2 +...+Д -k ·s -k

где Ц n -целое число в позиции n , Д -k - дробное число в позиции (-k), s - система счисления.

Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления - из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

1 ·2 6 +0 ·2 5 +1 ·2 4 +1 ·2 3 +1 ·2 2 +0 ·2 1 +1 ·2 0 +0 ·2 -1 +0 ·2 -2 +1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример 3 . Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:

Здесь A -заменен на 10, B - на 11, C - на 12, F - на 15.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления - последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС - на 2, для 8-ичной СС - на 8, для 16-ичной - на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.

Пример 4 . Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111 . Следовательно можно записать:

159 10 =10011111 2 .

Пример 5 . Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147 (см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

615 10 =1147 8 .

Пример 6 . Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 - D. Следовательно наше шестнадцатеричное число - это 4CD9.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример 7 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011 .

Следовательно можно записать:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Пример 8 . Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

0.125 10 =0.001 2 .

Пример 9 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

0.214 10 =0.36C8B4 16 .

Пример 10 . Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

Получили:

0.512 10 =0.406111 8 .

Пример 11 . Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Пример 12 . Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим.

Система счисления – очень сложное понятие.

Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами. Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами. Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.

В непозиционных системах каждая цифра имеет свой вес и ее значение не зависит от положения в числе – от позиции. Пример – римская система. Скажем, число 76 в этой системе выглядит так:

LXXVI, где L=50, X=10, V=5, I=1.

Как видно цифрами здесь служат латинские символы.

В позиционных системах значения цифр зависят от их положения (позиции) в числе.

Так, например, человек привык пользоваться десятичной позиционной системой - числа записываются с помощью 10 цифр. Самая правая цифра обозначает единицы, левее - десятки, ещё левее - сотни и т.д.

В любой позиционной системе число может быть представлено в виде многочлена.

Покажем, как представляют в виде многочлена десятичное число.

Система счисления – очень сложное понятие. Оно включает в себя все законы, по которым числа записываются и читаются, а так же те, по которым производятся операции над ними.

Самое главное, что нужно знать о системе счисления – ее тип: аддитивная или мультипликативная . В первом типе каждая цифра имеет свое значение, и для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Во втором типе каждая цифра может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе:

(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Здесь дважды использован иероглиф “2”, и в каждом случае он принимал разные значения “2000” и “20”.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Для аддитивной (“добавительной”) системы нужно знать все цифры-символы с их значениями (их бывает до 4-5 десятков), и порядок записи. Например, в Латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6).

Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления .

Основанием системы счисления называется количество цифр и символов, применяющихся для изображения числа. Например р=10.

Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется “десятичная ”. В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления – десятичная.

База системы - это последовательность цифр, используемых для записи числа. Ни в одной системе нет цифры, равной основанию системы.

Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. “Но на одной то руке всего пять пальцев” – скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. “А с ногами – двадцать пальцев” – скажут другие, и будут тоже абсолютно правы. Именно так считали индейцы Майя. Это даже видно по их цифрам.

В курсе информатики, вне зависимости, школьном или университетском, особое место уделяется такому понятию как системы счисления. Как правило, на него выделяют несколько уроков или практических занятий. Основная цель - не только усвоить основные понятия темы, изучить виды систем счисления, но и познакомиться с двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной арифметикой.

Что это значит?

Начнем с определения основного понятия. Как отмечает учебник "Информатика", система счисления - записи чисел, в которой используется специальный алфавит или определенный набор цифр.

В зависимости от того, меняется ли значение цифры от ее положения в числе, выделяют две: позиционную и непозиционную системы счисления.

В позиционных системах значение цифры меняется вместе с ее положением в числе. Так, если взять число 234, то цифра 4 в ней означает единицы, если же рассмотреть число 243, то тут она будет уже означать десятки, а не единицы.

В непозиционных системах значение цифры статично, вне зависимости от ее положения в числе. Наиболее яркий пример - палочковая система, где каждая единица обозначается с помощью черточки. Неважно, куда вы припишите палочку, значение числа измениться лишь на единицу.

Непозиционные системы

К непозиционным системам счисления относятся:

1. Единичная система, которая считается одной из первых. В ней вместо цифр использовались палочки. Чем их было больше, тем больше было значение числа. Встретить пример чисел, записанных таким образом, можно в фильмах, где речь идет о потерянных в море людях, заключенных, которые отмечают каждый день с помощью зарубок на камне или дереве.
2. Римская, в которой вместо цифр использовались латинские буквы. Используя их, можно записать любое число. При этом его значение определялось с помощью суммы и разницы цифр, из которых состояло число. Если слева от цифры находилось меньшее число, то левая цифра вычиталась из правой, а если справа цифра была меньше или равна цифре слева, то их значения суммировались. Например, число 11 записывалось как XI, а 9 - IX.
3. Буквенные, в которых числа обозначались с помощью алфавита того или иного языка. Одной из них считается славянская система, в которой ряд букв имел не только фонетическое, но и числовое значение.
4. в которой использовалось всего два обозначения для записи - клинья и стрелочки.
5. В Египте тоже использовались специальные символы для обозначения чисел. При записи числа каждый символ мог использоваться не более девяти раз.

Позиционные системы

Большое внимание уделяется в информатике позиционным системам счисления. К ним относятся следующие:

• двоичная;
• восьмеричная;
• десятичная;
• шестнадцатеричная;
• шестидесятеричная, используемая при счете времени (к примеру, в минуте - 60 секунд, в часе - 60 минут).

Каждая из них обладает своим алфавитом для записи, правилами перевода и выполнения арифметических операций.

Десятичная система

Данная система является для нас наиболее привычной. В ней используются цифры от 0 до 9 для записи чисел. Они также носят название арабских. В зависимости от положения цифры в числе, она может обозначать разные разряды - единицы, десятки, сотни, тысячи или миллионы. Ее мы пользуемся повсеместно, знаем основные правила, по которым производятся арифметические операции над числами.

Двоичная система

Одна из основных систем счисления в информатике - двоичная. Ее простота позволяет компьютеру производить громоздкие вычисления в несколько раз быстрее, нежели в десятичной системе.

Для записи чисел используется лишь две цифры - 0 и 1. При этом, в зависимости от положения 0 или 1 в числе, его значение будет меняться.

Изначально именно с помощью компьютеры получали всю необходимую информацию. При этом, единица означала наличие сигнала, передаваемого с помощью напряжения, а ноль - его отсутствие.

Восьмеричная система

Еще одна известная компьютерная система счисления, в которой применяются цифры от 0 до 7. Применялась в основном в тех областях знаний, которые связаны с цифровыми устройствами. Но в последнее время она употребляется значительно реже, так как на смену ей пришла шестнадцатеричная система счисления.

Двоично-десятичная система

Представление больших чисел в двоичной системе для человека - процесс довольно сложный. Для его упрощения была разработана Используется она обычно в электронных часах, калькуляторах. В данной системе из десятичной системы в двоичную преобразуется не все число, а каждая цифра переводится в соответствующий ей набор нулей и единиц в двоичной системе. Аналогично происходит и перевод из двоичной системы в десятичную. Каждая цифра, представленная в виде четырехзначного набора нулей и единиц, переводится в цифру десятичной системы счисления. В принципе, нет ничего сложного.

Для работы с числам в данном случае пригодится таблица систем счисления, в которой будет указано соответствие между цифрами и их двоичным кодом.

Шестнадцатеричная система

В последнее время все большую популярность приобретает в программировании и информатике система счисления шестнадцатеричная. В ней используются не только цифры от 0 до 9, но и ряд латинских букв - A, B, C, D, E, F.

При этом, каждая из букв имеет свое значение, так A=10, B=11, C=12 и так далее. Каждое число представляется в виде набора из четырех знаков: 001F.

Перевод чисел: из десятичной в двоичную

Перевод в системах счисления чисел происходит по определенным правилам. Наиболее часто встречается перевод из двоичной в десятичную систему и наоборот.

Для того, чтобы перевести число из десятичной системы в двоичную, необходимо последовательно делить его на основание системы счисления, то есть, число два. При этом, остаток от каждого деления необходимо фиксировать. Так будет происходить до тех пор, пока остаток от деления не будет меньше или равен единице. Проводить вычисления лучше всего в столбик. Затем полученные остатки от деления записываются в строку в обратном порядке.

Например, переведем число 9 в двоичную систему:

Делим 9, так как число не делится нацело, то берем число 8, остаток будет 9 - 1 = 1.

После деления 8 на 2 получаем 4. Снова делим его, так как число делится нацело - получаем в остатке 4 - 4 = 0.

Проводим ту же операцию с 2. В остатке получаем 0.

В итоге деления у нас получается 1.

Вне зависимости от итоговой системы счисления, перевод чисел из десятичной в любую другую будет происходить по принципу деления числа на основу позиционной системы.

Перевод чисел: из двоичной в десятичную

Довольно легко переводить числа и в десятичную систему счисления из двоичной. Для этого достаточно знать правила возведения чисел в степень. В данном случае, в степень двойки.

Алгоритм перевода следующий: каждую цифру из кода двоичного числа необходимо умножить на двойку, причем, первая двойка будет в степени m-1, вторая - m-2 и так далее, где m - количество цифр в коде. Затем сложить результаты сложения, получив целое число.

Для школьников этот алгоритм можно объяснить проще:

Для начала берем и записываем каждую цифру, умноженную на двойку, затем проставляем степень двойки с конца, начиная с нуля. Потом складываем полученное число.

Для примера разберем с вами полученное ранее число 1001, переведя его в десятичную систему, и заодно проверим правильность наших вычислений.

Выглядеть это будет следующим образом:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

При изучении данной темы удобно использовать таблицу со степенями двойки. Это существенно уменьшит количество времени, необходимое для проведения вычислений.

Другие варианты перевода

В некоторых случаях перевод может осуществляться между двоичной и восьмеричной системой счисления, двоичной и шестнадцатеричной. В таком случае можно пользоваться специальными таблицами или же запустить на компьютере приложение калькулятор, выбрав во вкладке вид вариант «Программист».

Арифметические операции

Вне зависимости от того, в каком виде представлено число, с ним можно проводить привычные для нас вычисления. Это может быть деление и умножение, вычитание и сложение в системе счисления, которую вы выбрали. Конечно, для каждой из них действуют свои правила.

Так для двоичной системы разработаны свои таблицы для каждой из операций. Такие же таблицы используются и в других позиционных системах.

Заучивать их необязательно - достаточно просто распечатать и иметь под рукой. Также можно воспользоваться калькулятором на ПК.

Одна из важнейших тем в информатике - система счисления. Знание этой темы, понимание алгоритмов перевода чисел из одной системы в другую - залог того, что вы сможете разобраться в более сложных темах, таких как алгоритмизация и программирование и сможете самостоятельно написать свою первую программу.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая - 7 единиц, а третья - 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

За основание системы можно принять любое натуральное число - два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем : двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + ... + a -m q -m ,

где a i - цифры системы счисления; n и m - число целых и дробных разрядов, соответственно. Например:

Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

двоичная (используются цифры 0, 1);

восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел - от десяти до пятнадцати - в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления .

Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называют цифрами.

Системы счисления

Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной) , так как любое число в ней образуется путём повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1–го класса счету. Рассмотрим различные системы счисления.

Единичная система – не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления . Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки – иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной. В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.

Римская система счисления . Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum – сто, Demimille – половина тысячи, Мille – тысяча). Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (два десятка, пяток, три единицы).

Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Например, IX – обозначает 9, XI – обозначает 11.

Десятичное число 99 имеет следующее представление:

XCIХ = –10+100–1+10.

Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

Алфавитные системы счисления . Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1, 2, ..., 9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, и т.д. Для обозначения чисел 10, 20, ..., 90 применялись следующие 9 букв а для обозначения чисел 100, 200, ..., 900 – последние 9 букв.

У славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, который использовал сначала глаголицу, а затем кириллицу.

В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

• Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

• Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

• Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления – количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в коде(записи) числа. Ныне мы привыкли пользоваться десятичной позиционной системой - числа записываются с помощью 10 цифр. Самая правая цифра обозначает единицы, левее - десятки, ещё левее - сотни и т.д.

Например: 1) шестидесятеричная (Древний Вавилон)– первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1мин = 60с, 1ч = 60мин); 2) двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в. число 12 – “дюжина”: в сутках две дюжины часов). Счёт не по пальцам, а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава – всего 12; 3) в настоящее время наиболее распространёнными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная (широко используется в низкоуровневом программировании и вообще в компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами).

В любой позиционной системе число может быть представлено в виде многочлена.

Покажем, как представляют в виде многочлена десятичное число:

Типы систем счисления

Самое главное, что нужно знать о системе счисления – её тип: аддитивная или мультипликативная . В первом типе каждая цифра имеет своё значение, и для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Во втором типе каждая цифра может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе:

(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Здесь дважды использован иероглиф “2”, и в каждом случае он принимал разные значения “2000” и “20”.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Для аддитивной (“добавительной”) системы нужно знать все цифры-символы с их значениями (их бывает до 4-5 десятков), и порядок записи. Например, в Латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6).

Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления. Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется “десятичная”. В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления – десятичная.

Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. “Но на одной то руке всего пять пальцев” – скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. “А с ногами – двадцать пальцев” – скажут другие, и будут тоже абсолютно правы. Именно так считали индейцы Майя. Это даже видно по их цифрам.

Очень интересно понятие “дюжина”. Всем известно, что это 12, но откуда появилось такое число – мало кто знает. Посмотрите на свои руки, вернее, на одну руку. Сколько фаланг на всех пальцах одной руки, не считая большого? Правильно, двенадцать. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные фаланги.

А если на другой руке откладывать пальцами количество полных дюжин, то получим всем известную шестидесятеричную вавилонскую систему.

В разных цивилизациях считали по–разному, но и сейчас можно даже в языке, в названиях и изображениях цифр найти остатки совсем других систем счисления, когда–то использовавшихся этим народом.

Так у французов когда-то была двадцатеричная система счисления, поскольку 80 по-французски звучит как “четырежды двадцать”.

Римляне, или их предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как V ни что иное, как изображение ладони с отставленным большим пальцем, а X – это две таких же руки.